高中数学立体几何教案.docx
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高中数学立体几何教案
高中数学立体几何教案
【篇一：
高一数学立体几何全部教案】
知识回顾：
柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式:
s圆台表面积?
?
（r2?
r2?
rl?
rl）
r为上底半径r为下底半径l为母线长
（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
1
（3）教师引导学生探究：
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
由此加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。
如图：
（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。
（s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高）
球的体积和表面积：
体积公式Ｖ＝
4
直线与平面的位置关系
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1、两条直线有如下三种关系：
相交直线：
同一平面内，有且只有一个公共点；共面直平行直线：
同一平面内，没有公共点；异面直线：
不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：
2、
（1）师：
在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体abcd-abcd中，bb∥aa，dd∥aa，bb与dd平行吗？
生：
平行
再联系其他相应实例归纳出公理4
公理：
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：
设a、b、c是三条直线
a∥b=a∥cc∥b
强调：
公理实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：
判断空间两条直线平行的依据。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1.直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点（3）直线在平面平行——没有公共点
位置关系：
（1）两个平面平行——没有公共点
（2）两个平面相交——有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为
l
直线与平面平行的判定
直线与平面平行的判定定理：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：
线线平行，则线面平行。
符号表示：
b
平面与平面平行的判定
两个平面平行的判定定理：
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：
直线与平面、平面与平面平行的性质
直线与平面平行定理：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：
线面平行则线线平行。
符号表示：
推导定理：
如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
直线与平面垂直的判定
判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
特别强调：
a）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b）定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
平面与平面垂直的判定
有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）
2、二面角的度量
二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？
师生活动：
师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“oa⊥l”，ob⊥l；
（2）∠aob的大小与点o在l上位置无关；
【篇二：
高中数学立体几何平面与空间直线教学设计】
第40讲平面与空间直线-两条直线的位置关系
（第5-6课时）
?
?
平行（没有公共点）?
共面?
空间两条直线的位置关系：
?
）?
相交（只有一个公共点
?
不共面?
异面?
⑴平行
公理4（三线平行公理）
：
平行于同一直线的两直线平行。
等角定理（线线平行的性质）：
如果一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
⑵相交⑶
异面
①定义：
不在同一平面内的两条直线。
叫做异面直线。
②所成的角：
从二异面直线外的任一点引这两异面直线的平行线，引出的这两条直线所夹的锐角或直角叫做这两异面直线所成的角。
③垂直：
若两异面直线所成的角等于直角，则称这两异面直线互相垂直。
注意：
过一点和一条直线垂直的直线在空间有无数多条。
④公垂线：
和两条异面直线都垂直并且都相交的直线，有且只有一条，这条直线叫做这两条异面直线的公垂线。
⑤距离：
夹在两异面直线之间的所有线段中，以它们的公垂线在两交点间的线段长度为最小，这个线段的长叫做这两异面直线的距离。
注意事项
①分别在两个平面内的各一条直线，它们不一定是异面直线。
对此不要和异面直线的定义相混淆。
例如图1和图2中的a和b就不是异面直线。
图1中的a和b是平行的，所以共面；图2中的a和b是相交的，所以也共面。
②定理“垂直于同一直线的两直线平行”在平面几何中成立，但在立体几何中不成立。
如图3。
③题目中的图形如果和教材中的习惯画法不同或者位置颠倒（即处于非正常位置）时，也要能熟练地使用定理。
④在做计算题时，所需关系的得来，必须有严密的推理过程，不
能随便默认。
10．证线线平行
证线线平行常用的方法如下：
①证a、b都平行于第三直线。
理论依据是“三线平行公理”。
②证a、b是两个平行平面与第三个平面的交线。
理论依据是“一平面和两平行平面相交，交线平行”。
③证a∥平面?
，b是过a的平面与?
的交线。
理论依据是“直线平行于平面，过此直线的一个平面和此平面相交，那么此直线平行于交线”。
④证a、b都垂直于同一平面。
理论依据是“垂直于同一平面的两直线平行”。
⑤用反证法证a、b共面且无交点。
理论依据是“直线平行的定义”。
⑥若a是两平面的交线，则证此两平面都和b平行。
理论依据是“同时平行于两相交平面的
直线与这两相交平面的交线平行”。
⑦若a、b共面，则利用平面几何知识。
例．如图，a、b异面，pa?
b于a，qb?
b于b，b?
