灯谜生活部分.docx

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灯谜生活部分

许多人认为初等数学是小儿科，不可能有大作为。

然而，在从事与数学密切相关的群体中，中学数学教师是主体，初等数学既是他们的教学内容又是他们的研究方向。

我想：

如果能把初等数学研究与中学数学教学有机结合起来，也许会让小儿科产生一点作用。

为此，我写了《数学与生活》。

但是，它究竟是一部什么书？

它是一部校本教程。

自1999年以来我参研了重庆市《中小学全面实施素质教育研究》一级子课题───南开中学《选修课&S226;活动课设置与管理研究》，先后在高2002级、2003级、2005级开设了选修课《数学与生活》。

每周六一课时。

通过本选修课的学习，学生的学习热情高涨，部分学生为解决研究课题，自修了数学课外读物，增加了知识储量，具备了初步的科研意识和创作能力。

高2002级学生，仅两年内创作小论文12篇，在《数学通报》等杂志发表8篇。

为了便于教学，我将讲稿反复修改，整理为校本教程，请同行们参考指正。

全书共4篇25课。

“趣味篇”与“应用篇”对新颖有趣的题材进行了组织和加工，改变了数学抽象枯燥的面孔，力求贴近生活，拓展学生知识面，激发求知欲；“实践篇”介绍了中学生撰写小论文的意义、数学小论文的选题和如何撰写数学小论文。

为创作初学者提供了方法、要求和范例；“探索篇”的每一课都是我对初等数学的研究，再现了研究者的心路历程。

这些探索性问题容易引起学生的认知矛盾，激发好奇心，进而疑而求进，逐步形成初步的科研意识。

它是一部培养学生科研意识的著作。

本课程的核心目标是培养学生的问题解决能力和初步的科研意识，创作数学小论文。

课程内容追求趣味性和探索性；实施“情景──提出问题──探讨──得出结论──拓展──提出新问题”的问题教学模式；采取“问题教学”与“个别化教学”相结合、“交流”与“互动”相结合的教学方法；指导学生采取“科研式学习”、“学科综合性学习”和“共同体学习”的学习方法；在评价学生学习过程的同时，重点评价学生发现问题、解决问题、创作论文的能力。

因此，“探索篇”的每一课都以我对初等数学研究的论文为素材，以教师的示范性研究向学生展示迸发灵感的心路历程和谬误困扰的曲折经历。

每一课都设置了思考题、研究题及动手思考，其中的研究题不同于传统教材的课后作业，没有给出现成答案，是一些实实在在的研究课题，为学生提供了试身手的机会。

它是一部解题理论。

本书虽是一部校本教程，但风格独特，具有小说特点。

明暗两条线索紧紧围绕课题目标设置。

明线是“趣味篇”“应用篇”“实践篇”“探索篇”的教学内容；暗线为阅读材料，是一部义理精邃的解题理论，虽然援引了一些心理学理论和有关学习的科学理论，但大都是笔者探究初等数学的内心独白，给出了许多新名词，与传统的解题理论相比，有另辟蹊径的理论。

显然，前者给学生以研究课题和方法，后者辅之问题解决的指导性理论，二者相得益彰。

它是一部科普读物。

本课程的课题内容都来源于生活，涉及到灯谜、诗歌、魔术、游戏等传统文化，也有博彩、占卜、江湖骗术等街巷文化。

通过这些生活现象的剖析，挖掘其间的数学本质。

即使不作教材，空闲时翻翻这本小册子，目睹一个个迷惑我们双眼的生活现象被数学奇迹般地揭开面纱，既感受了学习数学的快乐也增强了适应生活的能力。

所以它又是一部科普读物。

本书没有按学科体系撰写，各篇之间、各课之间相对独立，自成体系。

每课内容服务于课程的核心目标，突出问题中心。

教与学异于传统，不求传授知识的多少，笔者虽然一课时讲一课，但并不是一课时讲完一课内容，而是重点培养学生问题意识、科研意识，教师可由附录Ⅰ、附录Ⅱ的两篇论文了解笔者的教学思路。

