步步高 通用理届高三《考前三个月》专题复习篇配套Word版文档专题五 第二讲.docx

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步步高通用理届高三《考前三个月》专题复习篇配套Word版文档专题五第二讲

第二讲　空间点、直线、平面的位置关系

1．点、线、面的位置关系

（1）公理1　∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.

（2）公理2　∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．

（3）公理3　∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.

三个推论：

①过两条相交直线有且只有一个平面．

②过两条平行直线有且只有一个平面．

③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．

（4）公理4　∵a∥c，b∥c，∴a∥b.

（5）等角定理　∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，

∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.

2．直线、平面平行的判定及其性质

（1）线面平行的判定定理　∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.

（2）线面平行的性质定理　∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.

（3）面面平行的判定定理　∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.

（4）面面平行的性质定理　∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.

3．直线、平面垂直的判定及其性质

（1）线面垂直的判定定理　∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.

（2）线面垂直的性质定理　∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.

（3）面面垂直的判定定理　∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.

（4）面面垂直的性质定理　∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.

4．异面直线所成的角

（1）定义．

（2）范围：

θ∈（0，

]．

（3）求法：

先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角．

5．直线与平面所成的角

（1）定义．

（2）范围：

θ∈[0，

]．

（3）求法：

先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．

6．二面角

（1）定义．

（2）范围：

θ∈[0，π]．

（3）找二面角平面角的方法

①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．

垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：

①弄清该二面角及它的棱．

②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线（往往先找垂面再找垂线）．

③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角（或其补角）就是该二面角的平面角．

④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．

1．（2013·安徽）在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案　A

解析　B、C、D选项是公理．

2．（2013·广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是

（　　）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

答案　D

解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．

3．（2013·山东）已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

，底面是边长为

的

正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　如图所示：

SABC＝

×

×

×sin60°＝

.

∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝

×OP＝

，∴OP＝

.

又OA＝

×

×

＝1，

∴tan∠OAP＝

＝

，又0<∠OAP<

，

∴∠OAP＝

.

4．（2012·安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且

b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.

又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．

而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.

而此时平面α与平面β不一定垂直，

∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.

5．（2013·浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α、β是两个

不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（　　）

A．平面α与平面β垂直

B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C．平面α与平面β平行

D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

答案　A

解析　本题关键是理解B＝fπ（A）的含义．

若平面α与平面β不垂直．

在其中一个平面α上取一点P.则PQ1≠PQ2.

所以平面α与平面β垂直，故选A.

题型一　空间点、线、面的位置关系

例1

　对于四面体ABCD，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

审题破题　可以画出四面体ABCD的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系．

答案　①④⑤

解析　若AB与CD共面，ABCD就成了平面图形，故①对；

若垂足为△BCD高线的交点，必推出对棱垂直，故②错；

只有当以AB为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合，

故③错；

设垂足为O，过O作OE⊥CD于E，连接AE，则OE

∴S△COD＝

CD·OE

＝

CD·AE.

同理可得S△ABD>S△BOD，S△ABC>S△BOC，

∴S△ACD＋S△ABC＋S△ABD>S△BCD.故④对．

如图，点E、F、G、H、M、N为各边中点，这样可得到▱EFGH和

▱ENGM它们的对角线EG和FH互相平分，EG和MN也互相平分．

因此，三条线段EG，FH，MN交于一点，故⑤对．

反思归纳　准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例（特殊状态、特殊位置、特殊图形）即可．有时用反证法来判断也可以．

变式训练1　

（1）给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α、β的四个命题：

①m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；

②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；

④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.

其中假命题的序号是__________．

答案　④

解析　命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l、m分别作平面γ、δ交平面α于l′，n′，易知n⊥l′，n⊥m′且m′，n′相交，故n⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l，m可以平行、相交，也可以异面．

（2）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．

①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．

答案　①③④

解析　可以利用模型进行判断．

题型二　平行关系与垂直关系

例2

　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

（1）求证：

平面EFG∥平面PMA；

（2）求证：

平面EFG⊥平面PDC；

（3）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

审题破题　

（1）证明EG、FG都平行于平面PMA.

（2）证明GF⊥平面PDC.（3）设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．

（1）证明　∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，

∴EG∥PM，GF∥BC.

又∵四边形ABCD是正方形，

∴BC∥AD，∴GF∥AD.

∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，

∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.

又∵EG、GF都在平面EFG内且相交，

∴平面EFG∥平面PMA.

（2）证明　由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

∴PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.

∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.

在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点，

∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.

又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.

（3）解　∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2.

∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA，

∴DA即为点P到平面MAB的距离，

∴VP－MAB∶VP－ABCD＝

S△MAB·DA∶

S正方形ABCD·PD

＝S△MAB∶S正方形ABCD＝

∶（2×2）＝1∶4.

反思归纳　垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

（1）证明线线平行常用的方法：

一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

（2）证明线线垂直常用的方法：

①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：

即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

变式训练2　（2013·北京）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

证明　

（1）平面PAD∩平面ABCD＝AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.

∴PA⊥底面ABCD.

（2）∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

∴AB∥DE，且AB＝DE.

∴ABED为平行四边形．∴BE∥AD.

又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

（3）∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．

∴BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，

∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，

又E、F分别为CD、CP的中点，

∴EF∥PD，故CD⊥EF.

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF.

∴平面BEF⊥平面PCD.

题型三　空间线面关系的综合问题

例3

　如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

审题破题　

（1）通过线面垂直证明线线垂直．

（2）这是一道探索性问题，先确定点N的位置，再进行证明．要注意解题的方向性，通过寻找到的条件，证明MN∥平面DAE成立．

（1）证明　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE，

∵AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.

又∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，

∴AE⊥BF，

∵BC∩BF＝B，∴AE⊥平面BCE，

又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.

（2）解　在△ABE中过M点作MG∥AE交BE于G点，在△BEC中过G点作GN∥BC交EC于N点，连接MN，则由比例关系易得CN＝

CE.

∵MG∥AE，MG⊄平面ADE，AE⊂平面ADE，

∴MG∥平面ADE.

同理，GN∥平面ADE.又∵GN∩MG＝G，

∴平面MGN∥平面ADE.

又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.

∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点．

反思归纳　解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点（中点、三等分点等）、特殊位置（平行或垂直），再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形．

变式训练3　（2013·浙江）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝

，PA＝

，∠ABC＝120°.G为线段PC上的点．

（1）证明：

BD⊥平面APC；

（2）若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；

（3）若G满足PC⊥平面BGD，求

的值．

（1）证明　设点O为AC、BD的交点．

由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线．

所以O为AC的中点，BD⊥AC.

又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，且AC∩PA＝A.

所以BD⊥平面APC.

（2）解　连接OG.由

（1）可知OD⊥平面APC，

则DG在平面APC内的射影为OG，

所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．

由题意得OG＝

PA＝

.

在△ABC中，AC＝

＝2

.

所以OC＝

AC＝

.

在Rt△OCD中，OD＝

＝2.

在Rt△OGD中，tan∠OGD＝

＝

.

所以DG与平面APC所成角的正切值为

.

（3）解　连接OG.因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，

所以PC⊥OG.

在Rt△PAC中，得PC＝

.

所以GC＝

＝

.

从而PG＝

，所以

＝

.

典例

　（12分）如图，在△ABC中，∠B＝

，AB＝BC＝2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD.

（1）当棱锥A′－PBCD的体积最大时，求PA的长．

（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：

A′B⊥DE.

规范解答

（1）解　令PA＝x（0

故A′P⊥平面PBCD.

所以VA′－PBCD＝

Sh

＝

（2－x）（2＋x）x＝

（4x－x3）．

令f（x）＝

（4x－x3），[4分]

由f′（x）＝

（4－3x2）＝0，得x＝

（负值舍去）．[5分]

当x∈

时，f′（x）>0，f（x）单调递增；

当x∈

时，f′（x）<0，f（x）单调递减．[7分]

所以当x＝

时，f（x）取得最大值．

故当VA′－PBCD最大时，PA＝

.[8分]

（2）证明　设F为A′B的中点，如图所示，连接PF，FE，

则有EF綊

BC，PD綊

BC.[10分]

所以EF綊PD.

所以四边形EFPD为平行四边形．所以DE∥PF.

