人教版数学必修二第一章单元质量评估2详解.docx
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人教版数学必修二第一章单元质量评估2详解
第一章 单元质量评估
（一）
限时：
120分钟
满分：
150分
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．在棱柱中（ ）
A．只有两个面相互平行
B．所有棱都相等
C．所有面都是四边形
D．各侧面都是平行四边形
2．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）
3．已知某圆台一个底面的面积为36π，母线长为5，圆台的高为2
，则此圆台另一底面圆的半径为（ ）
A．5 B．7
C．5或7D．9
4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下图（单位：
cm），则该几何体的表面积为（ ）
A．12πcm2B．15πcm2
C．24πcm2D．36πcm2
5．已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝
，那么原△ABC是一个（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．三边中只有两边相等的等腰三角形
D．三边互不相等的三角形
6．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）
A.
B.
C.
D.
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ）
A．1B.
C.
D.
8．木星的体积约是地球体积的240
倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A．60倍B．60
倍
C．120倍D．120
倍
9．在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°，若绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A.
πB.
π
C.
πD.
π
10．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（ ）
A．8B．7
C．6D．5
11．三棱锥V－ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V－A1B1C1与三棱锥A－A1BC的体积之比是（ ）
A．1:
2B．1:
4
C．1:
6D．1:
8
12．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是
π，那么这个三棱柱的体积是（ ）
A．96
B．16
C．24
D．48
答案
1．D 本题考查了棱柱的概念和结构特征，由棱柱的结构特征可以直接得到，故选D.
2．C 本题考查了三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.
3．C
本题考查了圆台的结构特征．圆台的轴截面为一个等腰梯形，如图所示，易知AE＝1，其中一个底面圆的半径为6.故若CD＝12，则可知另一底面圆的半径为7；若AB＝12，则可知另一底面圆的半径为5，故选C.
4．C 由三视图可知该几何体是圆锥，S表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝π×3×5＋π×32＝24πcm2，故选C.
5．A 依据斜二测画法的原则可得，
BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×
＝
，
又∵AO⊥BC，∴AB＝AC＝2.
故△ABC是等边三角形．
6．A 设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则由题意得2πr＝l，则此圆柱
S侧＝l2＝（2πr）2＝4π2r2，
S表＝S侧＋2S底＝4π2r2＋2πr2.
所以
＝
＝
.故选A.
7．C 本题主要考查三视图中的长度关系．由题意知，正方体的棱长为1，正视图的高为1，由于正方体的放置位置不同，因此正视图的底边长在区间[1，
]上，故正视图的面积也在区间[1，
]上，而
<1，不符合要求，故选C.
8．C 设木星的半径为r1，地球的半径为r2，由题意，
得
＝240
，
则
＝
＝
·
＝240
×
＝
＝120.
9．D 如图，△ABC绕BC旋转一周形成一个组合体，圆锥CD中挖去一个小圆锥BD，且同底．
∵∠ABD＝60°，AB＝2，
∴AD＝
，BD＝1.
∴V几何体＝V大圆锥－V小圆锥
＝
π·AD2·CD－
π·AD2·BD
＝
π×（
）2×（1.5＋1－1）＝1.5π.
10．C 由正视图和侧视图可知，该几何体由两层小正方体拼接成；由俯视图可知，最下层有5个小正方体；由侧视图可知，上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体．
11．B 中截面将三棱锥分成高相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为14，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为14，于是其体积之比为14.
12．D 由球的体积公式可得球的半径R＝2.设球的外切正三棱柱的底面边长为a，高即侧棱长为h，则h＝2R＝4.在底面正三角形中，由正三棱柱的内切球特征，有
a×
＝R＝2，解得a＝4
.
所以此三棱柱的体积
V＝
×
×（4
）2×4＝48
.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AB＝2，BC＝1，AC＝
，若规定正视方向垂直于平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为________．
14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为2，这个球的表面积为12π，则这个四棱柱的体积为________．
15．已知三棱锥A－BCD的表面积为S，其内有半径为r的内切球O（球O与三棱锥A－BCD的每个面都相切，即球心O到A－BCD每个面的距离都为r），则三棱锥A－BCD的体积为________．
16．一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是________．
三、解答题（写出必要的计算步骤，解答过程，只写最后结果的不得分，共70分）
17．（10分）
如图所给的平面图形是由Rt△EDC和正方形ABCD所构成的，现分别绕A、D、E所在的直线l1和BC所在的直线l2旋转一周，试分析所形成的两个几何体的结构特征．
18．（12分）如图是一个棱柱的三视图，请根据三视图的作图原则列出方程组，并求出x，y的值．
答案
13.