?
，l∥?
，pc?
qd?
?
于d，试证四边形acdb为梯形。
证明：
∵pc?
?
，pa?
b，ac?
?
，∴ac?
b（三垂线逆定理），同理，bd?
b，且bd?
在平面?
内，ac?
b，bd?
b，∴ac∥bd，又∵pc?
?
，qd?
?
，∴pc∥qd，
?
于c，
∴l?
平面pcdq，
∵cd?
?
，∴
l∥cd，
若ab∥cd，则b∥
l，这与b、l异面相矛盾，∴ab
cd，∴四边形acdb为梯形。
说明：
本题用到方法①③④⑦。
bd不共面，ac、例．如图，直线ab、两平行平面?
、?
截此三直线得?
pqr和?
p?
q?
r?
，且ap?
bp?
，求证此两三角形面积相等。
证明：
∵?
∥?
，平面bac?
?
=pq，平面bac?
?
=p?
q?
，
∴pq∥p?
q?
，同理，pr∥p?
r?
，
∴?
rpq?
?
r?
p?
q?
，pq:
p?
q?
=ap:
bp?
，
p?
r?
:
pr=bp?
:
bp，
又ap=bp?
，ap?
=bp，∴pq:
p?
q?
=p?
r?
:
pr，∴pq?
pr=p?
r?
?
p?
q?
，
11
∴pq?
pr?
sin?
rpq?
p?
r?
?
p?
q?
?
sin?
r?
p?
q?
，
22
即s?
pqr?
s?
p?
q?
r?
。
说明：
本题使用方法②。
11．证线线垂直
证线线垂直常用的方法如下：
①证a垂直于b所在的平面。
理论依据是“直线垂直平面则垂直于平面内的任一直线”。
②证a在某一平面?
内且垂直于b在?
内的射影。
理论依据是“三垂线定理（记为“垂影必垂斜”）”。
③证a、b在某一平面?
内，b是某一直线c在?
内的射影，且c?
a。
理论依据是“三垂线定理逆定理（记为“垂斜必垂影”）”。
④证a垂直于某一直线c，而b∥c。
理论依据是“垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一直线”。
⑤证a∥平面?
，且b?
?
。
理论依据是“直线垂直平面则垂直于平面内的任一直线”。
⑥证a、b平移后的夹角是直角。
理论依据是“异面直线垂直的定义”。
⑦若a、b共面，则可以使用平面几何中证两线垂直的方法。
例．如图，设ab、cd分别是两异面直线上的两条线段，如果ac=cb，ad?
bd，求证：
ab?
cd。
证明：
过直线ab的中点o和cd作平面?
，∵ac=cb，∴co是等腰?
abc的中线，∴co?
ab。
同理，do?
ab，∴ab?
?
，∴ab?
cd。
说明：
本题使用方法①。
例．如图，在棱长为1的正方体中，求证：
ac1?
b1d1。
证明：
连接a1c1，∵aa1?
底面a1b1c1d1，b1d1?
a1c1，
∴ac1?
b1d1（三垂线定理）。
说明：
本题使用方法②。
例．如图，直线a∥平面?
，a?
a，直线ab?
a且与平面?
斜交于b点，求证：
a在?
内的射影和ab在?
内的射影互相垂直。
证明：
作ac垂直?
于c，过ac与a作平面?
交?
于a?
，
则a?
是a在?
内的射影。
∵a∥?
，∴a∥a?
，
又∵ab?
a，∴ab?
a?
，
而bc是ab在?
内的射影，∴a?
?
bc。
说明：
本题使用方法③④。
ab、例．如图，斜棱柱abc?
a1b1c1的底面是正三角形，一条侧棱aa1和底面相邻两边
ac成等角，求证三棱锥的侧面bb1c1c为矩形。
ab、ac成等角，证明：
∵aa1与
∴a1在平面abc内的射影在?
bac的角平分线上。
∵?
abc为正三角形，ad是?
a的平分线，∴ad?
bc，
?
bc（三垂线定理）∴aa，1
又aa1c1c为矩形。
1，∴bb1?
bc，∴bb1∥bb
说明：
本题使用方法②④。
例．（82年高考第七大题）已知空间四边形abcd，且ab=bc，cd=da，m、n、p、q分别是边ab、bc、cd、da的中点（如图），求证mnpq是矩形。
分析：
本题证明可分两步，第一步先证明mnpq
第二步再证明mnpq是矩形。
思路如下：
mnpq是矩形?
np?
pq（邻边垂直）?
np∥bd且pq∥bd?
bd?
ac（异面直线垂直）。
本题的关键是证明bd?
ac，可利用ab=bc和
cd=da得两个等腰?
abc和?
adc，过顶点b和d作底边ac的高bk和dk，则bk?
ac，dk?
ac，而bk和dk确定平面bkd，而bd?
