初二数学培优与提高因式分解小结.docx

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初二数学培优与提高因式分解小结

因式分解小结

一、常用公式

因式分解中常用的公式，如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

　　（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）．

　　（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

　　（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=（a+b+c）/2【（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2】；

　　（7）a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3；

（8）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n为正整数；

　　（9）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n为偶数；

　　（10）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n为奇数。

二、常用方法

1.提公因式法。

a.公式要提尽；

b.将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正；

c.因式分解的结果，单项式要写在多项式的前面，相同的因式要写成幂的形式。

2.运用公式法。

3.十字相乘法。

4.双十字相乘法。

双十字相乘法用于对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解。

双十字相乘法进行因式分解的步骤是：

a.用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图（有两列）；

b.把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。

5.拆项、添项法。

例如：

因式分解x３-9x+8（四种方法）

a.将常数项8拆成-1+9;

b.将一次项-9x拆成-x-8x;

c.添加两项-x2+x2;

d.将三次项x3拆成9x3-8x3;

拆项、添项法的难点在于：

不易想到添加项。

更复杂的情况是，添加项后分成的多项式又无公因式可提，而是要先将他们分解，再与第三组结合，找到公因式，运用公式。

（如：

本小结难题解答例8。

）

6.分组分解法。

一般分组后应有公因式可得；或能用公式法进一步分解；或能用十字相乘法把一些多项式因式分解。

有时，还需添项或拆项后再分组。

7.换元法。

用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换。

根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式；（《举一反三》p5题7）

实际上是将某一多项式看作一个整体，但并不要设立新元来代替它。

即：

熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体。

《因式分解第一讲》例9解法2）

换元法分解简单一点的多项式时，可直接利用换元法解题。

复杂一点时，先将两个多项式分解，然后再重新组合，最后再用换元法解题等等。

8.求根法。

如果ax2+bx+c=0（a≠0）有两个根x1,x2,那么ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）。

9.待定系数法。

10.轮换对称多项式分解法。

（作为第五点，小结）

11.恒等变形。

（下一次学习）

三、几个需要重点关注的问题

1.合数的概念?

合数又名合成数，是满足以下任一（等价）条件的正整数：

a.是两个大于1的整数之乘积;

b.拥有某大于1而小于自身的因数（因子）;

c.拥有至少三个因数（因子）;

d.不是1也不是素数（质数）;

e.有至少一个素因子的非素数。

以下是关于合数以及一些特殊合数的结论：

·一个合数有奇数个因数（因子）当且仅当它是完全平方数。

·只有1和它本身两个约数的数，叫质数（又称素数）。

（如：

2÷1=2，2÷2=1，所以2的约数只有1和它本身2这两个约数，2就是质数。

）

·除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。

（如：

4÷1=4，4÷2=2，4÷4=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。

）

·1既不是质数也不是合数。

因为它的约数有且只有1这一个约数。

·合数就是有两个以上的因数的数叫做合数。

（如：

本小结难题解答例14。

）

2.公式"a3+b3+c3=3abc（a+b+c=0）"解题技巧?

公式（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=a3+b3+c3-3abc，当a+b+c=0时，就转化成了"a3+b3+c3=3abc"的形式，这在解答某些问题时是相当方便的。

例1:

已知三角形三条边a、b、c满足关系a3+b3+c3=3abc，试判断此三角形的形状。

　　解：

由a3+b3+c3=3abc可知（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=0

　　∵a+b+c≠0∴（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=0

　　即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0

　　于是a=b=c.

