数分论文 2综述.docx

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数分论文2综述

《工科数学分析》课程小论文

微积分思想及基本原理

摘要

微积分学是高等数学的核心内容，它的思想和方法广泛应用于自然科学，工程技术，社会经济等领域。

微积分学主要由微分学与积分学两个领域组成。

而微分和积分之间又有着互为逆运算的密切关系。

微积分的理论基础是极限概念与极限方法，其方法是先讨论局部范围内的近似状态（局部线性化，化曲为直思想）,再通过求极限,通过极限来逼近未知的量，逐步去求它的愈来愈精确地近似值，逼近到某一个程度以后，可以认为这个近似值就是精确值。

……

关键词：

微积分极限逼近

1微积分的思想4

2微积分的基本概念5

2.1微分学5

2.1.1引言5

2.1.2导数概述6

2.1.3微分学的主要定理9

2.2积分学10

3微积分的基本原理11

3.1微积分基本定理11

3.2微积分基本原理12

参考文献14

致谢15

1微积分的思想

微积分大体上由微分学和积分学两部分组成。

其中微分学最基本的概念是导数，积分学最基本的概念是积分（定积分）。

因此微积分的思想就是极限思想和微积思想。

对于极限思想。

我们可以引用一些庄子的一句名言：

“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”这句话的大意是：

一尺第的木棒，第一天取去一半，第二天取去剩下的一半，以后每天都取去昨天剩下一半，这样取下去，永远也取不尽，这个著名的论断，若用近代数学符号表示，那就是：

第一天取a1=1/2剩余r1=1/2第二天取a2=1/22剩余r2=1/4…………第n天取an=1/2n剩余rn=1/2n这样取下去，便得到一串数，，，……，，……这是一个无穷无尽的数列，无论n取多大，都不为零，但当n无限增大时，却无限接近于零，即是说=0，如果我们将每天所取进行一次结算，即第一天共取S1=a1=第二天共取S2=a1+a2=+…………第n天共取Sn=a1+a2+…+an=++…+…………那么，又得到一个无穷无尽的数列S1，S2，S3…，Sn…无论n取多大的值有Sn=a1+a2+…+an=++…+<1但当n无限增大时，Sn无限接近于1,即是说Sn=（++…+）=1。

关于极限思想，又如西方的“二分法悖论”：

从一个地方到另外一个地方，如果每次直走剩余路程的一半，那么将永远到不了目的地。

对于微积思想。

微分思想在古人的思想中有很多的体现：

老子有云：

“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于垒土；千里之行，始于足下。

”还有在《劝学》中有：

“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”。

再有就是荀子的：

“尽小者大，积微者著”。

甚至我们每天挂在嘴上的“成功来自于每天一点一滴的积累”都有着微积思想的影子。

结合微分思想和积分思想思考微积分。

微积分是关于变数的运算，其中体现了辩证法的思想。

这是在数学中从常数到变数，从对静态的把握到动态的把握的一个转折。

简单地说。

‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。

无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。

比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。

微积分思想揭示了“直与曲”，“静与动”，“变与不变”，“有限与无限”，“近似与精确”的对立统一关系。

2微积分的基本概念

2.1微分学

2.1.1引言

首先，我们要理解的两个定义：

定义2.1.

