离散型随机变量的均值与方差.docx

1、离散型随机变量的均值与方差10. 8离散型随机变量的均值与方差1.离散型随机变量的均值(1)若离散型随机变量 x的概率分布列为XX1X2Xi5XnPp1p2p5pn则称E(X)= 为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的 .若Y= aX + b,其中a, b为常数，则 Y也是随机变量，于是 E(Y)= .(3)若X服从两点分布，则 E(X)= ;若 XB(n, p),则 E(X) = .2.离散型随机变量的方差若离散型随机变量 X的概率分 XX1X2Xi5XnPp1p2p5pn则称D(X) = 为随机变量X的方差，其算术平方根 为随机变量X的标准差.(2)D (aX + b)

2、 = .(3)若X服从两点分布，则 D(X)= ;若 XB(n, p),则 D(X) = .方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度： D(X)越小，X取值越集中，D(X)越大，X取值越分散.自查自纠1 . (1)Xipi + X2P2+ , + Xipi + , + Xnpn 平均水平(2)aE(X) + b (3) p npn2.(1)、(Xi- E(X)2pi D (X) (2)a2D(X)i = 1 p(1 - p)np(1 - p)小易全活X4a9P0.50.1b?已知随机变量E的分布列为3123P12xy某运动员投篮命中率为 0.6,他重复投篮5次，若他命中一次得10分，

3、没命中不得分；命中次数为 X，得分为Y，则E(X), D(Y)分别为( )A . 0.6, 60 B. 3, 12C. 3, 120 D. 3, 1.2解：XB(5 , 0.6), Y= 10X,所以 E(X)= 5 x 0.6= 3, D(X) = 5X 0.6 x 0.4= 1.2, D(Y)= 100D(X) = 120.故选 C. (2017全国卷n )批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100次，X表示抽到的二等品件数，贝U DX = .解：有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中 p= 0.02, n= 100，贝U DX = np(1 p) =

4、100 x 0.02 x 0.98= 1.96.故填1.96.題:随机变量3的取值为0, 1, 2，若P(3= 0) = E( 3 = 1,则D(3 = 5解：设P( 3= 1) = p，则3的分布列如下:3012P15P45p由 E(3 = 1,得 P+ 2 4、 3 2 1 2 3 2 1 2 2P = 1，可得 P= 5，所以 D( 3 = (0 1)2x5 + (1 1)2x- + (2 1)2x=5.故填；.类型一摸球模型、抽签模型GE1 一口袋中装有大小相同的 2个白球和4个黑球，每次从袋中任意摸出一个球.(1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采

5、取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差.解：(1) “有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为 P=2=16 3记有放回摸两次，颜色不同”为事件A,其概率为P(A)=即 设摸得白球的个数为 X,则X的取值为0, 1, 2,4、/3 2 八 4/22、/4 8P(X = 0)= X=, P(X = 1)= X | X =, P(X 0 6 5 5 6 5 6 5 1511P(X=2)=6X 5 =厉所以X的分布列为X012P2815151528 1 2E(x)=0X 2+1X185+2X 15=22 2 2D(X)= 0- 2 X 2 + 1 -3x 茅

6、 2-2 X A1645.【点拨】求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率. 就本题而言，弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是正确解题的关键均值与方差直接套用公式计算即可.Q3ZD 厂家向用户提供的一箱产品共 10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收. 抽检规则如下：一次取一件产品检查 （取出的产品不放回箱子），共抽查三次，若三次都没有抽查到次品，则用户接收这箱产品，若抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.（1）求这箱产品被用户接收的概率；记抽检的产品件数为 X,求X的分布列和均值. 解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件A,_ 8X 7

7、X 6 = 7P（A）= 10X 9X 8= 15.X的可能取值为1 , 2, 3.2 1P（X=1）=亦=5，10945 .所以X的概率分布列为X123P1_82854545所以 E(X)= zX 1 + 8X 2 + 28X 3 =5 45 45类型二停止型问题CE （2016兰州模拟）为迎接在兰州举行的“中国兰州国际马拉松赛”，某单位在推介晚会中进行嘉宾现场 抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的 6个小球，分别印有“兰州马拉松” 和“绿色金城行”两种标志，摇匀后,规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球 (登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“兰州马拉松”即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但