解析：
本题主要考查三视图．作BD垂直AC于点D，B1D1垂直A1C1于点D1，连接D1D，则矩形BDD1B1与三棱柱的侧视图全等，如图．∵BD＝
＝
，BB1＝2，∴此三棱柱的侧视图的面积为BD·BB1＝
.
14．8
解析：
设正四棱柱的底面边长为a，则球的直径2R＝
，所以S表＝4πR2＝4π（
）＝12π，解得a＝2，所以正四棱柱的体积V＝2a2＝8.
15.
Sr
解析：
连接AO，BO，CO，DO，则三棱锥A—BCD被分割成为四个小三棱锥：
O—ABC、O—ABD、O—ACD、O—BCD，并且这四个小三棱锥的顶点都为O，四条高都为r，底面分别为△ABC、△ABD、△ACD、△BCD.故有
VA—BCD＝VO—ABC＋VO—ABD＋VO—ACD＋VO—BCD
＝
S△ABC·r＋
S△ABD·r＋
S△ACD·r＋
S△BCD·r
＝
（S△ABC＋S△ABD＋S△ACD＋S△BCD）·r＝
Sr.
16．2（1＋
）π＋4
解析：
此几何体是半个圆锥，直观图如图所示，先求出圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝π×2×2
＝4
π，S底＝π×22＝4π，
S△SAB＝
×4×2
＝4
.
所以S表＝
＋
＋4
＝2（1＋
）π＋4
.
17．解：
当绕直线l1旋转时，所得的是一个上面是圆锥、下面是圆柱的组合体；
当绕直线l2旋转时，得到的是将一个圆柱中挖去一个圆锥所得到的组合体．
18．解：
根据三种视图长度之间的关系可知
解得
19．（12分）如图，在圆柱中，底面圆的半径为2，母线长为6，
和
都为所在圆周长的
，若沿着面ABCD将圆柱截开，试求所截得的体积较小的几何体的体积．
20.（12分）
如图所示（单位：
cm），四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积的体积．
答案
19.解：
如图，连接FA，FB，EF，EC，ED，由题意可得FA＝FB＝EC＝ED＝2，又
和
为所在圆周长的
，所以AB＝CD＝2，则三棱柱ECD－FBA的体积为V′＝
×2×
×6＝6
；
故所截得的体积较小的几何体的体积为V＝
×π×22×6－V′＝4π－6
.
20．解：
由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋圆台的侧面积＋半球面面积．
又S半球面＝
×4π×22＝8π（cm2），
S圆台侧＝π（2＋5）
＝35π（cm2），
S圆台下底＝π×52＝25π（cm2）．
即该几何体的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π（cm2）．
又V圆台＝
×（22＋2×5＋52）×4＝52π（cm3），
V半球＝
×
×23＝
（cm3）．
所以该几何体的体积为
V圆台－V半球＝52π－
＝
（cm3）．
21．（12分）一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，其中球的半径为4cm，圆锥的高为12cm.如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？
22.（12分）某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）．已建的仓库的底面直径为12m，高为4m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：
一是新建的仓库的底面直径比原来大4m（高不变）；二是高度增加4m（底面直径不变）．
（1）分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2）分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3）哪个方案更经济些？
答案
21.解：
由题意得V半球＝
×
πR3＝
×
π×43≈134（cm3），而V圆锥＝
Sh＝
πR2h＝
π×42×12≈201（cm3），因为冰淇淋的体积小于圆锥形空杯子的体积，所以冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
22．解：
设圆锥仓库的底面积为S，高为h，母线长为l.
（1）设两种方案所建的仓库的体积分别为V1、V2.
方案一：
仓库的底面直径变成16m，则其体积
V1＝
Sh＝
×π×（
）2×4＝
π（m3）；
方案二：
仓库的高变成8m，则其体积
V2＝
Sh＝
×π×（
）2×8＝96π（m3）．
（2）设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1、S2.
方案一：
仓库的底面直径变成16m，半径为8m，
圆锥的母线长为l＝
＝4
（m），
则仓库的表面积
S1＝π×8×（8＋4
）＝（64＋32
）π（m2）；
方案二：
仓库的高变成8m，圆锥的母线长为l＝
＝10（m），
则仓库的表面积S2＝π×6×（6＋10）＝96π（m2）．
（3）∵V2>V1，S2
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