平面bkd，∴ac?
bd。
说明：
本题使用方法⑥。
解题错误：
①不会利用已知条件ab=bc和cd=da。
②不会证明ac?
bd。
lj
01
04-10
两直线的位置关系平行
相交
异面
证线线平行证线线垂直
123
456789√√
√
√√
√√√√√√√
1．pq是异面直线a、b的公垂线，p在a上，q在b上，而a垂直于平面?
，b垂直于平面?
，?
、?
相交于直线cd，求证：
pq∥cd。
（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。
）
证明：
过q作直线c∥a，∵a?
平面?
，∴c?
平面?
，c?
cd，
又b?
平面?
，∴b?
cd，∴cd垂直b、c所确定的平面；又pq?
a，a∥c，∴pq?
c，
又pq?
b，∴pq垂直b、c所确定的平面；
∴pq∥cd。
说明：
本题使用方法④。
2．如图，e、f分别是b1c1、c1d1的中点，求证四边形bdfe是梯形。
（分析题目时使用左图，写解答过程时请使用右图。
）
证明：
（暂缺）
说明：
本题使用方法①。
3．如图，空间四边形abcd中，ac=bd，p、q、r、s分别为ab、bc、cd、ad的中点，求证pqrs为菱形。
证明：
∵pq11
ac，srac，∴pqsr，22
∴pqrs为平行四边形；
【篇三：
高三数学教教案-立体几何】
第七章立体几何
第一节空间几何体的分类、三视图、直观图
教学目标要求：
1.了解空间几何体的分类及其特征;
2.认识空间几何体的三视图;
3.认识空间几何体的直观图,会使用斜二测画法绘制简单几何体的直观图.
一.多面体
1.棱柱
（1）棱柱的定义:
有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱.两个互相平行的平面叫做棱柱的底面;其余各面叫做棱柱的侧面;两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;两底面的公垂线段叫做棱柱的高.
（2）棱柱的分类
①侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱;
②侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱;
③底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.
（3）棱柱的性质
①棱柱的侧棱相等,侧面都是平行四边形;直棱柱的侧面都是距形;正棱柱的侧面都是全等的矩形;
②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形;
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形;
④长方体是直四棱柱;正方体是侧棱和底面边长相等的正四棱柱.
（3）特殊的棱柱
正方体?
长方体?
直四棱柱?
平行六面体?
四棱柱?
棱柱
2.棱锥
（1）棱锥的定义:
有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,这样的多面体叫做棱锥.公共顶点叫做棱锥的顶点;有公共顶点的三角形叫做棱锥的侧面;两相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱;这个多边形叫做棱锥的底面;顶点到底面的垂线段叫做棱锥的高.
（2）棱锥的性质:
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的载面与底面相似,截面面积与底面面积比等于顶点到截面的距离与棱锥高的比的平方.
【重要结论】相似体的体积比等于相似比的立方.
（3）正棱锥的定义:
底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥.
（4）正棱锥的性质:
①正棱锥的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等（叫正棱锥的斜高）.
②正棱锥的高,斜高,斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;正棱锥的高,侧棱,侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.
③各棱都相等的三棱锥是正四面体.
3.棱台
（1）棱台的定义:
棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分叫做棱台.两个互相平行的平面叫做棱台的底面;其余各面叫做棱台的侧面;两侧面的公共边叫做棱台的侧棱;两底面的公垂线段（距离）叫做棱台的高.
（2）棱台的分类
①用正棱锥截得的棱台叫做正棱台;
②其他;
（3）正棱台的性质
①正棱台的侧棱相等,侧面都是全等的梯形;
②正棱台的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形;③正棱台的相邻两侧面所成的二面角相等;
④正棱台的侧棱和底面所成的角都相等,正棱台的侧面和底面所成的角也相等.
