概率论复习题讲解.docx

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概率论复习题讲解

第一章

1.假设有两箱同种零件：

第一箱内装50件，其中10件为一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回），求：

（1）先取出的零件是一等品的概率；

（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。

解：

设Ai={取到第i个箱子}，i=1,2，Bj={第j次取到一等品}，j=1,2

（1）由全概率公式

（2）所求概率为

，其中

故：

2.某段时间[t0,t0+t]内，t>0，证券交易所来了k个股民的概率为

，k=0,1,2……，λ>0，每个来到交易所的股民购买长虹股票的概率为p，且各股民是否购买这种股票相互独立。

（1）求此段时间内，交易所共有r个股民购买长虹股票的概率；

（2）若已知这段时间内有r个股民购买了长虹股票，求交易所内来了m个股民的概率。

解：

设Ak={交易所来了k个股民}，k=0,1,2,……，B={有r个股民购买长虹股票}。

（1）由于

，

故由全概率公式可得

（2）由Bayes公式得所求概率为

显然，

3.设一射手每次命中目标的概率为p，现对同一目标进行若干次独立射击，直到命中目标5次为止，则射手共射击了10次的概率为

（A）

（B）

（C）

（D）

解：

B

4.设有三个事件A,B,C，其中P（B）>0,P（C）>0，且事件B与事件C相互独立，证明：

分析：

利用关系式

证明：

由于事件B和事件C相互独立，故事件B和事件

相互独立，又因为

所以

从而有

第二章

1.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂；以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂；以概率0.20定为不合格品不能出厂。

现该厂生产了

台仪器，假设各台仪器的生产过程相互独立，试求：

（1）全部能出厂的概率；

（2）其中恰好有两件不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两件不能出厂的概率θ。

解：

设A={一台仪器能出厂}，B={一台仪器能直接出厂}，C={一台仪器经调试能出厂}，则

，且B与

显然互不相容。

于是

令X表示n台仪器中能出厂的台数，则有X～B（n,0.94）。

故

（1）

（2）

（3）由于至少有两件不能出厂等价于至多有n-2件能出厂，故

2.假设随机变量X的绝对值不大于1，

在事件

出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比，试求：

（1）X的分布函数

；

（2）X的取负值的概率p

解：

由条件知，当

时

又

于是，当

时

当

，时，

故

（2）

3.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为

的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2个小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数

解：

由题意得，

于是

又X的分布函数是参数的

的指数分布，即其分布函数为

因此，当

时，

，即

=1；

当

时，

，即

故

4.设随机变量X的概率密度为

是X的分布函数，试求随机变量

的分布函数

解：

的分布函数为

注意到

为分布函数，于是有

，因此，

当

时，

；

当

时，

；

当

时，由于

为单调增加函数，从而存在反函数，故

（

表示F的反函数）

即

的分布函数为：

第三章

1.设（X，Y）的联合密度为

0，其他

试求：

（1）常数C；

（2）P（X=Y）；（3）P（X＜Y）。

解：

（1）由

得C=4。

（2）由于x=y为平面上的一条直线，而二维连续型随机变量在平面上任何一条曲线上取得的概率均为零，故P（X=Y）=0；

（3）P（X＜Y）=

=

=

=

2.设连续型随机变量X，Y相互独立且服从同一分布，证明P（X≤Y）=

.

证明：

不妨设X，Y的密度函数为

，于是由X与Y相互独立得（X，Y）的联合密度为

于是P（X≤Y）=

由于被积函数

关于

对称，故

但

其中

表示整个平面，所以

即P（X≤Y）=

.

