厦门市高三质量检查测试03.docx
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厦门市高三质量检查测试03
2009年厦门市高三质量检查测试三
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写在答题卡上；
2．答题要求，见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）
如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn（k）=CnkPk（1－P）n-k
球的表面积公式：
S=4πR2，其中R表示球的半径.
球的体积公式：
V=
πR3，其中R表示球的半径.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合
则
等于（）
A.
B.{2,4}C.{（2,4）,（4,16）}D.{4,16}
2．下列函数中，值域是
的是（）
A．
B．
C．
D．
3．用反证法证明命题：
“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被
5整除”时，假设的内容应为（）
A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除
C.a，b不都能被5整除D.a不能被5整除
4．下列函数既是奇函数，又在区间
上单调递减的是（）
A
B.
C.
D.
5．设
则（）
A.
B.
C.
D.
6．“
”是“
或
”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．若关于x的方程
至少有一个负根，则（）
A．
B．
C．
D．
或
8．函数y=x+cosx的大致图象是（）
ABCD
9．定义在R上的偶函数
满足
，且在[－3，－2]上是减函数，
是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式关系中正确的是（）
A．
B．
C．
D．
10．已知
是定义在R上的单调函数，实数
，
，若
，则（）
A．
B．
C．
D．
11．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段。
如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；
③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；
④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是（）
A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样
12．以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率p为（）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分．在答题卡上的相应题目的答题区域内作答．
13．已知（1＋
）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，a3＝
，则a1＋a2＋…＋an＝_______．
14．平面上向量
绕点
逆时针方向旋转
得向量
，且
（7，9），则向量
____________ ．
15．直角三角形ABC中，AD是斜边BC上的中线，若AB，AD，AC成等比数列，则∠ADC等于．
16．等比数列{an}的首项为a1=100，公比q＝
，设f（n）表示这个数列的前n项的积，则
当n＝时，f（n）有最大值．
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.
17．（12分）已知sin（
＋3）sin（
－3）＝
，∈（0，
），求（
－
）sin4α的值．
18．（12分）在斜三棱柱ABC－ABC中，底面△ABC为正三角形，设AA：
AC＝．顶点A在底面ABC上的射影O是△ABC的中心，P为侧棱CC中点，G为△PAB的重心．
（Ⅰ）求证：
OG∥平面AABB；
（Ⅱ）当＝
时，求证：
平面ABP平面BBCC；
（Ⅲ）当＝1时，求二面角C－AB－P的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象经过原点，且在x=1处取得极值，直线y=2x+3到曲线y=f（x）在原点处的切线所成的夹角为450.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对于任意实数α和β恒有不等式|f（2sinα）―f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值
（3）若g（x）=xf（x）+tx2+kx+s，是否存在常数t和k，使得对于任意实数s，g（x）在[－3，―2]上递减，而在[－1，0]上递增，且存在x0（x0>1）使得g（x）在[1，x0]上递减？
若存在，求出t+k的取值范围；若不存在，则说明理由.
20．（12分）“建设创新型国家”是2006年3月份召开的“两会”（全国人大、政协）的主要议题.某公司为了响应党中央的号召，决定投资创新科技的研发，经调查有两个可投资意向的项目：
A项目是国家重点扶持尖端型创新科技研发的项目，每年需要研发的经费5a万元，若能申请国家扶持成功，则在近三年内每年可得到国家的研发经费a万元，在研发的第n年能研发成功的概率组成以2为公比、0.01为首项的等比数列，2010年后将失去研发价值，若能研发成功在2026年以前（包括2026年）每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益10a万元；B项目是该公司的垄断的基础型创新研发的项目，每年需要研发的经费2a万元，在当年内能研发成功的概率组成以0.1为公差、0.1为首项的等差数列，估计3年后将失去研发价值，若能研发成功在2015年（包括2015年）以前每年（从研发成功的第二年起）将获得经济效益3a万元.并且项目研发上马后就不会在中途停止研发，直到没有研发价值的时候为止.在全国范围内另外有1个像该公司具有研发A项目实力的公司准备在2006年投资研发A项目，若在某一年有几个公司同时研发成功，则以后A项目的所有的经济效益由同时研发成功的这几个公司均分.请你帮助该公司作出决策：
在2006年应该投资研发哪一个项目？
并说明你的理由.
21．（12分）在直角坐标平面中，ΔABC的两个顶点AB的坐标分别为A（―
a，0），B（
a，0）（a>0），两动点M，N满足
+
+
=0，|
|=
|
|=
|
|，向量
与
共线.
