初二数学培优与提高因式分解小结.docx

1、初二数学培优与提高因式分解小结因式分解小结一、常用公式因式分解中常用的公式，如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a22ab+b2=(ab)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)= (a+b+c) /2【（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2】；(7)a3 +3a2b+3ab2 +b3 =（a+b）3；(8)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2

2、+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(9)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(10)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n为奇数。二、常用方法1.提公因式法。a.公式要提尽；b.将公因式提到括号外时，留在括号内的多项式的首项为正；c.因式分解的结果，单项式要写在多项式的前面，相同的因式要写成幂的形式。2.运用公式法。3.十字相乘法。4.双十字相乘法。双十字相乘法用于对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解。双十字相乘法进行因式分解的步骤是：a.用十字相乘法

3、分解ax2+bxy+cy2，得到一个十字相乘图(有两列)；b.把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx。5.拆项、添项法。例如：因式分解x-9x+8 （四种方法）a.将常数项8拆成-1+9;b. 将一次项-9x拆成-x-8x;c. 添加两项-x2+x2; d. 将三次项x3拆成9x3-8x3;拆项、添项法 的 难点在于：不易想到添加项。更复杂的情况是，添加项后分成的多项式又无公因式可提，而是要先将他们分解，再与第三组结合，找到公因式，运用公式。(如：本小结难题解答例8。)6.分组分解法。一般

4、分组后应有公因式可得；或能用公式法进一步分解；或能用十字相乘法把一些多项式因式分解。有时，还需添项或拆项后再分组。7.换元法。用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换。根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式；（举一反三p5题7）实际上是将某一多项式看作一个整体，但并不要设立新元来代替它。即：熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体。因式分解第一讲例9解法2）换元法分解简单一点的多项式时，可直接利用换元法解题。复杂一点时，先将两个多项式分解，然后再重新组合，最后再用换元法解题等等。8.求根法。如果ax2+bx+c=0(a0)有两个

5、根x1,x2, 那么ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。9.待定系数法。10.轮换对称多项式分解法。(作为第五点，小结)11.恒等变形。（下一次学习）三、几个需要重点关注的问题1.合数的概念?合数又名合成数，是满足以下任一（等价）条件的正整数：a.是两个大于 1 的整数之乘积;b.拥有某大于 1 而小于自身的因数（因子）;c.拥有至少三个因数（因子）;d.不是 1 也不是素数(质数);e.有至少一个素因子的非素数。以下是关于合数以及一些特殊合数的结论：一个合数有奇数个因数（因子）当且仅当它是完全平方数。只有1和它本身两个约数的数，叫质数（又称素数）。（如：21=2，22=1，所以2的

6、约数只有1和它本身2这两个约数，2就是质数。）除了1和它本身两个约数外，还有其它约数的数，叫合数。（如：41=4，42=2，44=1，很显然，4的约数除了1和它本身4这两个约数以外，还有约数2，所以4是合数。）1既不是质数也不是合数。因为它的约数有且只有1这一个约数。合数就是有两个以上的因数的数叫做合数。(如：本小结难题解答例14。)2.公式a3+b3+c3=3abc(a+b+c=0) 解题技巧?公式(a+b+c)（a2+b2+c2-ab-bc-ca）= a3+b3+c3-3abc，当a+b+c=0时，就转化成了a3+b3+c3=3abc的形式，这在解答某些问题时是相当方便的。例1:已知三角形

7、三条边a、b、c满足关系a3+b3+c3=3abc，试判断此三角形的形状。 解：由a3+b3+c3=3abc可知（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=0 a+b+c0 （a2+b2+c2-ab-bc-ca）=0 即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0 于是 a=b=c . 故此三角形是等边三角形。 例2：已知x+y+z=3,且（x-1）3+（y-1）3+（z-1）3=0，求证：x、y、z中至少有一个等于1。 证明：由x+y+z=3可知（x-1）+（y-1）+（z-1）=0 （x-1）3+（y-1）3+（z-1）3=3（x-1）（y-1）（z-1）=0 x=1或y=1或z

8、=1 即x、y、z中至少有一个等于1 例3：已知a+b+c=0，a3+b3+c3=0，a99+b99+c99=？解： a+b+c=0，a3+b3+c3=0 3abc=abc=0即ab(a-b)=0因此可以有几种情况：a=0,并且因为a+b+c=0有b=-c将此带入a99+b99+c99知道原式为0；：b=0，同理原式为0；：a=b，由a+b+c=0解得c=-2a，带入a3+b3+c3=0依然有a=b=c=0，因此原式为0。综上所述，a99+b99+c99=0。思维延伸：只要是a+b+c的任何奇次方，都等于0，如：a2011+b2011+c2011等等。3.多利用平方差公式降幂，少利用完全平方公

