《高考真题》专题10 双曲线及其性质高考文数母题题源系列全国Ⅲ专版原卷版.docx

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《高考真题》专题10双曲线及其性质高考文数母题题源系列全国Ⅲ专版原卷版

专题10双曲线及其性质

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知F是双曲线C：

的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若

，则

的面积为

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】设点

，则

①．

又

，

②．

由①②得

，即

，

，

故选B．

【名师点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．设

，由

，再结合双曲线方程可解出

，利用三角形面积公式可求出结果．

【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知双曲线

的离心率为

，则点

到

的渐近线的距离为

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】

，

，所以双曲线

的渐近线方程为

，所以点

到渐近线的距离

，故选D．

【名师点睛】本题主要考查双曲线的性质、点到直线的距离公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力、逻辑思维能力，考查的数学核心素养是逻辑推理、数学运算、直观想象．

熟记结论：

若双曲线

是等轴双曲线，则a=b，离心率e=

，渐近线方程为y=±x，且两条渐近线互相垂直．

【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷文数】双曲线

（a>0）的一条渐近线方程为

，则a=___________．

【答案】5

【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为

，结合题意可得

．

【名师点睛】1．已知双曲线方程

求渐近线：

．

2．已知渐近线

设双曲线的标准方程为

．

3．双曲线的焦点到渐近线的距离为

，垂足为对应准线与渐近线的交点．

【命题意图】高考对双曲线内容的考查以基础知识为主，重点考查双曲线的几何性质、方程思想及运算能力．2019年高考题考查了以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．

