全国名校高考数学优质学案附详解专题第四节 数列求和.docx

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全国名校高考数学优质学案附详解专题第四节数列求和

第四节　数列求和

[考纲传真]　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．　2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．　3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.

知识点　数列求和的常见方法

1．公式法

直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和

（1）等差数列的前n项和公式：

Sn＝

＝na1＋

d.

（2）等比数列的前n项和公式：

Sn＝

2．倒序相加法

如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．

3．错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n项和可用错位相减法．

4．裂项相消法

（1）把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．

（2）裂项时常用的三种变形：

①

＝

－

；

②

＝

；

③

＝

－

.

5．分组求和法

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

6．并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12

＝（100＋99）＋（98＋97）＋…＋（2＋1）＝5050.

1．必会结论

常用求和公式

前n个正

整数之和

1＋2＋…＋n＝

前n个正

奇数之和

1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝n2

前n个正整

数的平方和

12＋22＋…＋n2＝

前n个正整

数的立方和

13＋23＋…＋n3＝

2

2.必知联系

（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数（字母）时，应对其公比是否为1进行讨论．

（2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如an，an＋1的式子应进行合并．

（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）如果数列{an}为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn＝

.（　　）

（2）当n≥2时，

＝

.（　　）

（3）求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得．（　　）

（4）如果数列{an}是周期为k（k为大于1的正整数）的周期数列，那么Skm＝mSk.（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）√　（3）×　（4）√

2．（教材改编）数列{an}中，an＝

，若{an}的前n项和为

，则项数为（　　）

A．2014　　　　　　　　B．2015

C．2016D．2017

【解析】　an＝

＝

－

，

Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝

＝

＝

.

令

＝

，得n＝2015.

【答案】　B

3．（优质试题·潍坊模拟）设{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝（　　）

A.

　　　　　　　　B.

C.

D．n2＋n

【解析】　设等差数列公差为d，则a1＝2.

a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.

又∵a1，a3，a6成等比数列，

∴a

＝a1·a6.

即（2＋2d）2＝2（2＋5d），整理得2d2－d＝0.

∵d≠0，∴d＝

.∴Sn＝na1＋

d＝

＋

n.

【答案】　A

4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋（－1）n－1·n，则S2016＝________.

【解析】　S2016＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋2015－2016

＝（－1）×1008

＝－1008.

【答案】　－1008

考向1分组转化法求和

1．已知数列{an}的前n项是3＋2－1,6＋4－1,9＋8－1,12＋16－1，…，3n＋2n－1，则其前n项和Sn＝________.

【解析】　由题意知an＝3n＋2n－1，

∴Sn＝a1＋a2＋…＋an

＝3×1＋21－1＋3×2＋22－1＋…＋3n＋2n－1

＝3×（1＋2＋3＋…＋n）＋21＋22＋…＋2n－n

＝3×

＋

－n

＝

＋2n＋1－2.

【答案】　

（3n2＋n）＋2n＋1－2

2．（优质试题·福建高考）等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝2

＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．

【解】　

（1）设等差数列{an}的公差为d，

由已知得

解得

所以an＝a1＋（n－1）d＝n＋2.

（2）由

（1）可得bn＝2n＋n，

所以b1＋b2＋b3＋…＋b10

＝（2＋1）＋（22＋2）＋（23＋3）＋…＋（210＋10）

＝（2＋22＋23＋…＋210）＋（1＋2＋3＋…＋10）

＝

＋

＝（211－2）＋55＝211＋53＝2101.

分组转化法求和的常见类型

1．若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和．

2．通项公式为an＝

的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．

提醒：

某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．

考向2裂项相消法求和

（1）（优质试题·江苏高考）设数列

满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N*），则数列

前10项的和为______．

（2）（优质试题·全国卷Ⅰ）Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a

＋2an＝4Sn＋3.

①求{an}的通项公式；

②设bn＝

，求数列{bn}的前n项和．

【解析】　

（1）由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n（n≥2）．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝

＝

.

又∵a1＝1，∴an＝

（n≥2）．

∵当n＝1时也满足此式，∴an＝

（n∈N*）．

∴

＝

＝2

.

∴S10＝2×

＝2×

＝

.

【答案】　

（2）①由a

＋2an＝4Sn＋3，（*）

可知a

＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.（**）

（**）－（*），得a

－a

＋2（an＋1－an）＝4an＋1，

即2（an＋1＋an）＝a

－a

＝（an＋1＋an）（an＋1－an）．

由an>0，得an＋1－an＝2.

又a

＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去）或a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.

②由an＝2n＋1可知

bn＝

＝

＝

.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＋

＋…＋

＝

.

常见的裂项方法（其中n为正整数）

数　列

裂项方法

（k为非零常数）

＝

＝

＝

－

＝

（

－

）

（a＞0，a≠1）

loga

＝loga（n＋1）－logan

[变式训练]

1．（优质试题·大连模拟）若已知数列的前四项是

，

，

，

，则数列的前n项和为________．

【解析】　由前四项知数列{an}的通项公式为an＝

，

由

＝

知，

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an

＝

＝

＝

－

.

【答案】　

－

2．（优质试题·大纲全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解】　

（1）由a1＝10，a2为整数，知等差数列{an}的公差d为整数．

又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0,10＋4d≤0.

解得－

≤d≤－

.因此d＝－3.

数列{an}的通项公式为an＝13－3n.

（2）bn＝

＝

.

于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＋

＋…＋

－

＝

＝

.

考向3错位相减法求和

　（优质试题·山东高考）设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

【解】　

（1）因为2Sn＝3n＋3，

所以2a1＝3＋3，故a1＝3.

当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，

此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，

即an＝3n－1，

所以an＝

（2）因为anbn＝log3an，所以b1＝

，

当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝（n－1）·31－n.

所以T1＝b1＝

；

当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝

＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋（n－1）×31－n]，

所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋（n－1）×32－n]，

两式相减，得

2Tn＝

＋（30＋3－1＋3－2＋…＋32－n）－（n－1）×31－n

＝

＋

－（n－1）×31－n＝

－

，

所以Tn＝

－

.

经检验，n＝1时也适合．

综上可得Tn＝

－

.

1．要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．

2．在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．

3．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．

[变式训练]

（优质试题·德州模拟）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bn＝（4－an）qn－1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn.

【解】　

（1）设等差数列{an}的公差为d.

由已知得

解得

故an＝3＋（n－1）·（－1）＝4－n.

（2）由

（1）得，bn＝n·qn－1，于是

Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1.

若q≠1，将上式两边同乘以q有

qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋（n－1）·qn－1＋n·qn.

两式相减得到（q－1）Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1

＝nqn－

＝

.

于是，Sn＝

.

若q＝1，则Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝

.

所以Sn＝

规范解答

6．错位相减法求数列的和

　（12分）（优质试题·宁波模拟）已知数列{an}的前n项和Sn＝－

n2＋kn（其中k∈N*），且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k，并求an；

（2）求数列

的前n项和Tn.

【规范解答】　

（1）当n＝k∈N*时，Sn＝－

n2＋kn取得最大值，

即8＝Sk＝－

k2＋k2＝

k2，

故k2＝16，k＝4.

当n＝1时，a1＝S1＝－

＋4＝

，3分

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

－n.6分

当n＝1时，上式也成立，综上，an＝

－n.

（2）因为

＝

，

所以Tn＝1＋

＋

＋…＋

＋

，①7分

所以2Tn＝2＋2＋

＋…＋

＋

，②

②－①得：

2Tn－Tn＝2＋1＋

＋…＋

－

＝4－

－