9、式升幂。4.(xn)m=xnm与xnxm=xn+M是不同的。5.换元法分解的结果未必是最终结果：a.注意令x+y=a，xy=b，要代回；b.分解到不能再分为止，如：（xy+x+y+1）=(x+1)(y+1), x3+x2+x+1)= (x+1)( x2+1)等等。（举一反三p3题4）6.分解因式求m值时；a.运用双十字相乘法与原式比较即可，或者运用a2+b2=0;b.运用待定系数法；求未知常数项。（举一反三p5题5）求变量常数项。（举一反三p4题6-3）c.一些怪题，如运用其他方法不能分解因式，就用待定系数法。（如：只知一个因式，不知其他几个因式时；或是为某个多项式的平方时。具体方法是，先假设

10、，然后展开，与原式进行比对，求出未知项，最后写出整个分解完的因式。）7.结合系数特征，进行因式分解，简化了多项式的结构，也突出了分解方向。（举一反三p7题2、2-1）8.结果推导法解题。a.由结果反推，得到答案。（举一反三p5题9）b.假设结论，反推不成立，破题。（举一反三p7题3-1）9.凡是一元四次多项式，只要系数对称，均可提x2公因式来分解因式。（举一反三p6题1）10.因式分解具有唯一性。即：不管用什么方法，走了哪些过程，结果必然是一样的。四、难题解答1.如果3x3-x=1,则9x4-12x3-3x2-7x+2001的值等于？（武汉市2000年竞赛题）解：3x3-x=1，即：3x3-x

11、-1=09x4+12x3-3x2-7x+2001=3x（3x3-x-1）+4（3x3-x-1）+2005=2005。2.若x+y=1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于多少？（第14届“希望杯”邀请赛题）解：x+y=-1，x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2=（x2+y2）2+5xy（x+y）2-2xy+xy（x+y）+6x2y2=（x+y）2-2xy2+5xy（1-2xy）-xy+6x2y2=（1-2xy）2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2=1-4xy

12、+4x2y2+5xy-10x2y2-xy+6x2y2=13.若a,b,c,d都是正数，则在以下命题中，错误的是：CA 若a2+b2+c2=ab+bc+ca,则a=b=cB 若a3+b3+c3=3abc,则a=b=cC 若a4+b4+c4+d4=2(a2b2+c2d2),则a=b=c=dD若a4+b4+c4+d4=4abcd,则a=b=c=d分析：a4+b4 大于等于 2a2b2 当且仅当a=b 时等号成立c4+d4 大于等于 2c2d2 当且仅当c=d 时等号成立但是两个条件之间没有任何关系，只要a=b且c=d ，等号就成立，并不一定要a=b=c=d至于C、D，就是直接套用均值不等式，没什么说

13、的说说Aa2+b2+c2=(a2+b2)/2+(b2+c2)/2+(c2+a2)/2(a2+b2)/2 大于等于 ab 当且仅当a=b 时等号成立(b2+c2)/2 大于等于 bc 当且仅当b=c 时等号成立(c2+a2)/2 大于等于 ca 当且仅当a=c 时等号成立注意这三个条件彼此有重合（这和C选项不一样），最终当a=b=c 时，等号成立4.已知abc，m=a2b+b2c+c2a,n=ab2+bc2+ca2,则m与n的大小关系是？解： M-N =（a2b+b2c+c2a）-（ab2+bc2+ca2）=a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a

14、-b）=a2（b-c）+bc（b-c）-ab2+ac2=a2（b-c）+bc（b-c）-a（b+c）（b-c）=（b-c）（a2+bc-ab-ac）=（b-c）（a-c）（a-b）又abcM-N=（b-c）（a-c）（a-b）0即MN。思维延伸：实际上a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）是一个轮换对称式，可以分解为-（a-b）（b-c）（c-a），考虑到ac,o 为便于分析，可化为（b-c）（a-c）（a-b）。5.分解因式a12+a9+a6+a3+1解：x12+x9+x6+x3+1=(x12+x11+x10+x9+x8) -(x11+x10+x9+x8+x7) +x9+x7+x6+

15、x3+1=x8(x4+x3+x2+x+1) -x7(x4+x3+x2+x+1) +x9+x7+x6+x3+1=x8(x4+x3+x2+x+1) -x7(x4+x3+x2+x+1) +(x9+x8+x7+x6+x5) - (x8+x7+x6+x5+x4) +x7+x6+x4+x3+1=x8(x4+x3+x2+x+1) -x7(x4+x3+x2+x+1) +x5(x4+x3+x2+x+1) -x4 (x4+x3+x2+x+1) +x7+x6+x4+x3+1=x8(x4+x3+x2+x+1) -x7(x4+x3+x2+x+1) +x5(x4+x3+x2+x+1) -x4 (x4+x3+x2+x+1)

16、 +(x7+x6+x5+x4+x3) -(x5+x4+x3+x2+x) +(x4+x3+x2+x+1)=x8(x4+x3+x2+x+1) -x7(x4+x3+x2+x+1) +x5(x4+x3+x2+x+1) -x4(x4+x3+x2+x+1) +x3(x4+x3+x2+x+1) -x(x4+x3+x2+x+1) +(x4+x3+x2+x+1)=(x4+x3+x2+x+1)(x8-x7+x5-x4+x3-x+1)6. 分解因式(ax-by)3+(by-cz)3+(ax-cz)3解：原式=(ax-by+by-cz)(ax-by)-(ax-by)(by-cz)+(by-cz)-(ax-cz)=(a

