因式分解的方法.docx

1、因式分解的方法因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法，剩余定理法等。一、基本方法提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-

2、”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。注意：把2a2+1/2变成2(a2+1/4)不叫提公因式公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；完全平方公式：a22abb2(ab) 2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab

3、+b2)； 立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)；完全立方公式：a 33a2b3ab2b 3=(ab) 3。例如：a2 +4ab+4b2 =(a+2b) 2。二、竞赛用到的方法 分组分解法分组分解是解方程的一种简洁的方法，我们来学习这个知识。能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我们把ax和ay分一组，bx和by分一组，利用乘法分配律，两两相配，立即解除了困难。同样，这道题也可以这样做。ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)

4、几道例题：1. 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b) =(5x+3y)(a+b)说明：系数不一样一样可以做分组分解，和上面一样，把5ax和5bx看成整体，把3ay和3by看成一个整体，利用乘法分配律轻松解出。2. x3-x2+x-1解法：=(x3-x2)+(x-1) =x2 (x-1)+(x-1) =(x-1)(x2+1)利用二二分法，提公因式法提出x2，然后相合轻松解决。3. x2-x-y2-y解法：x2-x-y2-y =(x2-y2)-(x+y) =(x+y)(x-y)-(x+y) =(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(

5、a-b)，然后相合解决。十字相乘法这种方法有两种情况。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 。kx2+mx+n型的式子的因式分解 如果如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么 x2+mx+n=(ax+b)(cx+d)。图示如下： a b c d 例如：因为 1 -3 7 2 -37=-21，12=2，且2-21=-19， 所以7x2-19x-6=(7x+2)(x-3)。十字相乘

6、法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)。配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

7、属于拆项、补项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。例如：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5) 2-(6.5) 2=(x+8)(x-5)应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a。例如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x2+5x+6的一个因式。(事实上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)。)换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。注意:换元后勿忘还元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+

8、2)-12时，可以令y=x2+x,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)。求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 。例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6时，令2x 4 +7x 3-2x2-13x+6=0，则通过综合除法可知，该方程的根为0.5 ，-3，-2，1。所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)。图象法令y=f(

9、x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X轴的交点x1，x2，x3，xn，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)。与方法相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。例如在分解x 3 +2x2 -5x-6时，可以令y=x 3 +2x2 -5x-6。作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2 则x 3 +2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)。主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。特殊值法将2或10代入x，求出数p，将数p分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与

10、差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例如在分解x 3+9x 2+23x+15时，令x=2，则x 3 +9x2 +23x+15=8+36+46+15=105， 将105分解成3个质因数的积，即105=357 。注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值， 则x 3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，验证后的确如此。待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。例如在分解x 4-x 3-5x2-6x-4时，由分析可知：这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次

11、因式。于是设x 4-x 3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x 4+(a+c)x 3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd 由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4。解得a=1，b=1，c=-2，d=-4。则x 4-x 3-5x 2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)。双十字相乘法双十字相乘法属于因式分解的一类，类似于十字相乘法。用一道例题来说明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12。分析：这是一个二次六项式，可考虑使用双十字相乘法进行因式分解。解：x 2y 2y 2 x 2 x 3y 3y 6

12、 x 6原式=(x+2y+2)(x+3y+6)。双十字相乘法其步骤为：先用十字相乘法分解2次项，如十字相乘图中X2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)；先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项。如十字相乘图中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)；再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验，如十字相乘图，这一步不能省，否则容易出错。三、多项式因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； 如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。也

13、可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。”几道例题1分解因式(1+y) 2-2x2 (1+y2)+x 4(1-y) 2。解：原式=(1+y) 2+2(1+y)x2 (1-y)+x 4(1-y) 2-2(1+y)x2 (1-y)-2x2 (1+y2)（补项）=(1+y)+x2 (1-y) 2-2(1+y)x2 (1-y)-2x2 (1+y2)（完全平方）=(1+y)+x2 (1-y) 2-(2x) 2=(1+y)+x2 (1-y)+2x(1+y)+x2 (1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=(x+1) 2-y

14、(x2-1)(x-1) 2-y(x2-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)。2求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33：x 5+3x 4y-5x 3y2-15x2y 3+4xy 4+12y 5。解：原式=(x 5+3x 4y)-(5x 3y2+15x2y 3)+(4xy 4+12y 5)=x 4(x+3y)-5x2y2 (x+3y)+4y 4(x+3y)=(x+3y)(x 4-5x2y2+4y 4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)。（分解因式的过程也可以参看右图。）当y=0时，原式=x 5

15、不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。3ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。证明：-c2+a2+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0。(a-c)(a+2b+c)=0。a、b、c是ABC的三条边，a2bc0。ac0，即ac，ABC为等腰三角形。4把-12x 2ny n+18x (n+2)y (n+1)-6x ny (n-1)分解因式。解：-12x 2ny n

16、+18x (n+2)y (n+1)-6x ny (n-1)=-6x ny (n-1)(2x ny-3x 2y 2+1)。四、因式分解四个注意：因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。 现举下例 可供参考例1 把a2b22ab4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4-（a2-2ab+b2-4）-（a-b+2）（a-b-2）这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如9x24y2（3x）2（2y）2（3x2y）（3x2y）（3x2y）（3x2y）的错误例2

17、把12x2nyn18xn2yn16xnyn1分解因式。解：12x2nyn18xn2yn16xnyn16xnyn1（2xny3x2y21）这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y25x2y29y2y2（4x45x29）y2（x21）（4x29）的错误。由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。