8、每位嘉宾最多抽取 3次.已知从盒中同时抽取两个小球不都是“绿色金城行” 标志的概率为5求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球个数；(2)用n表示某位嘉宾抽奖的次数，求 n的分布列和数学期望.解：(1)设印有“绿色金城行”的小球有n个，记“同时抽取两个小球不都是 绿色金城行标志”为事件A,- c2则同时抽取两个小球都是 “绿色金城行”标志的概率是P(A)=豈， 4 C2 1由对立事件的概率可知 P(A) = 1 P(A) = 4，即P(A) = = 5解得n = 3所以盒中印有 “兰州马拉松”标志的 小球个数为3.(2)由(1)知，两种球各三个，n的可能取值为1, 2, 3. C2_ 1P( n=

9、1) = C6= 5，P( n= 3) = 1 P(n= 1) P(n= 2)=曇.则n的分布列为n123P141652525所以 E(n= 1x J+2X25+3X=黑【点拨】解决这类终止型问题，一定要弄清楚终止的条件， 根据终止条件确定各种可能结果， 再计算相应概率.到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6个密码之一, 小王决定从中不重复地随机选择 1个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁 疋.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X,求X的分布列和数学期望.解：(1)设

10、“当天小王的该银行卡被锁定 ”为事件A，则P(A) = x TX 3 = .6 5 4 2(2)依题意得，X所有可能的取值是1, 2, 3.1又 P(X = 1) = 1,65 4 2P(X=3)=6X 5X1 = 3X123112P663所以X的分布列为1 1 2 5所以 E（x）= 1X6+2x6+ 3X 3=2.类型三二项分布的均值与方差CE)一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.550 100 150 200 250日销窖最件将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于 1

11、00个且另1天的日销售量低于 50个的概率；用X表示在未来3天里日销售量不低于 100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).解：(1)设A1表示事件日销售量不低于100个”，A2表示事件日销售量低于50个”，B表示事件在未来 连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于 50个”，因此P(A1)= (0.006 + 0.004 + 0.002) X 50 = 0.6,P(A2)= 0.003X 50 = 0.15,P(B)= 0.6X 0.6X 0.15 X 2= 0.108.X的可能取值为0, 1 , 2, 3.P(X = 0)= c3

12、X (1 - 0.6)3= 0.064 ,P(X = 1)= c3 X 0.6X (1 - 0.6)2= 0.288,P(X = 2)= C3 X 0.62 X (1 - 0.6) = 0.432,P(X = 3)= C X 0.63 = 0.216.X的分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3 , 0.6)，所以数学期望 E(X)= 3 X 0.6= 1.8,方差 D(X) = 3X 0.6 X (1 - 0.6) = 0.72.【点拨】n次独立重复试验是重要的模型，要牢记公式：当 XB(n, p)时，E(X) = np, D(X)= npq,其中q = 1-

13、p.同时要掌握期望与方差的重要性质： E(aX+ b) = aE(X) + b, D(aX + b) = a2D(X). (2015湖北模拟)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值， 即PM2.5日均值在35微克35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在 75微克/立方米以360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取 15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).PM2.5日均值(微克/立方米)2853214344563879863925(1)从这15天的数据中任取3天的数据，

14、记X表示空气质量达到一级的天数，求 X的分布列；以这15天的PM2.5日均值来估计这 360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级.Ck c3k 解：由题意知N= 15, M = 6, n= 3, X的可能取值为0, 1, 2, 3,其分布列为P(X= k)= 6 3 (k= 0, 1,C15所以X的分布列是:X0123P1221627_4654559191Y,贝U 丫(2)依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为 15 = , 一年中空气质量达到一级的天数为B 360, |，所以E(Y) = 360X |= 144,所以这360天的空气质量达到一级的天数大约有 144无类