又A′P＝PB，所以PF⊥A′B，故DE⊥A′B.[12分]

评分细则　

（1）从已知条件得到A′P⊥平面PBCD，得2分；

（2）f（x）的单调区间写成闭区间不扣分；少一个区间扣1分；（3）辅助线没有按要求画出或实虚错误扣1分．

阅卷老师提醒　

（1）解决折叠问题的关键是搞清翻折前后哪些位置关系和数量关系改变，哪些不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．

（2）把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中解决．

1．关于直线a、b、c，以及平面M、N，给出下列命题：

①若a∥M，b∥M，则a∥b；

②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；

③若a∥b，b∥M，则a∥M；

④若a⊥M，a∥N，则M⊥N.

其中正确命题的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　C

解析　①中a与b可以相交或平行或异面，故①错．③中a可能在平面M内，故③错，故选C.

2．下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．

①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.

正确的命题是（　　）

A．①③B．②③C．①④D．②④

答案　C

解析　②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，

选C.

3．（2012·四川）下列命题正确的是（　　）

A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

答案　C

解析　A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；

B错误，△ABC的三个顶点中，A、B在α的同侧，而点C在α的另一侧，且AB平行于α，此时可有A、B、C三点到平面α距离相等，但两平面相交；

D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.

4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

答案　D

解析　由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.

5．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是（　　）

A．平行　　B．相交

C．异面垂直　　D．异面不垂直

答案　C

解析　易证ON在平面A1ADD1上的射影与AM垂直，进而可证得ON⊥AM.

6．若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.

其中正确的有________．

答案　②③

解析　正方体中一个对角面和一个侧面都与底面垂直，但这两个面不垂直，故命题①不正确；若α⊥γ，在平面α内作平面α与平面γ的交线的垂线m，根据面面垂直的性质定理，m⊥γ，又β∥γ，故m⊥β，这样平面α过平面β的一条垂直，故α⊥β，命题②正确；过直线l作平面δ交平面α于直线n，根据线面平行的性质定理，l∥n，又l⊥β，故n⊥β，这样平面α就过平面β的一条垂线，故α⊥β，故命题③正确．

专题限时规范训练

一、选择题

1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

答案　D

解析　由直线a与B确定的平面与β有唯一交线．故存在唯一与a平行的直线．

2．设m，n为两条直线，α，β为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（　　）

A．若m⊂α，n⊂α，且m∥β，n∥β，则α∥β

B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若m，n为两条异面直线，且m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，则α∥β

答案　D

解析　选项A中的直线m、n可能不相交；选项B中直线n可能在平面α内；选项C中直线m，n的位置可能是平行、相交或异面．故选D.

3．下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案　D

解析　两个平面α，β垂直时，设交线为l，则在平面α内与l平行的直线都平行于平面β，故A正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；两个平面都与第三个平面垂直时，易证交线与第三个平面垂直，故C正确；两个平面α，β垂直时，平面α内与交线平行的直线与β平行，故D错误．

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱AB上的动点，则直线A1D与直线C1E所成的角等于

（　　）

A．60°B．90°

C．30°D．随点E的位置而变化

答案　B

解析　在正方体中，显然有A1D⊥AB，A1D⊥AD1，

所以A1D⊥面AD1C1B，又C1E⊂面AD1C1B，故A1D⊥C1E.故选B.

5．如图，若Ω是长方体ABCD—A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F－HC1G所得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（　　）

A．EH∥FGB．四边形EFGH是矩形

C．Ω是棱柱D．Ω是棱台

答案　D

解析　A中，∵EH∥A1D1，∴EH∥BC，

∴EH∥平面BCC1B1.

又过EH的平面EFGH与平面BCC1B1交于FG，

∴EH∥FG.故A成立．

B中，易得四边形EFGH为平行四边形，

∵BC⊥平面ABB1A1，

∴BC⊥EF，即FG⊥EF.

∴四边形EFGH为矩形．故B正确．

C中可将Ω看作以A1EFBA和D1DCGH为上下底面，以AD为高的棱柱．故C正确．

6．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，AC∩EF＝G.现在沿AE、EF、FA把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体P－AEF中必有（　　）

A．AP⊥△PEF所在平面B．AG⊥△PEF所在平面

C．EP⊥△AEF所在平面D．PG⊥△AEF所在平面

答案　A

解析　在折叠过程中，AB⊥BE，AD⊥DF保持不变．

∴　

⇒AP⊥面PEF.

7．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的

（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面α内的一条直线，m⊥