17、x-cz)(ax-by)-(ax-by)(by-cz)+(by-cz)-(ax-cz)=(ax-cz)(ax-by)-(ax-by)(by-cz)+(by-cz)+(ax-cz)(by-cz)-(ax-cz) =(ax-cz)(ax-by)-(ax-by)(by-cz)+(by-2cz+ax)(by-ax)=(ax-cz)(ax-by)(ax-by)-(by-cz)-(by-2cz+ax)=3(ax-cz)(ax-by)(cz-by)思维延伸：令ax=m，by=n，cz=l，或把ax，by，cz，看成一个整体，不可分割的变量，则原式可变为(m-n)3+(n-l)3+(l-m)3,是一个轮换对称

18、式，可因式分解为k（m-n）（n-l）（l-m），很容易求出k 等于3。7. 求证:对任何整数x和y, x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5的值都不会等于33 。解：原式=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-y2)(x2-4y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)现在我们假定原式会等于33，即(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)=33=1311.讨论：显然，式左端5个因式均不为0，且式左端的5个分解式中，两两不等，也就是5个因式互不相等，否

19、则的话，例如：x+3y=x+y，将推出y=0，而当y=0时，式变形为：x5=33，则x无整数解。因此，式左端的5个因式分别代表了5个不同的整数，而式右端的33只能分解成3个不同的因数：1、3、11，所以式左右两端不对应，换句话说，也就是：对任何整数x和y,x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5的值都不会等于33。8.分解因式a3b-ab3+a2+b2+1添加两项+ab-ab解：原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(

20、ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).分解因式x5+x4+x3+x2+x+1解：原式= x4(x+1)+x2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x2+1)2-x2=(x+1)(x2+x+1)(x2-x+1)10.分解因式x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1解：原式= (x7+x6)+(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)( x6+x4+x2+1)=(x+1)x4(x2+1)+(x2+1)=(x+1)(x2+1)( x4+1)11.分解因式x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1解：

21、原式=x5(x3+x2+x+1)+x(x3+x2+x+1)=x(x4+1)( x3+x2+x+1)= x(x+1)( x2+1)(x4+1)12.分解因式(a+b)5-a5-b5解：这是五次对称多项式，易发现，当a=-b时，原多项式为0 ，所以原多项式含有因式a+b,由于是对称多项式，则必还含有因式b+c,c+a.即含有因式（a+b)(b+c)(c+a)，从次数上看，原多项式还应含有一个2次对称多项式，可设为m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca),即(a+b+c)5-a5-b5-c5=（a+b)(b+c)(c+a)m(a2+b2+c2)+n(ab+bc+ca),其中m,n是待定系数。令

22、a=1,b=1,c=0得302（2m+n),令a=0,b=1,c=2得2106（5m+2n),解得：m=5,n=5,所以(a+b+c)5-a5-b5-c5= 5（a+b)(b+c)(c+a）a2+b2+c2+ab+bc+ca 12.求证x=n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一个完全平方数？解：原式=（n2+n）（n2+5n+6）+1=n4+6n3+11n2+6n+1=(n2+3n)2+2(n2+3)+1=(n2+3n+1)213.分解因式（1-7t-7t2-3t3）（1-2t-2t2-t3）-（t+1）6解：设t+t2=m,t3=n，原式=(1-7m-3n)(1-2m-n)-(3m+n+1

23、)2=(5m+2n)(m+n-3)=(2t2+5t+5)t(t-1)(t2+2t+3) 14.若a为自然数，则a4-3a2+9是质数还是合数，请说明理由？解：原式=（a4+6a2+9）-9a2=（a2+3a+3）（a2-3a+3），当a=0时，原式=9是合数；当a=1时，原式=7是质数；当a=2时，原式=13也是质数；当a2时，a2+3a+31，a2-3a+3=（a-2）（a-1）+11，这说明，此时a4-3a2+9可以分解为两个大于1的自然数的积，即它是合数故当a=0或a2时原式的值是合数；当a=1或a=2时原式的值是质数。15.求使x2-5x-24成为完全平方数的所有x的值？解：原式=（x-52）2-1214=y2 (y为自然数)即：（2x-5）2-4y2=121故(2x+2y-5)( 2x-2y-5)=121又因2x+2y-5、2x-2y-5都是整数，且奇偶性质相同，又y是自然数，所以2x+2y-52x-2y-5因此，可得2x+2y-5=121 2x-2y-5=1 或 2x+2y-5=11 2x-2y-5=112x+2y-5=-1 2x-2y-5=-121 或 2x+2y-5=-11 12x-2y-5=-11解得x1=33,x2=8,x3=-28,x4=-3。