当然，教学有法，教无定法。

教程中少数课题个人特点突出，如不适应，可自主取舍。

例如，第15课“日历中的数学”，课题新颖且来源于生活，但涉及天文知识和五行干支，背景生疏。

所以，本教程只可借鉴参考，不能照本宣科。

教师完全可以围绕“培养科研意识”这一目标结合自己的特点更新课程内容。

笔者非饱学之士和教坛宿将，虽然历经数载，免不了疏漏和不如人意，特别是“阅读材料”，基本上是个人体会，缺乏大家指点，恳求读者批评。

之所以敢斗胆撰写这本小册子，全在查斯特顿（Chesterton）的一句名言的鼓励。

他说“值得干的事即使干不好也值得干”。

本书在撰写过程中，南开中学王庆启老师、胡能禹老师、毛明山老师、韦新圣老师提出了许多宝贵意见；解传江老师在广东学习时大力宣传《数学与生活》，广东教育学院钟五一老师将我校选修课工作编入《数学建模与中学数学教学》（中学数学骨干教师国家级培训班资料），为实践者增添了无限信心，在此谨向他们表示衷心感谢。

第一课   灯谜与数学

灯谜是祖国文化的一种遗产。

每当逢年过节，国内各种游园活动中都有猜谜，一些数学杂志开辟了“趣苑拾贝”，也介绍一些数学谜语。

另外，港澳同胞和海外侨胞也十分喜欢灯谜，美国唐人街一到旧历新年和元宵节，有些人就模仿《红楼梦》里的习俗，举行猜谜会。

在日本和东南亚华侨中，也有这类活动。

可见，这种文化遗产真是源远流长。

凡是讲灯谜，总离不开24种谜格，制作和猜射灯谜，涉及到语文、历史、地理等知识，后来范围又扩充到戏剧、小说、体育、医药、外语，阵地越来越广。

对于数学，似乎与之风牛马不相及，但事实并非如此。

一、数学名词和习惯用语是构造灯谜的素材

   1.枕戈待旦。

（打一数学名词）

   解释 头枕兵刃等待天明角斗，所以谜底是“等角”。

   2.形（求凰格）。

（打一数学名词）

   解释 “求凰”，鸾求凰之意，即找配偶。

由于数学是研究空间形式和数量关系的科学，那么“形”与“数”正好似一对鸳鸯。

所以谜底为“对数”。

   3.诊断以后。

（打一数学名词）

    解释 医生诊断以后，后继程序便是“开处方”，故谜底为“开方”。

   4.吹哨子。

（打一数学名词）

   解释 “吹哨子”是集合的指令，故谜底为“集合”。

   5.考试作弊。

（打一数学名词）

   解释 考试作弊所获得的分数是不真实的分数，故谜底为“假分数”。

   6.有始无终。

（打一数学名词）

   解释 就是有起点无终点，故谜底为“射线”。

思考题一   在括号中填入恰当的谜面或谜底

           谜面                                            谜底

   1.（打佛教名词二）——————————————（       ）

   2.（         ）———————————————————双曲线

   3.（         ）———————————————————正切

   4.剃头（打一数学名词）——————————————（       ）

   5.暗中谋划害人（卷帘格）（打一数学名词）—————（       ）