若函数在其定义域上是线性函数，则称为均匀变化函数，否则称为非均匀变化函数。

定义2.2

若函数在其定义域上是恒等于常数的函数，则称为均匀分布函数，否则称为非均匀分布函数。

其中非均匀变化函数是微分学研究对象，非均匀分布函数是积分研究的对象。

对于微分学来说：

微分学的中心思想就是极限。

因此下面引用极限的一个比较精确地定义。

设函数f（x）在点x。

的某一去心邻域内有定义，

如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|X-X。

|<δ时，对应的函数值

都满足不等式：

|

-A|<ε

那么常数A就叫做函数

当X→X。

时的极限。

这种ε-δ语言的定义的巧妙之处在于ε的任意性，由于ε是任意给定的，它可以很小很小。

这就为逼近提供了一种数学上的严格的合理论证。

F（x）希望与A靠近都何种程度都能做得到。

下面再通过对比连续的两种定义来感受下极限的概念。

连续的普通定义如下：

设函数y=f（x）在点x0的某个邻域内有定义。

如果当自变量Δx趋向于0时·相应的函数改变量Δy也趋向于0，则称函数y=f（x）在点X0处连续。

再看看ε-δ语言对连续的定义：

设函数

在点

的某个邻域有定义。

如果对于任意给定的

，存在

使得当

时有

则称函数

在点

连续。

函数

在区间

内连续指函数在区间内每一点连续。

函数

在闭区间

上连续指函数在区间内每一点连续，以及在区间左端点为右连续，在区间右端点为左连续。

联系到我们在社会生活中生活中对于连续的认识，不难理解极限这个概念。

2.1.2导数概述

我们可以从经典的切线问题和瞬时速度问题引出导数的概念。

1.切线问题

问题：

求曲线

上任意一点

处的切线。

首先面临的问题是何为切线？

在曲线上另取一点N，过M和N的直线称为曲线的割线，显而易见。

切线就是当N点和M靠得非常近的时候，也就是我们所说的达到了极限，割线就可以看成直线。

这样我们就可以轻易理解切线的定义了。

切线的定义：

设

是曲线

上的一点，在曲线上另取一点

，经过点N和M的直线称为曲线的割线，如果当

时割线斜率的极限

存在，则称过点M，以割线斜率之极限为斜率的直线是曲线在点M的切线。

由此可见，求曲线

在点M处的切线可分为两步。

第一步．

写出过点M的割线斜率，即

第二部

考虑割线斜率的极限，如果极限存在，记为K，那么曲线在点M处的切线为

2.瞬时速度问题

我们都知道，匀速直线运动的运动规律为

现在的问题是：

希望找出一个量来刻画非匀速运动“在某个时刻t的速度”亦即是所谓时刻t的瞬时速度。

如果我们求出平均速度，再将时间间隔限制在非常微小的范围内时（即是对平均速度取极限），此时的平均速度便可看做是瞬时速度。

同样分为两步：

第一步：

求出从t到

这段时间的平均速度，即

第二步：

考虑平均速度的极限，令

，若极限存在，我们就把极限值定义为运动在t时刻的瞬时速度。

上面两个问题的处理方法可以作以下的解读：

在切线问题中，我们通过割线的斜率去认识（定义）曲线在一点处的切线斜率。

割线的斜率就是在x到

这个局部视曲线为直线的斜率。

在瞬时速度的问题中，我们通过平均速度去认识（定义）运动在某个时刻的瞬时速度。

平均速度就是在t到

这个局部视非匀速运动为匀速运动的速度，

两个问题的具体含义各不相同，但处理的方法都可以抽象成为：

在局部视线性化的对象（非线性函数）为线性对象（线性函数），然后通过逼近极限来达到对函数在这一点的具体形态的认识。

这种处理问题的方法也就是我们所说的局部线性化。

通过上面两个问题的处理方法的对比，提取其方法和数学结构上的共性，可以得出导数的概念。

设函数y=f（x）在点X0的邻域有定义。

在X0处给自变量以增量Δx，引起函数增量Δy=f（X0+Δx）-f（X0），如果函数增量与自变量增量之比

当Δx→0时其极限存在，即极限

存在，则称此极限是函数

在点

处的导数，

记为：

或

从关于瞬时速度的讨论可以看出若已知位移s作为时间t的函数，此函数的导数就是瞬时速度。

亦即位移相对于时间的变化率。

又如，已知电量q作为时间t的函数，则函数的导数就是电流强度，亦即电量相对于时间的变化率。

因此，我们可以认为函数的导数实际上是因变量y相对于自变量x的局部变化率，简称函数变化率。

如果从导数的概念上升到微分学，我们可以这样认为：

若函数在区间（a，b）内每一点可导，这就相当于在对应曲线上每一点配上一条斜率等于该点处导数的切线，即在曲线上的每点上配置了一个线性对象，对于一般的数学对象（如微分流形），也可以在每点配置一个线性元素，然后利用这些线性元素研究对象本身。

