人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》拔高练习.docx

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人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》拔高练习

《角的平分线的性质》拔高练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为点E，EA＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，则CD的最小值为（　　）

A．6B．8C．10D．12

2．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（　　）

A．1：

2B．2：

3C．1：

4D．4：

9

3．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：

①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B＝（　　）

A．40°B．30°C．25°D．22.5°

5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于

DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（　　）

A．3B．10C．15D．30

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）已知点O是△ABC的三条角平分线的交点，若△ABC的周长为12cm，面积为36cm2，则点O到AB的距离为　　cm．

7．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，则D到AC的距离为　　．

8．（5分）如图，AB∥CD，∠ABC和∠DCB的角平分线BP，CP交于点P，过点P作PA⊥AB于A，交CD于D．若AD＝10，则点P到BC的距离是　　，∠BPC＝　　°．

9．（5分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，BD是角平分线，BD＝5，BC＝4，则D点到AB的距离是　　．

10．（5分）如图，△ABC中，AB＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，DE＝4，则△ABD面积是　　．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．

（1）求∠EDA的度数；

（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

12．（10分）如图所示，在△ABC中：

（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是　　（将序号按正确的顺序写在横线上）．

①分别以点M、N为圆心，大于

MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；

②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于N点；

③画射线BP，交AC于点D．

（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是　　（填序号）．

①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．

（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长．

13．（10分）已知：

如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．

求证：

OC是∠AOB的平分线．

14．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，求△ABD的面积．

15．（10分）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR＝PS，点Q是AC上一点，且AQ＝PQ．

（1）求证：

QP∥AR；

（2）AR、AS相等吗？

说明理由．

《角的平分线的性质》拔高练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，垂足为点E，EA＝3，D为OM上的一个动点，C是DA的延长线与BC的交点，BC∥OM，则CD的最小值为（　　）

A．6B．8C．10D．12

【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，利用全等三角形的判定和性质得出AC＝AD＝AE＝3，进而解答即可．

【解答】解：

由题意可得，

当CD⊥OM时，CD取最小值，

∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，

∴AD＝AE＝3，

∵BC∥OM，

∴∠DOA＝∠B，

∵A为OB的中点，

∴AB＝AO，

在△ADO与△ABC中

，

∴△ADO≌△ABC（SAS），

∴AC＝AD＝3，

∴CD＝AC+AD＝3+3＝6，

故选：

A．

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC＝AD＝AE＝3．

2．（5分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（　　）

A．1：

2B．2：

3C．1：

4D．4：

9

【分析】根据已知条件先求得S△ABE：

S△BED＝2：

1，再根据三角形相似求得S△ACD＝

S△ABE即可求得．

【解答】解：

∵AD：

ED＝3：

1，

∴AE：

AD＝2：

3，

∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，

∴△ABE∽△ACD，

∴L△ABE：

L△ACD＝2：

3，

故选：

B．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．

3．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：

①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC＝4BE，则S△ABC＝8S△BDE．其中正确的有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．

【解答】解：

∵AD平分∠BAC，

∴∠DAC＝∠DAE，

∵∠C＝90°，DE⊥AB，

∴∠C＝∠E＝90°，

∵AD＝AD，

∴△DAC≌△DAE（AAS），

∴∠CDA＝∠EDA，

∴①AD平分∠CDE正确；

无法证明∠BDE＝60°，

∴③DE平分∠ADB错误；

∵BE+AE＝AB，AE＝AC，

∵AC＝4BE，

∴AB＝5BE，AE＝4BE，

∴S△ADB＝5S△BDE，S△ADC＝4S△BDE，

∴S△ABC＝9S△BDE，

∴④错误；

∵∠BDE＝90°﹣∠B，∠BAC＝90°﹣∠B，

∴∠BDE＝∠BAC，

∴②∠BAC＝∠BDE正确．

故选：

B．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，是一道结论开放性题目，考查了学生利用角平分线的性质解决问题的能力，有利于培养发散思维能力．

4．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，则∠B＝（　　）

A．40°B．30°C．25°D．22.5°

【分析】利用全等直角三角形的判定定理HL证得Rt△ACD≌Rt△AED，则对应角∠ADC＝∠ADE；然后根据已知条件“DE平分∠ADB”、平角的定义证得∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°；最后由直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠B＝30°．