              二、猜射灯谜的方法渗透着数学思想方法

（一）加法原则

1.两把短刀。

（打一数学名词）

解释 短刀就是匕首，将两个“匕”字和起来正好是“比”字，故谜底是数学名词“比”。

2.千里草，何青青，十日卜，不得生。

（打一三国人物名）

   解释 这是《三国演义》中著名的谣谚。

在电视剧中也出现了这一场面。

“千”“里”“草”三字加起来正是“董”字（灯谜中“草”常用“艹”代替），“十”“日”“卜”三字加起来正是“卓”字。

故谜底为“董卓”。

3.上面一个洞，下面一个洞，上洞加下洞，还是一个洞。

（打一字）

   解释 上洞是“穴”字，下洞是“井”字，加起来就是谜底“穽”（jìng）字，陷阱的意思。

4.有水能养鱼，有马跑千里，有人不是我和你。

（打一字）

   解释 谜底为“也”，因为“也”字加“氵”是“池”字；加“马”为“驰”字；加“亻”是“他”字。

正好和谜面意思完全符合。

5.84小时。

（打一成语）

   解释 84小时正好是7个半天，而一朝一暮就为一天，因为“3朝”加“4暮”等于7个半天（即84小时），所以谜底为“朝三暮四”。

（二）减法原则

1.无边落木萧萧下。

（打一字）

   解释 南北朝经历了宋、齐、梁、陈四个朝代。

齐、梁两朝皇帝都姓萧。

“萧萧下”指齐、梁两朝以后的陈朝，繁体“陳”字“无边”去掉“阝”；“落木”再去掉“木”字，最后剩下谜底“曰”。

2.孔雀东南飞（打一字）

 （三）叠加原则

一个字，加一笔变成另一个字，再加一笔又成一字，又加一笔，又成一字，还加一笔，还得成一字，最后加一笔，仍是一个字。

（打6个汉字）

   解释 谜底为“口，日，旦，亘，車，軋”。

   （四）对称原则

1.左看三十一，右看一十三，合起来是多少。

（打一字）

   解释 谜底为“非”。

2.小东西。

（打两所大学）

   解释 “东西”对“南北”，“小”对“大”，故谜底为“南大，北大”。

   （五）逆推原则

1.“||||”（打一字）

   解释 谜底为“置”。

2.“日”。

（打一字）。

   解释 谜底为“畔”。

   （六）求交集原则

夜间有，白天无；梦里有，醒来无；死了有，活时无；多则有两个，少则没一个。

（打一字）。

   解释 由于“夜、梦、死、多”这四个字中都有“夕”字根，故谜底为“夕”字。

（七）算式谜

1.f-1（败）=胜（打一成语）.

解释 谜底为“反败为胜”.

2.10002=1000，000（打一成语）.

解释 表示“千方”，而读作“百万”，故谜底为“千方百计”.

3.0！

=1（打一成语）.

解释 谜底为“无中生有”.

思考题二 在括号中填上恰当的谜面或谜底

谜面                                        谜底

1.人有我就大，天无我也大（打一字）—————————（      ）

3.左边加一是一千，右边减一是一千（打一字）—————（      ）

4.春雨绵绵妻独宿（打一字）—————————————（      ）

5.（          ）（打一字）———————————————版.