二.旋转体
1.圆柱
将矩形绕着它的一条边旋转得到的旋转体叫圆柱.这条边旋转到的任何位置叫做圆柱的母线.
2.圆柱
将直角三角形绕着它的一条直角边旋转得到的旋转体叫圆锥.这条边旋转到的任何位置叫做圆锥的母线.
3.圆台
将直角梯形绕着它的一条直角边旋转得到的旋转体叫圆台.这条边旋转到的任何位置叫做圆台的母线.
4.球体
（1）将一个半圆绕着直径旋转所得的旋转体叫做球体,球体简称球.
（2）球体可以看成是到定点的距离小于或等于定长的点的集合,叫做球体,定点叫做球心,定长叫做球的半径.到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.
（3）球的截面:
①用一个平面?
去截一个球o,截面是一个圆.当截面经过球心时,载面圆最大,这个圆叫做大圆,其他的叫做小圆.
②若球的一个小圆的圆心为o?
则oo?
与小圆所在平面垂直,并且,如果球的半径为r,小圆的半径为r,则oo?
?
d?
r2?
r2.
③球面上经过a,b两点的大圆的劣弧的长,叫做a,b两点的球面距离,如果弧ab在大圆上所对的圆心角为?
则a,b两点的球面距离为r?
.
三.空间几何体的三视图
（1）三视图是用正投影得到,它分为正视图（主）,侧（左、右）视图,俯视图.三视图描述的几何体不唯一.
（2）三视图的长度特征:
正视图和侧视图一样高,它就是几何体的高;正视图和俯视图一样长,它就是几何体的长;侧视图和俯视图一样宽,它就是几何体的宽.
四.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图的画法是斜二测画法.其特征是:
与水平线平行或垂直于水平面的线段位置和长度不变.水平面上,与水平线垂直的直线与水平线的夹角画成45?
或
135?
长度变为原来的一半.斜二测画法中,所有平行关系仍然保持平行.
例1已知空间几何体的三视图如图所示:
正视图侧视图
俯视图
（1）画出它的直观图;
（2）求它的体积.
例2一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示:
正视图左视图
俯视图
求这个正三棱柱的面积.
例3一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?
，腰和上底长均为1的等腰梯形，求这个平面图的面积。
【解】分析：
原图直观图
因为在直观图中，梯形的两腰和上底均为1，两底角为45?
，所以直观图的下底为2?
1，所以原图梯形的下底也是2?
1，高为2，所以梯形的面积为2?
2。
例4一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
课后练习二十九
1.一个几何体的三视图的形状都相同，大小均相等，这个几何体不可能是（）
a.球b.三棱柱c.正方形d.圆柱
12.某几何体的正视图与侧视图均为边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯2
视图可以是（）
a.b.c.d.
3.如图在一透明塑料制成的长方体abcd?
a1b1c1d1容器内灌进一些水，将容器底面一边bc固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法：
①有水的部分始终成棱柱状；
②水面四边形bfea的面积不改变；1③棱a1d1始终与水面efgh平行；④当e?
aa1时，ae?
bf是定值。
其中说法正确的是（）a.①②③b.①③c.①②③④d.①③④
4．下列结论正确的是:
（）
a.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
b.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
c.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥
d.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
5.若一个长方体的主视图、侧视图、俯视图分别是面积为
4cm2、6cm2、24cm2，那么该长方体的体积为_________
6.一个几何体的三视图如下图所示，其中正视图和侧视图是腰
长为6的两个全等的等腰直角三角形．则它的体积为_____．
7.如图，正三棱柱abc－a1b1c1的主视图（又称正视图）是边长
为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积
为________
8.已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如图所
示，其中四边形abcd是边长为2cm的正方形，则这个正四面体
的主视图的面积为____________cm2.
9.如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是周长为4，一个内角
何体的表面积为____________
第二节空间几何体的表面积和体积
教学目标要求：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）.
一、多面体的表面积
因为多面体的各面都是平面，所以多面体的表面积就是各个面的面积的和，即展开图的面积．
2?
r?
?
l
四、几何体的体积
1．设棱（圆）柱的底面积为s，高为h，则体积v?
sh.
2．设棱（圆）锥的底面积为s，高为h，则体积v?
1sh.3
13．设棱（圆）台的上下底面面积分别为s?
s,高为h,则体积v?
（s?
ss?
s?
）h.3
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