（1）求ΔABC的顶点C的轨迹方程；
（2）若过点P（0，a）的直线与
（1）轨迹相交于E、F两点，求
·
的取值范围；
（3）若G（―a，0），H（2a，0），Q点为C点轨迹在第一象限内的任意一点，则是否存在常数λ（λ>0），使得∠QHG=λ∠QGH恒成立？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
22．（14分）在直角坐标平面中，过点A1（1，0）作函数f（x）=x2（x>0）的切线l1，其切点为B1（x1，y1）；过点A2（x1，0）作函数g（x）=ex（x>0）的切线l2，其切点为B2（x2，y2）；过点A3（x2，0）作函数f（x）=x2（x>0）的切线l3，其切点为B3（x3，y3）；如此下去，即过点A2k―2（x2k―2，0）作函数f（x）=x2（x>0）的切线l2k―1，其切点为B2k―1（x2k―1，y2k―1）；过点A2k―1（x2k―1，0）作函数g（x）=ex（x>0）的切线l2k，其切点为B2k（x2k，y2k）；….
（1）探索x2k―2与x2k―1的关系，说明你的理由，并求x1的值；
（2）探索x2k―1与x2k的关系，说明你的理由，并求x2的值；
（3）求数列{xn}通项公式xn；
（4）是否存在实t，使得对于任意的自然数n和任意的实数x，不等式
+
+
+…+
≤3tx4―4tx3―12tx2+33t―
恒成立？
若存在，求出这样的实数t的取值范围；若不存在，则说明理由.
2009年厦门市高三质量检查测试三
数学试题参考答案及评分标准（理科数学）
一、选择题：
（本大题12个小题，每小题5分，共60分）
1－6ACBDCB7－12ABDADA
二、填空题：
（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
13．
．14．（－
，
）．15．
或
．16．7．
三、解答题：
（本大题6个小题，共74分）
17．（12分）
解：
，
即
，又6∈（0，
），∴
，即
．
∴（
－
）sin4α=
．
变式题：
已知（1＋tan2α）（1＋tan25）＝2，α∈（0，
），求（
－
）sin4α的值．
命题意图：
本题主要考查三角函数的恒等变形．包含了和差角、倍角的运算，已知三角函数值求角，诱导公式，辅助角公式，要求学生对三角函数的变形方向有综合的理解．
18．（12分）
（Ⅰ）证明：
分别取AB，AB的中点D，D，连CD，PD，
∵O为△ABC的中心，G为△PAB的重心，
∴O∈CD，G∈PD，且CO∶OD＝PG：
GD＝2∶1．
∵AABB为□，AD＝DB，AD＝DB，∴DD∥AA，
又∵AA∥CC，∴DD∥CC，即DD∥CP．
又CO∶OD＝PG∶GD＝2∶1，∴OG∥DD，
∵OG
平面AABB，DD平面AABB．
∴OG∥平面AABB．
（Ⅱ）证明一：
当＝
时，不妨设AA＝2
，AC＝2，由点A在平面ABC上的射影为△ABC的中心，连AO并延长交BC于点E，则E为BC的中点，取BC的中点E，连EE，AA∥EE∥CC．∵AO平面ABC，∴AOBC．∵O为△ABC中心，∴AEBC．∴BC平面AAEE．设PB∩EE＝Q，∴BCAQ，且EQ＝
CP＝
AA＝
．∵AO＝
AC
＝
．AA＝2
，∴cosAAO＝
＝
，∴cosAEE＝
．在△AEQ中，AE＝
，EQ＝
，
cosAEE＝
，∴AQ2＝AE2＋EQ2－2AEEQcosAEE＝
．∵AQ2＋EQ2＝AE2，
∴AQQE，∵QE与BC相交，∴AQ平面BBCC，∵AQ平面ABP，∴平面ABP平面BBCC．
证明二：
当＝
时，不妨设AA＝2
，AC＝2，
由点A在平面ABC上的射影为△ABC的中心，连AO并延长交BC于点E，则E为BC的中点，取BC的中点E，连EE，AA∥EE∥CC．∵AO平面ABC，∴AOBC．∵O为△ABC中心，∴AEBC．∴BC平面AAEE．设PB∩EE＝Q，则Q为PB中点．
∵在□AACC中，AA＝AC＝2
，AC＝2，
∴cosACP＝
，
在△ACP中，AC＝2，CP＝
，cosACP＝
，
∴AP＝
＝2，
∴AB＝AP，∵Q为BP中点，连AQ，则AQBP，
∵BC平面AAEE，∴BCAQ，∴AQ平面BCCB．
∵AQ平面ABP，∴平面ABP平面BBCC．
（Ⅲ）解法一：
当＝1时，不妨设AA＝AC＝2，∵点A在平面ABC上的射影为△ABC的中心，∴AA＝AB＝AC．∴△ABC为等边三角形，取
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