6.提倡晚婚，个个有份（打一字）———————————（      ）

7.八千女鬼（打一字）————————————————（      ）

8.千里姻缘一线牵（打一字）—————————————（      ）

9．天水相连不见人（打一字）—————————————（      ）

10.老师给出一个字谜，“唐虞有，尧舜无；商周有，汤武无。

”让学生回答。

学生甲：

“跳者有，走者无；高者有，矮者无；站者有，坐者无。

”学生乙：

“善者有，恶者无；智者有，愚者无。

”学生丙：

“小燕子有，紫薇无；五阿哥有，尔康无。

”试用谜语的形式描述谜底？

（      ）

思考题三  “谶谣”是预告社会变化、时事动态及个人命运的一种谣谚。

在谶谣中大量运用拆字法。

试用数学方法找出下列谶谣中隐藏的谜底，并解释谶谣的含义。

1.北宋末年，宋将范致虚镇守北京，值靖康之变，朝廷飞檄边帅，出关勤王。

这时，有谶谣曰：

草青青，水绿绿，屈曲蛇儿破敌国。

2.魏孝敬帝是一个傀儡，重臣高洋的谋士徐之才为了劝主子受禅称帝，于是制作谶谣：

一束藁，两头燃，河边羚羊飞上天。

发表于《数学通讯》

第二课   数学与诗歌

数学是自然科学，从研究的对象、研究的方式以及思维形式上看，与文学诗歌都截然不同。

但是，“世事洞明皆学问”，一片浮云移动，一次蝼蚁搬迁，常使人联想翩翩。

所以，对事物的探究不能停留在表面而在于深入，只要我们用数学的思想和方法去认识诗歌，研究诗歌，就会发现其间蕴藏着非常丰富的数学内涵。

一、诗歌中蕴藏着丰富的数学特质

                            1、丁丁东东的数学

杭州有名的景点九溪十八涧，林木葱葱，泉水淙淙。

清末大文豪俞曲园先生为此写过一首脍炙人口的五言诗句，其中一节这样写道：

                             重重叠叠山

                             曲曲环环路

                             丁丁东东泉

                             高高下下树

我们把上面四句诗改为下列算式：

 原来这四句诗竟然与以下4个式子成一一对应，真是奇迹！

2、我轻轻的走了，数学悄悄的来

徐志摩在名作《再别康桥》中写道：

  轻轻的，我走了，

  正如我轻轻的来……

有一位数学爱好者将数学渗入诗的领域，把这两句诗编成了算式：

在这里，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，如何求此方程组的解呢？

原来方程组只有唯一解，这就是诗歌精美的理由，我们也看到了沟通数学与诗歌的幽经.

二、数学中的概念、思想、方法可以用诗歌来描述

用诗歌描述数学中的概念、思想、方法既利于学习者学习，又缩短了数学与诗歌之间的距离。

                            3、几何（沁园春）

几何内容，丰富多彩，作用非凡。

忆华夏上下，论著篇篇；古今中外，群星灿灿。

测土量地，窥天算历，助推飞船与火箭。

待来日，看充实发展，更趋完善。

点线如此多艳，引无数娇子竞钻研。

昔墨翟荀卿，谈方论圆；蒙日欧拉，激发质变。

毕达哥那，笛卡费马，又使数形把姻联。

俱往矣，要发扬光大，还靠少年。

一些数学方法也常用诗歌描述。

常听教师吟诵：

“同类项、同类项，只需系数相加减，字母指数照原样”，这就是“合并同类项”的口诀，下面介绍两首关于解题方法的诗词。

                            4、求函数定义域（满江红）

研究函数，定义域，首要问题。

那求法，努力掌握，小心仔细。

常用原则弄清楚，“解析式子有意义”。

偶根式，号内值非负，先牢记。

见分式，析分母，不为零，条件齐。

对数真数，恒正乃必须。

有限函数作运算，定义域当求交集。

再注意，理论联实际，常温习。

                            5、接龙法

三、用数学思想、方法度量诗歌的写作形式

       6、“杨辉三角”与“宝塔诗”