【解答】解：

∵在△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，

∴CD＝ED．

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴∠ADC＝∠ADE（全等三角形的对应角相等）．

∵∠ADC+∠ADE+∠EDB＝180°，DE平分∠ADB，

∴∠ADC＝∠ADE＝∠EDB＝60°．

∴∠B+∠EDB＝90°，

∴∠B＝30°．

故选：

B．

【点评】本题考查了角平分线的性质．角平分线的性质：

角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

5．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以点D、E为圆心，大于

DE长为半径画圆弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G．若CG＝3，AB＝10，则△ABG的面积是（　　）

A．3B．10C．15D．30

【分析】根据角平分线的性质得到GH＝CG＝3，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：

作GH⊥AB于H，

由基本尺规作图可知，AG是△ABC的角平分线，

∵∠C＝90°，GH⊥AB，

∴GH＝CG＝3，

∴△ABG的面积＝

×AB×GH＝15，

故选：

C．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）已知点O是△ABC的三条角平分线的交点，若△ABC的周长为12cm，面积为36cm2，则点O到AB的距离为　6　cm．

【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，根据三角形的面积公式计算，得到答案．

【解答】解：

连接OA、OB、OC，作OD⊥AB于D，OF⊥AC于F，OE⊥BC于E，

∵OB平分∠ABC，OD⊥AB，OE⊥BC，

∴OD＝OE，

同理，OD＝OE＝OF，

则

AB•OD+

AC•OF+

CB•OE＝36，即

×（AB+AC+BC）×OD＝36，

∴OD＝6（cm），

故答案为：

6．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

7．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACB的平分线，若BD＝2，则D到AC的距离为　2　．

【分析】作DH⊥AC于H，根据角平分线的性质求出DH即可．

【解答】解：

作DH⊥AC于H，

∵CD是∠ACD的平分线，∠B＝90°，DH⊥AC，

∴DH＝DB＝2，

故D到AC的距离为2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

8．（5分）如图，AB∥CD，∠ABC和∠DCB的角平分线BP，CP交于点P，过点P作PA⊥AB于A，交CD于D．若AD＝10，则点P到BC的距离是　5　，∠BPC＝　90　°．

【分析】作PH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到PA＝PH，PD＝PH，得到PA＝PD；证明Rt△ABP≌Rt△HBP，根据全等三角形的性质计算即可．

【解答】解：

作PH⊥BC于H，

∵AB∥CD，PA⊥AB，

∴PA⊥CD，

∵BP是∠ABC的平分线，PA⊥AB，PH⊥BC，

∴PA＝PH，

同理，PD＝PH，

∴PA＝PD＝5，

则点P到BC的距离为5，

在Rt△ABP和Rt△HBP中，

，

∴Rt△ABP≌Rt△HBP（HL）

∴∠APB＝∠HPB，

同理，∠CPH＝∠CPD，

∴∠BPC＝∠HPB+∠HPC＝

×180°＝90°，

故答案为：

5；90．

【点评】本题考查的是角平分线的性质、平行线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

9．（5分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，BD是角平分线，BD＝5，BC＝4，则D点到AB的距离是　3　．

【分析】依据角平线的性质可得点D到AB和BC的距离相等，求出CD的长度即可得到D点到AB的距离．

【解答】解：

如图，过D作DE⊥AB于E，

∵∠C＝90°，BD＝5，BC＝4，

∴由勾股定理得：

CD＝3，

又∵BD是∠ABC的平分线，

∴DE＝DC＝3，

即点D到AB的距离是3．

故答案为：

3．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，解题时注意：

角平分线上点到角两边距离相等．

10．（5分）如图，△ABC中，AB＝6，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AC于点E，DE＝4，则△ABD面积是　12　．

【分析】过D作DF⊥AB于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝4，再根据三角形的面积公式列式进行计算得出△ABD的面积．