　　故此三角形是等边三角形。

例2：

已知x+y+z=3,且（x-1）3+（y-1）3+（z-1）3=0，求证：

x、y、z中至少有一个等于1。

　　证明：

由x+y+z=3可知（x-1）+（y-1）+（z-1）=0

　　∴（x-1）3+（y-1）3+（z-1）3=3（x-1）（y-1）（z-1）=0

　　∴x=1或y=1或z=1

　　即x、y、z中至少有一个等于1

例3：

已知a+b+c=0，a3+b3+c3=0，a99+b99+c99=？

解：

∵a+b+c=0，a3+b3+c3=0

∴3abc=abc=0

即ab（a-b）=0

因此可以有几种情况：

①：

a=0,并且因为a+b+c=0有b=-c将此带入a99+b99+c99知道原式为0；

②：

b=0，同理原式为0；

③：

a=b，由a+b+c=0解得c=-2a，带入a3+b3+c3=0依然有a=b=c=0，因此原式为0。

综上所述，a99+b99+c99==0。

思维延伸：

只要是a+b+c的任何奇次方，都等于0，如：

a2011+b2011+c2011等等。

3.多利用平方差公式降幂，少利用完全平方公式升幂。

4.（xn）m=xnm与xnxm=xn+M是不同的。

5.换元法分解的结果未必是最终结果：

a.注意令x+y=a，xy=b，要代回；

b.分解到不能再分为止，如：

（xy+x+y+1）=（x+1）（y+1）,x3+x2+x+1）=（x+1）（x2+1）等等。

（《举一反三》p3题4）

6.分解因式求m值时；

a.运用双十字相乘法与原式比较即可，或者运用a2+b2=0;