“杨辉三角”反映了二项式展开项系数的变化规律，在西方称为“帕斯卡三角形”，其形式像一座宝塔。

在诗歌中有类似“杨辉三角”的“宝塔诗”，《会真记》（《西厢记》的母体）的作者曾写过：

                          茶

                      香叶，嫩芽。

                    慕诗客，爱僧家。

                  碾雕白玉，罗织红纱。

                铫煎黄蕊色，碗转曲尘花。

         夜后邀陪明月，晨前命对朝霞。

            说尽古今人不倦，将如醉后岂堪夸。

显然，用数学思想、方法度量诗歌的写作形式，可以营造奇异美。

7、圈儿信

据说，清末年间有一位姓丁的青年，幼时上过几年私塾，后来娶了一位聪明的妻子，夫妻恩爱万分，因水旱频频，家境艰难，小丁离乡背井外出谋生。

一去数年，他老婆思念丈夫，便托人带了一封家书。

信果然带到了，不料信上没有一个字，只是满篇圈儿（见下图）。

送信人不知其意，以为弄错了，岂知小丁看了此图，心中大喜，连连道谢。

试问：

如何解读圈儿信？

（古代书信写法自右向左）

后人用诗歌将此信诠释如下：

相思欲寄从何寄？

画个圈儿替。

话在圈儿外，

心在圈儿里；

单圈儿是我，

双圈儿是你；

你心中有我，

我心中有你；

月缺了会圆，

月圆了会缺；

我密密加圈，

你须密密知我意；

还有那说不尽的相思，

把一路圈儿圈到底。

自从数学家莱普尼兹创立符号后，大大推动了数学的发展。

“圈儿信”的奇异表述，正是数学符号思想的闪烁。

思考题

1.《教我如何不想他》是刘半农的名作，有人将此诗句改编成算题：

相同的汉字代表相同的数码，不同的汉字代表不同的数码，试用逻辑方法解答这一算式？

   2．司马相如和卓文君结为夫妇后，进京为官，其后忘乎所以，很久未写家信。

文君思念丈夫，写词一首以表达自己的思念之情。

   〇别之后，〇地相思，只说是〇〇月，又谁知〇〇年，〇弦琴无心抚弹，〇行书无信可传，〇连环从中折断，〇里长亭我望眼穿。

〇思念，〇思念，〇般无奈叫苍天。

   〇言〇语把君怨，〇无聊赖，〇倚栏杆。

〇月重阳看孤雁，〇月中秋，月圆人未圆。

〇夕银河鹊桥断，〇月炎天，人人摇扇我心寒。

〇月端阳，怕把龙舟看，〇月桑芽懒养蚕。

〇月春风打桃花散，〇地相思，〇片痴心，梦里到关山。

请在“〇”内填上合适的数字？

3．宋代女诗人朱淑真，得知在外经商的丈夫另有新欢之后，终日悲愤，常寄忧怨于诗词。

在她临死之前，含泪写下一首愤懑痛绝的《断肠谜》：

下楼来，金簪下落；问苍天，人在何方；恨王孙，一直去了；詈冤家，言去难留；悔当初，吾错失口；有上交，无下交；皂白何须问，分开不用刀；从今莫把仇人靠，千里相思一撇消。

这首“词谜”每一句不但悲愤凄哀，并且巧妙地隐嵌一个数字，首尾一气，浑成佳句，可谓千古一绝。

试破译《断肠谜》每一句中隐藏的数字谜？

研究题  我国有著名的风景区“九寨沟”，有价值连城的宫廷器具“九龙杯”，有优美动听的民歌《九妹》，有著名的兵器“九节鞭”，神话小说中有凶残恶毒的“九头怪”……为什么总喜欢用“九”字呢？

另外，人们也非常痴迷“七”字、“三”字。

这可能有一定的文化渊源？

试以“数字文化”为题撰写一篇数学科普文章。

 第八课   二进制、三进制逸趣

二进制数与十进制数的转换在现代科学中应用广泛，一是因为二进制数运算简单；另一方面是因为二进制数是由0和1两个数码组成，可以用电子元件的导通、截止来实现肯定、否定的判断。

例如，电灯的明与灭，脉冲的有和无，晶体管的导通与截止都只有两种状态，正好与0、1相对应，计算机的运算通常采用二进制。

数的其他进制常用以设置数学竞赛试题。

下面我们以趣味数学为例说明二进制、三进制数在生活中的应用。

一、心灵感应

现有A、B、C、D、E5张卡片，上面写着1~31之间的一些整数。

表演者把5张卡片逐一让观众观看，然后让某一位观众心中想一个数，这时表演者让这一位观众逐一观看5张卡片，然后进行问答。

如果卡片上有自己想的数就回答“有”，否则就回答“无”。

当5张卡片问完后，表演者立即就可说出观众心中所想的数。

卡片如下：

破解 由于“有”与“无”仅两种状态，正好与二进制数码0与1一一对应。

如观众回答“有”我们就记为1，回答“无”则记为0，显然观众的“一组回答”正好与“一个二进制数”相对应。

而每一个二进制数与十进制数又是一一对应关系。

例如，当5张卡片回答是“无有无无有”，则对应的二进制数为01001

（2），相应的十进制数就是9。

若回答是“有有无有有”，则对应的二进制数为11011

（2），相应的十进制就是27。

所以表演者可以根据观众的回答算出其心中所想的数。

注⒈由于将二进制数转化为十进制数不习惯。

表演时我们没有必要记下01001这样的二进制数，只需记住第一张卡片“有”表示16，第二张卡片“有”表示8，第三张，第四张，第五张卡片的“有”分别表示4，2，1.回答“无”表示0.将观众回答的“有”对应的数加起来之和就是观众心中所想的数.

2．任何一个十进制正整数都可以转化为二进制数，其转化方法如下：

3．卡片制作方法 先将十进制数转化为二进制数。

例如13=1101

（2）,“1”表示对应卡片有这个数，“0”表示对应卡片无这个数.所以13应在卡片BCE中，不在卡片AD中.