15、型四综合运用CE 据iec(国际电工委员会)调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，但受风力自然资源 影响，项目投资存在一定风险根据测算，风能风区分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s不低于108.5, 10)假设投资A项目的资金为x(x 0)万元，投资B项目的资金为y(y 0)万元，调研结果是：未来一年内，位于一 类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4;位于二类风区的 B项目获利35%的可能 性为0.6,亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是 03(1)记投资A, B项目的利润分别为 E和n试写出随机变量 E与n的分布列和数学期

16、望 E( 3, E(n；(2)某公司计划用不超过 100万元的资金投资 A, B项目，且公司要求对 A项目的投资不得低于 B项目，根据(1)的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和 z= e( 3+ e( n的最大值.解：(1)投资A项目的利润3的分布列为30.3x0.2xP0.60.4贝y E(3 = 0.18X 0.08x= 0.1x.投资B项目的利润n的分布列为n0.35y00.1yP0.60.30.1则 E(n = 0.21y 0.01y= 0.2y.(2)由题意可知x, y满足的约束条件为x+ yw 100,g y, 其表示的可行域如图中阴影部分所示.心 0, y 0,由

17、可知,z= E(3+ E(n= 0.1x+ 0.2y,可化为 y= 0.5x+ 5z.当直线y= 0.5x+ 5z过点(50, 50)时，z取得最大值，即当 x= 50, y= 50时，z取得最大值15. 故对A, B项目各投资50万元，可使两个项目的平均利润之和最大，最大值是 15万元.【点拨】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平， 方差反映了随机变量稳定于均值的程度， 它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据. 一般先比较均值，若均值相同，再34若初检不合格，则需要进行调用方差来决定.红西(2017河北唐山二模)某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为

18、4试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为 評台仪器各项费用如表:项目生产成本检验费/次调试费出厂价金额(元)10001002003000(1)求每台仪器能出厂的概率；求生产一台仪器所获得的利润为 1600元的概率(注：禾悯=出厂价生产成本检验费调试费 )；假设每台仪器是否合格相互独立，记 X为生产两台仪器所获得的利润，求 X的分布列和数学期望.解：(1)记每台仪器不能出厂为事件 A,则P(A) = 1 子1 =盘，所以每台仪器能出厂的概率 P(A)= 1 201920.生产一台仪器利润为 1600元，即初检不合格，调试后再检合格，故所求为 X 可取 3800, 3

19、500, 3200, 500, 200, 2800.33 9P(X = 3800) = 4X 4= 161 1 3 3P(X = 3500) = C2X 了 4=石，,1冃1p(x=3200) = 5 = 25P（X = 500） = c；x3X 4X 5 = 40,P（X=200）= c2x 5 X 1X 5 = 5O,2p（x=- 2800）= 4X 5 = 400，X的分布列为:X3800350032005002002800931311P16102540504001计算均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；已知随机变量 X的均值、

20、方差，求 X的线性函数Y= aX + b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差 的性质求；如能分析所给随机变量服从常用的分布 (如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求.2.求均值与方差常用的结论掌握下述有关结论，会给解题带来方便：(1)E(aX + b) = aE(X)+ b;E(X + Y) = E(X) + E(Y);2D(aX+ b)= a D(X).若 XB(n, p),则 E(X) = np, D(X) = np(1 p).3. (1)在实际中经常用均值来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度； 注意离散型随机 变量的均值、方差与样本数据的平均

21、数、方差的区别与联系.卜查漏补缺1 .某射手射击所得环数 E的分布列如下:E78910PX0.10.3y）D . 0.9已知E的均值E（3 = 8.9，则y的值为（A . 0.4 B. 0.6 C. 0.7x+ 0.1 + 0.3+ y= 1, 解：由 可得y= 04故选A.l7x+ 8 X 0.1 + 9 X 0.3+ 10y= 8.92.设样本数据X1, X2, , , X10的均值和方差分别为1和4，若y1 = Xi+ a（a为非零常数，i = 1, 2, , , 10）,则y2, , y10的均值和方差分别为（ ）A . 1 + a, 4 B . 1 + a, 4+ aC. 1, 4