b.运用待定系数法；

①求未知常数项。

（《举一反三》p5题5）

②求变量常数项。

（《举一反三》p4题6-3）

c.一些怪题，如运用其他方法不能分解因式，就用待定系数法。

（如：

只知一个因式，不知其他几个因式时；或是为某个多项式的平方时。

具体方法是，先假设，然后展开，与原式进行比对，求出未知项，最后写出整个分解完的因式。

）

7.结合系数特征，进行因式分解，简化了多项式的结构，也突出了分解方向。

（《举一反三》p7题2、2-1）

8.结果推导法解题。

a.由结果反推，得到答案。

（《举一反三》p5题9）

b.假设结论，反推不成立，破题。

（《举一反三》p7题3-1）

9.凡是一元四次多项式，只要系数对称，均可提x2公因式来分解因式。

（《举一反三》p6题1）

10.因式分解具有唯一性。

即：

不管用什么方法，走了哪些过程，结果必然是一样的。

四、难题解答

1.如果3x3-x=1,则9x4-12x3-3x2-7x+2001的值等于？

（武汉市2000年竞赛题）

解：

∵3x3-x=1，即：

3x3-x-1=0

∴9x4+12x3-3x2-7x+2001

=3x（3x3-x-1）+4（3x3-x-1）+2005

=2005。

2.若x+y=1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于多少？

（第14届“希望杯”邀请赛题）

解：

∵x+y=-1，

∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4

=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2

=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2-2xy]+xy（x+y）+6x2y2

=[（x+y）2-2xy]2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2

=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2

=1-4xy+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2

=1．

3.若a,b,c,d都是正数，则在以下命题中，错误的是：

C

A若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则a=b=c

B若a3+b3+c3=3abc,则a=b=c

C若a4+b4+c4+d4=2（a2b2+c2d2）,则a=b=c=d

D若a4+b4+c4+d4=4abcd,则a=b=c=d

分析：

a4+b4大于等于2a2b2当且仅当a=b时等号成立

c4+d4大于等于2c2d2当且仅当c=d时等号成立

但是两个条件之间没有任何关系，只要a=b且c=d，等号就成立，并不一定要a=b=c=d

至于C、D，就是直接套用均值不等式，没什么说的

说说A

a2+b2+c2=（a2+b2）/2+（b2+c2）/2+（c2+a2）/2

（a2+b2）/2大于等于ab当且仅当a=b时等号成立

（b2+c2）/2大于等于bc当且仅当b=c时等号成立

（c2+a2）/2大于等于ca当且仅当a=c时等号成立

注意这三个条件彼此有重合（这和C选项不一样），最终当a=b=c时，等号成立

4.已知a＞b＞c，m=a2b+b2c+c2a,n=ab2+bc2+ca2,则m与n的大小关系是？

解：

∵M-N=（a2b+b2c+c2a）-（ab2+bc2+ca2）

=a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2

=a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）

=a2（b-c）+bc（b-c）-ab2+ac2

=a2（b-c）+bc（b-c）-a（b+c）（b-c）

=（b-c）（a2+bc-ab-ac）

=（b-c）（a-c）（a-b）

又a＞b＞c

∴M-N=（b-c）（a-c）（a-b）＞0

即M＞N。

思维延伸：

实际上a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）是一个轮换对称式，可以分解为-（a-b）（b-c）（c-a），考虑到a＞c,o为便于分析，可化为（b-c）（a-c）（a-b）。

5.分解因式a12+a9+a6+a3+1

解：

x^12+x^9+x^6+x^3+1

=（x^12+x^11+x^10+x^9+x^8）-（x^11+x^10+x^9+x^8+x^7）+x^9+x^7+x^6+x^3+1

=x^8（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^7（x^4+x^3+x^2+x+1）+x^9+x^7+x^6+x^3+1

=x^8（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^7（x^4+x^3+x^2+x+1）+（x^9+x^8+x^7+x^6+x^5）-（x^8+x^7+x^6+x^5+x^4）+x^7+x^6+x^4+x^3+1

=x^8（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^7（x^4+x^3+x^2+x+1）+x^5（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^4（x^4+x^3+x^2+x+1）+x^7+x^6+x^4+x^3+1

=x^8（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^7（x^4+x^3+x^2+x+1）+x^5（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^4（x^4+x^3+x^2+x+1）+（x^7+x^6+x^5+x^4+x^3）-（x^5+x^4+x^3+x^2+x）+（x^4+x^3+x^2+x+1）

=x^8（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^7（x^4+x^3+x^2+x+1）+x^5（x^4+x^3+x^2+x+1）-x^4（x^4+x^3+x^2+x+1）+x^3（x^4+x^3+x^2+x+1）-x（x^4+x^3+x^2+x+1）+（x^4+x^3+x^2+x+1）

=（x^4+x^3+x^2+x+1）（x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1）

6.分解因式（ax-by）3+（by-cz）3+（ax-cz）3

解：

原式==（ax-by+by-cz）[（ax-by）²-（ax-by）（by-cz）+（by-cz）²]-（ax-cz）³

=（ax-cz）[（ax-by）²-（ax-by）（by-cz）+（by-cz）²-（ax-cz）²]

=（ax-cz）{（ax-by）²-（ax-by）（by-cz）+[（by-cz）+（ax-cz）][（by-cz）-（ax-cz）]}

=（ax-cz）[（ax-by）²-（ax-by）（by-cz）+（by-2cz+ax）（by-ax）]

=（ax-cz）（ax-by）[（ax-by）-（by-cz）-（by-2cz+ax）]

=3（ax-cz）（ax-by）（cz-by）

思维延伸：

令ax=m，by=n，cz=l，或把ax，by，cz，看成一个整体，不可分割的变量，则原式可变为（m-n）3+（n-l）3+（l-m）3,是一个轮换对称式，可因式分解为k（m-n）（n-l）（l-m），很容易求出k等于3。

7.求证:

