因式分解的方法.docx

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因式分解的方法

因式分解的方法

因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。

一、基本方法

⑴提公因式法

各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“-”号时，多项式的各项都要变号。

例如：

-am+bm+cm=-m（a-b-c）；

a（x-y）+b（y-x）=a（x-y）-b（x-y）=（x-y）（a-b）。

注意：

把2a2+1/2变成2（a2+1/4）不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。

平方差公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；

完全平方公式：

a2±2ab＋b2＝（a±b）2；

注意：

能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍。

立方和公式：

a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

立方差公式：

a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；

完全立方公式：

a3±3a2b＋3ab2±b3=（a±b）3。

例如：

a2+4ab+4b2=（a+2b）2。

二、竞赛用到的方法

⑶分组分解法

分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。

能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：

二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a（x+y）+b（x+y）

=（a+b）（x+y）

我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。

同样，这道题也可以这样做。

ax+ay+bx+by

=x（a+b）+y（a+b）

=（a+b）（x+y）

几道例题：

1.5ax+5bx+3ay+3by

解法：

=5x（a+b）+3y（a+b）

=（5x+3y）（a+b）

说明：

系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。

2.x3-x2+x-1

解法：

=（x3-x2）+（x-1）

=x2（x-1）+（x-1）

=（x-1）（x2+1）

利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。

3.x2-x-y2-y

解法：

x2-x-y2-y=（x2-y2）-（x+y）

=（x+y）（x-y）-（x+y）

=（x+y）（x-y-1）

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=（a+b）（a-b），然后相合解决。

⑷十字相乘法

这种方法有两种情况。

①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

这类二次三项式的特点是：

二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。

因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：

x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

②kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么

x2+mx+n=（ax+b）（cx+d）。

图示如下：

ab

×

cd

例如：

因为

1-3

×

72

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x2-19x-6=（7x+2）（x-3）。

十字相乘法口诀：

首尾分解，交叉相乘，求和凑中

⑸拆项、添项法

这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：

bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）

=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）

=（c+b）（c-a）（a+b）。

⑹配方法

对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

属于拆项、补项法的一种特殊情况。

也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：

x2+3x-40

=x2+3x+2.25-42.25

=（x+1.5）2-（6.5）2

=（x+8）（x-5）

⑺应用因式定理

对于多项式f（x）=0，如果f（a）=0，那么f（x）必含有因式x-a。

例如：

f（x）=x2+5x+6，f（-2）=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。

（事实上，x2+5x+6=（x+2）（x+3）。

）

⑻换元法

有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:

换元后勿忘还元。

例如在分解（x2+x+1）（x2+x+2）-12时，可以令y=x2+x,则

原式=（y+1）（y+2）-12

=y2+3y+2-12=y2+3y-10

=（y+5）（y-2）

=（x2+x+5）（x2+x-2）

=（x2+x+5）（x+2）（x-1）。

⑼求根法

令多项式f（x）=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）。

例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x4+7x3-2x2-13x+6=0，

则通过综合除法可知，该方程的根为0.5，-3，-2，1。

所以2x4+7x3-2x2-13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）。

⑽图象法

令y=f（x），做出函数y=f（x）的图象，找到函数图像与X轴的交点x1，x2，x3，……xn，则多项式可因式分解为f（x）=f（x）=（x-x1）（x-x2）（x-x3）……（x-xn）。

与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

例如在分解x3+2x2-5x-6时，可以令y=x3+2x2-5x-6。

作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2

则x3+2x2-5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）。

⑾主元法

先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。

⑿特殊值法

将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。

例如在分解x3+9x2+23x+15时，令x=2，则

x3+9x2+23x+15=8+36+46+15=105，

将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7。

注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值，

则x3+9x2+23x+15可能等于（x+1）（x+3）（x+5），验证后的确如此。

⒀待定系数法

首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。

例如在分解x4-x3-5x2-6x-4时，由分析可知：

这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。

于是设x4-x3-5x2-6x-4=（x2+ax+b）（x2+cx+d）

=x4+（a+c）x3+（ac+b+d）x2+（ad+bc）x+bd

由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4。

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4。

则x4-x3-5x2-6x-4=（x2+x+1）（x2-2x-4）。

⒁双十字相乘法

双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。

用一道例题来说明如何使用。

例：

分解因式：

x2+5xy+6y2+8x+18y+12。

分析：

这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。

解：

x2y2y2x2

①②③

x3y3y6x6

∴原式=（x+2y+2）（x+3y+6）。

双十字相乘法其步骤为：

①先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图①中X2+5xy+6y2=（x+2y）（x+3y）；

②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。

如十字相乘图②中6y2+18y+12=（2y+2）（3y+6）；

③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图③，这一步不能省，否则容易出错。

三、多项式因式分解的一般步骤：

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；

②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；

③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；

④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

也可以用一句话来概括：

“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要合适。

”

几道例题

1．分解因式（1+y）2-2x2（1+y2）+x4（1-y）2。

解：

原式=（1+y）2+2（1+y）x2（1-y）+x4（1-y）2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2）（补项）

=[（1+y）+x2（1-y）]2-2（1+y）x2（1-y）-2x2（1+y2）（完全平方）

=[（1+y）+x2（1-y）]2-（2x）2

=[（1+y）+x2（1-y）+2x][（1+y）+x2（1-y）-2x]

=（x2-x2y+2x+y+1）（x2-x2y-2x+y+1）

=[（x+1）2-y（x2-1）][（x-1）2-y（x2-1）]

=（x+1）（x+1-xy+y）（x-1）（x-1-xy-y）。

2．求证：

对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：

x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5。

解：

原式=（x5+3x4y）-（5x3y2+15x2y3）+（4xy4+12y5）

=x4（x+3y）-5x2y2（x+3y）+4y4（x+3y）

=（x+3y）（x4-5x2y2+4y4）

=（x+3y）（x2-4y2）（x2-y2）

=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）。

（分解因式的过程也可以参看右图。

）

当y=0时，原式=x5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。

3．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：

-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：

这个三角形是等腰三角形。

分析：

此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。

证明：

∵-c2+a2+2ab-2bc=0，

∴（a+c）（a-c）+2b（a-c）=0。

∴（a-c）（a+2b+c）=0。

∵a、b、c是△ABC的三条边，

∴a＋2b＋c＞0。

∴a－c＝0，

即a＝c，△ABC为等腰三角形。

4．把-12x2n×yn+18x（n+2）y（n+1）-6xn×y（n-1）分解因式。

解：

-12x2n×yn+18x（n+2）y（n+1）-6xn×y（n-1）

=-6xn×y（n-1）（2xn×y-3x2y2+1）。

四、因式分解四个注意：

因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：

首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

现举下例可供参考

例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：

-a2-b2+2ab+4＝-（a2-2ab+b2-4）＝-（a-b+2）（a-b-2）

这里的“负”，指“负号”。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。

防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误

例2把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。

解：

－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

这里的“公”指“公因式”。

如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。

分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

即分解到底，不能半途而废的意思。

其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。

防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。

由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：

“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。