动手与思考   在生活中，我们常见一些江湖术士用几张卡片测人姓名，继而让行人上当受骗。

通过这个猜数游戏的学习，试编制一套江湖术士测人姓名的卡片。

下面是供读者参考的部分百家姓。

赵钱孙李 周吴郑王 冯陈褚卫 蒋沈韩杨 朱秦尤许 何吕施张 孔曹严华 

金魏陶姜戚谢邹喻 柏水窦章 云苏潘葛 奚范彭郎 鲁韦昌马 苗凤花方 

俞任袁柳 酆鲍史唐费廉岑薛 雷贺倪汤 滕殷罗华 郝邬安常 乐于时傅 

皮卡齐康 伍余元十 顾孟平黄和穆萧尹 姚邵堪汪 祁毛禹狄 米贝明臧 

计伏成戴 谈宋茅庞

                              二、选代表

一群孩子站成一圈，我们需要选出一个作代表，方法如下：

第一人留在圆圈上，第二人（按顺时针方向跟在第一人后的人）从圆圈上走开，第三人留下，第四人走开。

如此继续，沿着圆圈每隔一人留下一人，圈不断收缩，最后仅留下的人就作为代表，试确定谁当选（开始时给每人编上号），如果已知最初共有：

①64人；②1981人.

破解 ①第一轮从圆圈上走掉32人后还剩32人，第二轮又走掉16人后还剩16人，经过若干次后，最后剩下作代表的必是第1号.

思考题一 上面利用二进制数来确定代表的方法正确吗？

试说明理由。

研究题  在“选代表”的问题中，将“每隔一个人留下一人”改为“每隔两个人留下一人”，是否具有类似的结论呢？

能否用三进制解决？

如改为“每隔K个人留下一人”，是否也具有类似的结论呢？

能否用K+1进制解决？

                   三、德·梅齐里亚克砝码问题

法国数学家德·梅齐里亚克（1581~1638）提出了一著名的砝码问题：

一个商人有一个40磅重的砝码，由于跌落在地上而碎成四块，后来称得每块碎片的重量都是整数磅，而且用这四块碎砝码可以在天平上称出1至40磅之间的任意整数磅的重物。

问这四块砝码碎片各重多少？

思考题二

1．实验室订做一架天平用来称重量不超过364克的任何正整数克的重物，试设计一套由6种不同重量的砝码，如果要称重量分别为361克和355克的物体，问怎样称法？

2．（1999年全国高中数学联赛试题）给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，…，n克的所有物品。

①求k的最小值f（n）；②当且仅当n取什么值时，上述f（n）块砝码的组成方式是唯一确定的？

并证明你的结论。

第十二课   关于撰写数学小论文的选题

   撰写数学小论文，必需有一个课题，没有明确的课题就无法进行写作，选题是创作的首要问题。

由于选题不是凭空产生的，要靠平时大量的观察思考、材料收集、加工提炼，才能拟定研究课题。

下面我们谈一谈选题的原则和途径。

一、选择课题的原则

1．小课题，新形式  我们初学写作，视野窄小，知识的深度、广度不够。

课题过大，涉及的知识广泛，相应的增加了创作难度，容易超出我们的学力，研究难以深入全面。

通常选择小课题进行研究，最好一事一议，只要说理透彻论述深刻即可。

另外，论文要求新颖、生动、有创意，能更新读者观念，丰富读者认识结构。

所以课题要求角度新、见解奇、方法妙。

切记人云亦云，千人一面。

因此，我们在学习过程中要广泛订阅数学期刊，吸收营养，开阔视野，总结刊发文章的题材和内容，为提出新颖的课题奠定基础。

2．课题应具有探索性  因为探索性问题没有明确的知识落脚点，也没有固定的解决模式，开放性强，既阻碍思维持续活动，又激发人的好奇心，既能促使研究着疑而求进，又能让读者耳目一新。

3．课题必须适合我们的认知水平  创作论文是一个探索问题和解决问题的过程，离不开我们的认知水平，认知水平的高低关系到对课题材料的内化和加工深度。

因此，我们选择课题的深度和难度，应当控制在自己的能力范围内，使我们经过努力