【命题规律】主要考查双曲线的定义、标准方程和几何性质，其中离心率和渐近线问题是高考考查的重点，以选择题和填空题为主，分值5分，难度中等．

【答题模板】

1．求双曲线的离心率的值或范围一般考虑如下三步：

第一步：

将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式；

第二步：

利用

和

转化为关于e的方程或不等式；

第三步：

通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

2．其他问题：

（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b．

（2）若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c–a．

（3）同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为

；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a．

（4）若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则

=

，其中θ为∠F1PF2．

（5）若P是双曲线

=1（a>0，b>0）右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a．

【方法总结】

1．双曲线定义的应用策略

（1）根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线．

（2）利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．

（3）利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：

①距离之差的绝对值；②2a<|F1F2|；③焦点所在坐标轴的位置．

2．求双曲线的标准方程的方法

（1）定义法

根据双曲线的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：

①c2=a2+b2；

②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a．

求轨迹方程时，满足条件：

|PF1|–|PF2|=2a（0<2a<|F1F2|）的双曲线为双曲线的一支，应注意合理取舍．

（2）待定系数法

一般步骤为

①判断：

根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；

②设：

根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；

③列：

根据题意，列出关于a，b，c的方程或者方程组；

④解：

求解得到方程．

常见设法有

①与双曲线

–

=1共渐近线的双曲线方程可设为

–

=λ（λ≠0）；

②若双曲线的渐近线方程为y=±

x，则双曲线方程可设为

–

=λ（λ≠0）；

③若双曲线过两个已知点，则双曲线方程可设为

+

=1（mn<0）；

④与双曲线

–

=1共焦点的双曲线方程可设为

–

=1（–b2

⑤与椭圆

+

=1（a>b>0）有共同焦点的双曲线方程可设为

+

=1（b2<λ

注意：

当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：

一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以设双曲线的方程为mx2+ny2=1（mn<0）．

3．求双曲线离心率的值

（1）直接求出

，求解

：

已知标准方程或a，c易求时，可利用离心率公式e＝

求解；

（2）变用公式，整体求

：

如利用e＝

＝

＝

，e＝

＝

；

4．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得

的值，于是e2＝

＝

＝1＋

，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即

＝

．但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．

1．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】已知双曲线

的一个焦点为（2，0），则双曲线

的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知双曲线

的左、右焦点为

、

，双曲线上的点

满足

恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是

A．

B．

C．

D．

3．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学】已知双曲线

的左、右焦点分别为

，过点

作

轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P，线段

的中点M到原点的距离为

，则此双曲线的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

4．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线方程为

，则该双曲线的离心率是

A．

B．

C．

或

D．

或

5．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】已知双曲线

的左，右焦点分别为

，抛物线

与双曲线

有相同的焦点．设

为抛物线与双曲线

的一个交点，且

，则双曲线

的离心率为

A．

或

B．

或3

C．2或

D．2或3

6．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试数学】已知双曲线

：

，双曲线

的焦点在

轴上，它的渐近线与双曲线

相同，则双曲线

的离心率为

A．

B．2

C．

D．1

7．【四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测数学】已知双曲线的左、右焦点分别为

，

，过点

作

轴的垂线，与双曲线的渐近线在第一象限内的交点为

，线段

的中点

到原点的距离为

，则双曲线的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

8．【四川省雅安市2019届高三第三次诊断考试数学】双曲线

的离心率为

A．

B．

C．

D．

9．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】双曲线

的一条渐近线方程为

，则该双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．2

10．【四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学】已知

为双曲线

的右支上一点，

分别为双曲线

的左顶点和右焦点，线段

的垂直平分线过点

，

，则双曲线

的离心率为

A．

B．2

C．3D．4

11．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】已知双曲线

的左右焦点分别为

，以它的一个焦点为圆心，半径为

的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于

两点，则四边形

的面积为

A．3B．4

C．5D．6

12．【四川省成都市外国语学校2019届高三一诊模拟考试数学】过双曲线

：

的右顶点作

轴的垂线，与

的一条渐近线相交于点

．若以

的右焦点为圆心、半径为4的圆经过

，

两点（

为坐标原点），则双曲线

的方程为

A．

B．

C．

D．

13．【四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测数学】已知双曲线

的焦距为4，则双曲线

的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

14．【四川省2019届高三联合诊断数学】已知双曲线

的右焦点为F，则点F到C的渐近线的距离为

A．3B．

C．aD．

15．【四川省广安、眉山、内江、遂宁2019届高三第一次诊断性考试数学】若双曲线

的一条渐近线为

，则实数

A．2B．4

C．6D．8

16．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线

的两条渐近线与圆

都相切，则双曲线

的离心率是

A．2或

B．2或

C．

或

D．

或

17．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模（最后一卷）数学】设

是双曲线

的左、右焦点，

为双曲线右支上一点，若

，c=2，

，则双曲线的两条渐近线的夹角为

A．

B．

C．

D．

18．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知抛物线

的焦点为双曲线

的一个焦点，那么双曲线的渐近线方程是

A．

B．

C．

D．

19．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知

为双曲线

的右顶点，

为双曲线右支上一点，若点

关于双曲线中心

的对称点

满足

，则双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．

20．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】已知双曲线

的一个焦点坐标为

，渐近线方程为

，则

的方程是

A．

B．

C．

D．

21．【云南省2019届高三第一次毕业生复习统一检测数学】双曲线

的焦点是

，

，若双曲线

上存在点

，使

是有一个内角为

的等腰三角形，则

的离心率是

A．

B．

C．

D．

22．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知椭圆

左右焦点分别为

，双曲线

的一条渐近线交椭圆于点

，且满足

，已知椭圆的离心率为

，则双曲线的离心率

A．

B．

C．

D．

23．【广西柳州市2019届高三毕业班1月模拟考试高三数学】已知双曲线

的离心率为

，左焦点为

，点

（

为半焦距）．

是双曲线

的右支上的动点，且

的最小值为

．则双曲线

的方程为___________．

24．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知双曲线

：

的左、右焦点为

、

，过

且斜率为

的直线

与

的一条渐近线在第一象限相交于

点，若

，则该双曲线的离心率为___________．