对任何整数x和y,x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5的值都不会等于33。

解：

原式=x^4（x+3y）-5x^2y^2（x+3y）+4y^4（x+3y）

=（x+3y）（x^4-5x^2y^2+4y^4）

=（x+3y）（x^2-y^2）（x^2-4y^2）

=（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）

现在我们假定原式会等于33，即

（x+3y）（x+y）（x-y）（x+2y）（x-2y）=33=1×3×11........................①

讨论：

显然，①式左端5个因式均不为0，且①式左端的5个分解式中，两两不等，也就是5个因式互不相等，否则的话，例如：

x+3y=x+y，将推出y=0，而当y=0时，①式变形为：

x^5=33，则x无整数解。

因此，①式左端的5个因式分别代表了5个不同的整数，而①式右端的33只能分解成3个不同的因数：

1、3、11，所以①式左右两端不对应，换句话说，也就是：

对任何整数x和y,x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5的值都不会等于33。

8.分解因式a3b-ab3+a2+b2+1

添加两项+ab-ab

　　解：

原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab

　　=（a3b-ab3）+（a2-ab）+（ab+b2+1）

　　=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b2+1）

　　=a（a-b）［b（a+b）+1]+（ab+b2+1）

　　=[a（a-b）+1]（ab+b2+1）

　　=（a2-ab+1）（b2+ab+1）

９.分解因式x5+x4+x3+x2+x+1

解：

原式=x4（x+1）+x2（x+1）+（x+1）

=（x+1）（x4+x2+1）

=（x+1）[（x2+1）2-x2]

=（x+1）（x2+x+1）（x2-x+1）

10.分解因式x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1

解：

原式=（x7+x6）+（x5+x4）+（x3+x2）+（x+1）

=（x+1）（x6+x4+x2+1）

=（x+1）[x4（x2+1）+（x2+1）]

=（x+1）（x2+1）（x4+1）

11.分解因式x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1

解：

原式=x5（x3+x2+x+1）+x（x3+x2+x+1）

=x（x4+1）（x3+x2+x+1）

=x（x+1）（x2+1）（x4+1）

12.分解因式（a+b）5-a5-b5

解：

这是五次对称多项式，易发现，

当a=-b时，原多项式为0，

所以原多项式含有因式a+b,

由于是对称多项式，则必还含有因式b+c,c+a.

即含有因式（a+b）（b+c）（c+a），

从次数上看，原多项式还应含有一个2次对称多项式，

可设为m（a^2+b^2+c^2）+n（ab+bc+ca）,

即（a+b+c）^5-a^5-b^5-c^5=（a+b）（b+c）（c+a）[m（a^2+b^2+c^2）+n（ab+bc+ca）],

其中m,n是待定系数。

令a=1,b=1,c=0

得30＝2（2m+n）,

令a=0,b=1,c=2

得210＝6（5m+2n）,

解得：

m=5,n=5,

所以（a+b+c）^5-a^5-b^5-c^5=5（a+b）（b+c）（c+a）[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca]

12.求证x=n（n+1）（n+2）（n+3）+1是一个完全平方数？

解：

原式=（n2+n）（n2+5n+6）+1

=n4+6n3+11n2+6n+1

=（n2+3n）2+2（n2+3）+1

=（n2+3n+1）2

13.分解因式（1-7t-7t2-3t3）（1-2t-2t2-t3）-（t+1）6

解：

设t+t^2=m,t^3=n，

原式=（1-7m-3n）（1-2m-n）-（3m+n+1）^2

=（5m+2n）（m+n-3）

=（2t^2+5t+5）t（t-1）（t^2+2t+3）

14.若a为自然数，则a4-3a2+9是质数还是合数，请说明理由？

解：

原式=（a4+6a2+9）-9a2=（a2+3a+3）（a2-3a+3），

当a=0时，原式=9是合数；

当a=1时，原式=7是质数；

当a=2时，原式=13也是质数；

当a＞2时，a2+3a+3＞1，a2-3a+3=（a-2）（a-1）+1＞1，

这说明，此时a4-3a2+9可以分解为两个大于1的自然数的积，即它是合数．

故当a=0或a＞2时原式的值是合数；

当a=1或a=2时原式的值是质数。

15.求使x2-5x-24成为完全平方数的所有x的值？

解：

原式=（x-5\2）2-121\4=y2（y为自然数）

即：

（2x-5）2-4y2=121

故（2x+2y-5）（2x-2y-5）=121

又因2x+2y-5、2x-2y-5都是整数，且奇偶性质相同，

又y是自然数，所以2x+2y-5＜2x-2y-5

因此，可得

2x+2y-5=1212x-2y-5=1或2x+2y-5=112x-2y-5=11

2x+2y-5=-12x-2y-5=-121或2x+2y-5=-1112x-2y-5=-11

解得x1=33,x2=8,x3=-28,x4=-3。