2.1.3微分学基本定理

1.费马定理：

设函数

在其定义区间的某个内点c取最大值或最小值，又若此点导数

存在，则必有

2．罗尔定理

假设：

1.函数f（x）在闭区间[a，b]上连续；

2.函数f（x）在开区间（a，b）内每一点可导。

3.在区间的端点函数值相等。

则a与b之间至少存在一点c（a

3.拉格朗日中值定理

假设：

1.函数f（x）在闭区间[a，b]上连续；

2.函数f（x）在开区间（a，b）内每一点可导。

则a与b之间至少存在这样的一点c（a

拉格朗日中值公式：

几何意义：

曲线上至少有一点，此处的切线平行于弦A,B

物理意义：

设非匀速直线运动的运动规律s=f（t），函数f满足拉格朗日定理的假设，则质点从t=a到t=b这段时间走过的路程，等以a与b之间某时刻c的瞬时速度为速度的匀速运动所走过的路程，换句话说，

就是运动

在t=a到t=b这段时间的平均速度，中值公式中的“中值”的意思就是平均值。

2.2.积分学

曲边梯形是引出定积分的一个经典的问题。

在计算曲边梯形的面积时，问题在于梯形的面积并不是等高的，即f（x）在[a，b]上是非均匀函数。

联想到前面所说的，在局部可以将非线性的对象看成线性对象，再取极限就行了。

亦即是说，将整个[a,b]分割为n个小区间，与之相对应的是曲边梯形被分割为n个竖条状的小梯形。

当区间被分为很小很小的时候（亦即是取极限）。

曲边梯形的面积非常接近矩阵的面积，取极限以后可以认为矩形的面积之和就是所求曲边梯形的面积精确值。

将解题方法总结概括出来为两个方面：

1.（定积分）研究的对象为非均匀分布函数。

2.处理问题的方法是局部均匀化，即在局部以均匀分布代替非均匀分布，求出所求量的局部近似值，然后累积求和所得量总体的近似值，最后通过极限得到所求量的精确表达式。

由此也可以引出定积分的定义。

定义：

设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点

各个小区间的长度依次为

在每个小区间上任取一点

做函数值

与小区间长度

的乘积

，i=1,2,3

，n。

并求和。

记

，如果，不论对[a，b]怎样分法，也不论在小区间

上点

怎样取法，只要

，和S总趋向于确定的极限I

这是我们称这个极限为函数f（x）在区间[a，b]上的定积分。

记为

即：

以上的这种定义更容易理解极限和积分之间的关系。

但这种定义细究起来，还是比较有争议的。

据说问题在于合式

并不是λ的函数，因此所谓“令

取和式的极限”无从说起，与前面定义的函数极限对不上号，尽管加上“不论区间怎么分法，也不论

怎么取法”之类的前提，也改变不了前述和式不是λ的函数这一事实。

下面给出

语言对定积分的定义：

设有常数I，如果对于任意给定的正数

，总存在一个正数

，使得对于区间[a，b]的任何分法，不管

怎样取法，只要

，总有

3．微积分的基本原理

3.1微积分的基本定理

下面我们来探究一下微分学与积分学之间的联系：

考虑积分：

这是变上限定积分，它是上限x的一个函数。

下面我们集中研究这个函数的导数，前面我们说过，积分是整体性质的量，导数是具有局部特征的量，研究变上限积分的导数就是研究整体性质的量的局部特征。