3.在10件产品中有2件一等品，7件二等品和1件次品，现在从10件产品中无放回地抽取3件，令X表示其中一等品数，Y表示其中二等品数，试求：

（1）（X，Y）的联合分布律

（2）（X，Y）关于X和Y的边缘分布律

（3）X和Y是否相互独立？

（4）在X=1的条件下Y的条件分布。

分析：

由题意知X的可能取值为0，1，2；Y的可能取值为0，1，2，3。

因此用古典概型分别计算它们的概率即可

解：

（1）因为当

而当

分别将

代入计算可得（X，Y）的联合分布律如下表

（2）由联合分布律易得两个边缘分布律为

（3）因为P（X=1，Y=0）=0，但

P（X=1）=

，P（Y=0）=

，

故P（X=1，Y=0）

P（X=1）P（Y=0）。

所以X与Y不相互独立

（4）因为P（Y=j|X=1）=

=

而

于是在X=1的条件下Y的条件分布为

4.设二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中D={（X，Y）|0

分析：

求边缘密度时，首先确定随机变量的取值范围，X（或Y）的取值范围是二维随机变量（X，Y）的取值范围在X轴（或Y轴）上的投影，在取值范围外，密度函数的值为0

解：

易知D的面积为1，故（x,y）的联合密度函数为：

1，

0，其他

因X的取值范围为（0，1），于是当0

又Y的取值范围为（-1，1），于是当

时

故：

因为在Y=y的条件下，当

时

，X的条件下分布不存在；当

时，

故X的条件密度函数为

同理可得：

5.某种商品一周的需求量X是一个随机变量，其概率密度为

假设各周的需求量相互独立，以

表示k周的总需求量

（1）求

的概率密度

（2）求接连三周中的周最大需求量的概率密度。

分析：

若以

表示第

周的需求量

则

相互独立且同分布，

，从而问题归结为求随机变量

的函数的分布

解：

利用卷积公式

设

表示第

周的需求量

表示三周中的周最大需求量，于是

，且

与

同分布

（1）由卷积公式，

的密度为

（2）因为

的分布函数为

故

的密度函数为

6.设随机变量

与

相互独立，

的密度函数为

，

的分布律为

试求

的密度函数

分析：

这是一个求两个随机变量的和函数的分布问题，两个随机变量中一个为离散型，另一个为连续型，从而写不出“联合密度”，因此在分布函数的求法，也就是概率的计算方法上有所不同

解：

因为

的分布函数为

因此，

的密度函数为：

第四章

1.设学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，设在各交通岗遇到红灯是相互独立的，其概率均为2/5，求途中遇到红灯次数的数学期望与方差。

解：

设X表示途中遇到红灯的次数，则X～B（3,2/5），所以

E（X）=np=3×2/5＝6/5

D（X）=np（1-p）=3×2/5×3/5=18/25

2.设相互独立的两个随机变量X，Y具有同一分布，且X的分布律为

X

0

1

p

1/2

1/2

求Z=min（X,Y）的数学期望与方差。

解：

因X与Y独立同分布，所以（X，Y）的联合分布律为：

Y

X

0

1

0

1/4

1/4

1

1/4

1/4

由此得Z=min（X,Y）的分布律为：

Z=min（X,Y）

0

1

p

3/4

1/4

因此E（Z）=0*3/4+1*1/4=1/4

E（Z2）=02*3/4+12*1/4=1/4

D（Z）=E（Z2）-[E（Z）]2=1/4-1/16=3/16

3.设随机变量X的概率密度为

ax,0

f（x）=cx+b

0其他

又已知E（X）=2，D（X）=2/3，求：

（1）a,b,c的值

（2）随机变量Y=eX的数学期望与方差

解：

（1）因为f（x）为概率密度函数，故

即有：

2a+2b+6c=1

又

故有4a+9b+28c=3

因D（X）=2/3，于是

即

于是有6a+28b+90c=7

联立

（1）、

（2）、（3）解得a=1/4、b=1、c=-1/4

（2）由

（1）知

x/40

f（x）=

0其他

于是

故

4.设X～N（μ,σ2），Y～N（μ,σ2），且设X，Y相互独立，求Z1＝αX+βY，Z2=αX-βY的相关系数（其中αβ是不为0的常数）

解：

Cov（Z1,Z2）=Cov（αX+βY,αX-βY）

=α2Cov（X,X）-αβCov（X,Y）+βαCov（Y,X）-β2Cov（Y,Y）

=α2D（X）-β2D（Y）

=（α2-β2）σ2

又X，Y相互独立，所以

D（Z1）=D（αX+βY）=α2D（X）+β2D（Y）=（α2+β2）σ2

D（Z2）=D（αX-βY）=α2D（X）+β2D（Y）=（α2+β2）σ2

故

5.卡车装运水泥，设每袋水泥重量X（以公斤计）服从N（50,2.52），问最多装多少袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05。

解：

设最多装n袋水泥使总重量超过2000的概率不大于0.05，n袋水泥的总重量为Y，Xi表示第i袋水泥的重量，i=1,2......n，则X1，X2，......Xn独立同服从N（50,2.52），且Y=X1+X2+......+Xn，于是

E（Y）=E（X1）+E（X2）+......+E（Xn）=50n

D（Y）=D（X1）+D（X2）+......+D（Xn）=2.52n

即Y～N（50n，2.52n），

查表得

故最多装39袋水泥。

6.

第五章

1.现有一大批种子，其中良种占1/6，现从中任取6000粒种子，试分别用切比雪夫不等式估计和用中心极限定理计算这6000粒种子中良种所占的比例与1/6之差的绝对值不超过0.01的概率。

解：

设X表示所取的6000粒种子中良种的粒数，由题意可知

X～B（6000,1/6），因此

E（X）=np=1000，D（X）=np（1-p）=5000/6，

要估计的概率为

。

（1）由切比雪夫不等式知，

（2）由德莫弗－拉普拉斯中心极限定理知：

2.一个食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1（元）、1.2（元）、1.5（元）各个值的概率分别为0.3、0.2、0.5。

某天售出300只蛋糕。

（1）求这天的收入至少400（元）的概率；

（2）求这天售出价格为1.2（元）的蛋糕多于60只的概率。

解：

设Xk（k=1,2,...300）表示售出的第k只蛋糕的价格，则X1、X2、..