22、D. 1, 4+ a解：由条件，E(y) = E(x) + a= 1 + a, D(y)= D(x)= 4.故选 A.3. 已知随机变量 X服从二项分布，且 E(X)= 2.4, D(X)= 1.44,则二项分布的参数 n, p的值为( )A . n= 4, p = 0.6 B. n = 6, p= 0.4C. n= 8, p= 0.3 D. n = 24, p = 0.1解：由二项分布 XB(n, p)及 E(X) = np, D(X)= np (1 p)得 2.4= np,且 1.44= np(1 p)，解得 n = 6, p= 0.4.故选B.4. 同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬

23、币正好出现 2枚正面向上，3枚反面向上的次数为 X,则X的均 值是( )A. 20 B. 25 C. 30 D. 402解:抛掷一次，正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为 C5= , XB 80, ,则E(X)= 80X = 25.2 16 I 16丿 16故选B.则X的方差D(X)的值为( )6. 口袋中有5只球，编号分别为 1, 2, 3, 4, 5,从中任取3只球，用X表示取出的球的最大号码，则数学期望E(X)的值是( )A . 4 B . 4.5 C . 4.75 D . 52解：由题意知，X 可以取 3, 4, 5, P(X= 3) = 2 = 1, P(X = 4) = C3

24、=g,C5 10 C5 102C4 6 3P(X=5)=C!=矿 5，所以 E(X)= 3X 110+ 4X 13 + 5x 5 = 4.5.故选 B.7. (2015广东)已知随机变量 X服从二项分布 B(n, p).若E(X) = 30, D(X) = 20,则p= rnp= 30, 1 1解：由于XB(n, p),且E(X)= 30, D(X) = 20,所以 解得p =;.故填1.a1为首项，公比为2的等np (1 p) = 20. 3 38.(2016青岛调研)某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖，且相应获奖概率是以比数列，相应奖金是以 700元为首项，公差为-140元的等差数列，则

25、参与该游戏获得奖金的数学期望为 元.1 2 4解：由概率分布性质 a1+ 2a1 + 4a1= 1,所以a1= 7,从而2a1 = 7, 4a1 = 7.因此获得奖金E的分布列为70056042014P7712 4所以 EE= 700X 7+ 560X 7 + 420X 7= 500(元).故填 500.9.某篮球队与其他 6支篮球队依次进行 6场比赛，每场均决出胜负设这支篮球队与其他篮球队比赛，获得(1)求这支篮球队首次获得胜场前已经负了两场的概率；(2)求这支篮球队在 6场比赛中恰好胜了 3场的概率；(3)求这支篮球队在6场比赛中获胜场数的期望和方差.解：(1)因为这支篮球队第一、二场负，

26、第三场胜，三个事件互相独立. 所以所求概率Pi= 1-1 X 1 -1 X3 = 27.3 3所求概率P2= XX (3) E服从二项分布B 6, 3 .10.(2016郑州质量预测)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入 A商品若干件(A商品在商场的保鲜 时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为 10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前 6小时内所购 进的商品没有售完，则商场对没卖出的 A商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进 A商品).该商场统计了 100天A商品在每天的前6小时内的销售量，制成如

27、下表格 (注：视频率为概率).(其中x+ y= 70)前6小时内的销售量t(单位：件)456频数30xy(1)若某天该商场共购入 6件该商品，在前6个小时内售出4件.若这些商品被6名不同的顾客购买， 现从这6 名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾 客的概率是多少？若商场每天在购进 5件A商品时所获得的平均利润最大，求 x的取值范围.解:(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A,则P(A)=呼_8=15.设销售A商品获得的利润为 3单位：元)，依题意，将频率视为概率，为追求更多的利润，

28、则商场每天购进的A商品的件数取值可能为 4, 5, 6.当购进 A商品4件时，E(3= 150X 4= 600,当购进 A 商品 5 件时，E(3= (150 X 4- 50) X 0.3 + 150X 5X 0.7 = 690,x 70 一 x当购进 A 商品 6 件时，E(3= (150 X 4- 2 X 50) X 0.3+ (150 X 5-50) X 而 + 150 X 6X0孑=780 - 2x, 由题意780 2x 45,又知x 100-30= 70,所以x的取值范围为45, 70, x N*.11.为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：(I )顾客所获的奖励额为 60元的概率；(n )顾客所获的奖励额的分布