【解答】解：

如图，过D作DF⊥AB于F，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，

∴DF＝DE＝4，

又∵AB＝6，

∴△ABD面积＝

×AB×DF＝

×6×4＝12，

故答案为：

12．

【点评】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点．

（1）求∠EDA的度数；

（2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC．

【分析】

（1）直接利用三角形内角和定理得出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义得出答案；

（2）过D作DF⊥AC于F，依据角平分线的性质，即可得到DF＝DE＝3，再根据S△ABC＝

×AB×DE+

×AC×DF进行计算即可．

【解答】解：

（1）∵∠B＝50°，∠C＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣50°﹣70°＝60°，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠BAD＝

∠BAC＝

×60°＝30°，

∵DE⊥AB，

∴∠DEA＝90°，

∴∠EDA＝180°﹣∠BAD﹣∠DEA＝180°﹣30°﹣90°＝60°；

（2）如图，过D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴DF＝DE＝3，

又∵AB＝10，AC＝8，

∴S△ABC＝

×AB×DE+

×AC×DF＝

×10×3+

×8×3＝27．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形的面积，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

12．（10分）如图所示，在△ABC中：

（1）下列操作中，作∠ABC的平分线的正确顺序是　②①③　（将序号按正确的顺序写在横线上）．

①分别以点M、N为圆心，大于

MN的长为半径作圆弧，在∠ABC内，两弧交于点P；

②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交AB于点M，交BC于N点；

③画射线BP，交AC于点D．

（2）能说明∠ABD＝∠CBD的依据是　①　（填序号）．

①SSS．②ASA．③AAS．④角平分线上的点到角两边的距离相等．

（3）若AB＝18，BC＝12，S△ABC＝120，过点D作DE⊥AB于点E，求DE的长．

【分析】

（1）根据尺规作图作角平分线的步骤解答；

（2）根据全等三角形的判定定理和性质定理解答；

（3）过点D作DF⊥BC与F，根据角平分线的性质定理得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．

【解答】解：

（1）作∠ABC的平分线的正确顺序是②①③，

故答案为：

②①③；

（2）在△MBP和△NBP中，

，

∴△MBP≌△NBP（SSS），

∴∠ABD＝∠CBD，

故答案为：

①；

（3）过点D作DF⊥BC与F，

∵∠ABD＝∠CBD，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE＝DF，

S△ABC＝S△ABD+S△CBD，即

×AB×DE+

×BC×DF＝120，

∴

×18×DE+

×12×DE＝120，

解得，DE＝8．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的作法，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

13．（10分）已知：

如图，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F、G分别是OA、OB上的点，且PF＝PG，DF＝EG．

求证：

OC是∠AOB的平分线．

【分析】利用“HL”证明Rt△PFD和Rt△PGE全等，根据全等三角形对应边相等可得PD＝PE，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．

【解答】证明：

在Rt△PFD和Rt△PGE中，

，

∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL），

∴PD＝PE，

∵P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴OC是∠AOB的平分线．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出全等三角形是解题的关键．

14．（10分）在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，AB＝10cm，求△ABD的面积．

【分析】作出图形，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：

过点D作DE⊥AB，垂足为点E

∵BD平分∠ABC，DE⊥ABDC⊥BC

∴DE＝DC

又∵DC＝3cm

∴DE＝3cm

∴

cm2．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．

15．（10分）如图，在△ABC中，点P是BC上一点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为点R、S，PR＝PS，点Q是AC上一点，且AQ＝PQ．

（1）求证：

QP∥AR；

（2）AR、AS相等吗？

说明理由．

【分析】

（1）依据角平分线的判定，即可得到∠PAR＝∠PAS，依据等边对等角，由AQ＝PQ，推出∠PAS＝∠APQ，即可推出∠PAR＝∠APQ，进而得出PQ∥AR．

（2）只要利用HL，证明Rt△APR≌Rt△APS，即可推出AS＝AR．

【解答】解：

（1）∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，

∴AP平分∠BAC，

∴∠BAP＝∠CAP，

又∵AQ＝PQ，

∴∠CAP＝∠APQ，

∴∠BAP＝∠APQ，

∴QP∥AR；

（2）相等，理由：

∵PR⊥AB，PS⊥AC，

∴∠ARP＝∠ASP＝90°，

在Rt△APR和Rt△APS中，

，

∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），

∴AS＝AR．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．