单元质量评估一.docx
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单元质量评估一
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单元质量评估
（一）
第一章计数原理
（120分钟 150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有（）
（A）70种（B）112种（C）140种（D）168种
2.现将10个参加2011年全国高中数学联赛决赛的名额分配给某区四个不同的学校，要求一个学校1名、一个学校2名、一个学校3名、一个学校4名，则不同的分配方案种数共有（）
（A）43200（B）12600（C）24（D）20
3.（2011·重庆高考）（1+3x）n（其中n∈N且n≥6）的展开式中x5与x6的系数相等，则n=（）
（A）6（B）7（C）8（D）9
4.不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法总数共有（）
（A）12种（B）20种（C）24种（D）48种
5.设集合A={a,b,c,d}，B⊆A，若a∈B,则集合B的个数是（）
（A）16（B）15（C）12（D）8
6.（2011·海淀高二检测）由数字0,1,2,3,4,5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是（）
（A）72（B）60（C）48（D）144
7.若
能被7整除，则x、n的值可能为（）
（A）x=4,n=3（B）x=4,n=4
（C）x=5,n=4（D）x=6,n=5
8.北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
9.（2011·大连高二检测）已知（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1+a2+…+an-1=29-n,则自然数n的值是（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
10.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）
（A）960种（B）1056种
（C）1248种（D）1344种
11.
的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）
（A）4项（B）3项（C）2项（D）1项
12.在△AOB的OA上有m个点，在OB上有n个点（均除O点外），连同O点共m+n+1个点,现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形的个数为（）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填在题中的横线上）
13.（2011·深圳模拟）已知a为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式
的展开式中含x2项的系数是__________.
14.（2011·安徽高考）设（x-1）21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21则，a10+a11=_____.
15.某校邀请6位学生的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有__________种.
16.（2011·揭阳模拟）若（1-x-1）2009=a0+a1x-1+…+a2009x-2009,则2a1+22a2+…+22009a2009的值为_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）（2011·厦门高二检测）已知二项式
展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，
（1）求n;
（2）求展开式中含x项的系数;
（3）求展开式中所有含x的有理项.
18.（12分）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：
（1）能组成多少个不同的四位数？
（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻的四位数有几个？
（所有结果均用数值表示）
19.（12分）设f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数是19（m,n∈N*）.
（1）求f（x）展开式中x2的系数的最小值；
（2）当f（x）展开式中x2的系数取最小值时，求f（x）展开式中x7的系数.
20.（12分）把4个男学生和4个女学生平均分成4组，到4辆公共汽车里参加售票体验活动，且把同样两人在不同汽车上服务算作不同情况.
（1）有几种不同的分配方法？
（2）男学生与女学生分别分组，有几种不同的分配方法？
（3）每个小组必须是一个男学生和一个女学生，有几种不同的分配方法？
21.（12分）现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有多少个？
（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”，那么由这十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？
22.（12分）设x10-3=Q（x）（x-1）2+ax+b,其中Q（x）是关于x的多项式，a,b∈R,
（1）求a,b的值；
（2）若ax+b=28,求x10-3除以81的余数.
答案解析
1.【解析】选C.∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有
种不同的挑选方法；从甲、乙之外的8个同学中挑选4名参加某项公益活动有
种不同的挑选方法；
∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有
种不同的挑选方法，故选C.
2.【解析】选C.不同的分配方案共有
=24种，故选C.
3.独具【解题提示】根据二项展开式的相关公式列出x5与x6的系数，然后根据系数相等求出n的值.
【解析】选B.x5的系数为
，x6的系数为
，由
解之得n=7.
4.【解析】选C.甲、乙捆绑看成一个元素，与丙、丁之外的1个元素共两个元素进行全排列，有
种排法，再插空排入丙、丁，共有
种不同排法.
5.【解析】选D.可知集合B至少含有一个元素a，其个数为
，故选D.
6.【解析】选B.先排3个奇数，然后插空排入3个偶数，但注意0不能排在首位，共可组成
=60个不同的六位数，故选B.
独具【误区警示】解答本题易错选A或D.导致这种错误的原因一是忽略了0不能排在首位，结果为
;二是考虑不周密，认为先排好3个奇数后，从4个空中选出3个空插入3个偶数即可，所以应有
种排法.殊不知其中既有0“打头”的情况，也有两奇数相邻的情况.
7.【解析】选C.
.
当x=5时,（1+x）n-1=6n-1=（7-1）n-1
当n=4时，显然该式能被7整除，故选C.
8.独具【解题提示】先从14个人中任意选出12个人，然后将这12个人平均分成三组，最后分配.
【解析】选A.排班工作分三步完成：
第一步，从14人中选出12人，有
种选法；
第二步，将第一步选出的12人平均分成三组，有
种分法；
第三步，对第二步分出的3组人员在三个位置上安排，有
种排法；于是由分步计数原理得不同的排班种数为
应选A.
9.【解析】选B.令x=1得，a0+a1+a2+…+an=2+22+…+2n=
.
令x=0得,a0=n,而
.
∴a1+a2+…+an-1=2n+1-2-a0-an,
=2n+1-3-n=29-n,
∴2n+1=32=25,∴n+1=5,即n=4.
独具【方法技巧】
（1）二项展开式有两种写法：
一是体现二项式系数的二项式定理展开；二是体现系数的展开式，注意区分项的系数与二项式系数.
（2）对形如（ax+b）n、（ax2+bx+c）m（a,b,c∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对（ax+by）n（a,b∈R）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x=y=1即可.
（3）若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则
a0=f（0）;
a0+a2+a4+…=
;
a1+a3+a5+…=
.
10.【解析】选C.首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，共有
=4种排法.然后确定其余4个数字的排法数.用总数
=360去掉不合题意的情况数：
中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有
=12种排法.所以此时余下的这4个数字共有360-4×12=312种方法.由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，故选C.
11.【解析】选B.二项展开式的通项为
∵0≤r≤12,即0≤6k≤12.
∴0≤k≤2,∴k=0,1,2，故选B.
12.【解析】选C.第一类办法：
从OA边上（不包括O）中任取一点与从OB边上（不包括O）中任取两点，可构成三角形
个；第二类办法：
从OA边上（不包括O）中任取两点与从OB边上（不包括O）中任取一点，可构成三角形
个，第三类办法：
从OA边上（不包括O）任取一点与从OB边上（不包括O）中任取一点，与点O可构成三角形
个，故共有
个.
13.【解析】程序框图运行时a周期性变化，输出的结果为a=2,
通项为
显然第2项为
，含x2项的系数是-192.
答案：
-192
14.独具【解题提示】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，从而项的系数互为相反数.
【解析】利用二项式展开式的性质，可知第11项和第12项二项式系数最大，从而项的系数互为相反数.即a10+a11=0.
答案：
0
15.【解析】先从6对夫妻中任选出一对，有
种不同的选法，再从其余的10人中任选出2人，有
种选法，其中这2人恰好是一对夫妻的选法有
种，所以共有
=240种不同选法.
答案：
240
16.独具【解题提示】观察所给的展开式及所求式，正确赋值即可.
【解析】令x=2-1,则（1-2）2009=a0+2a1+22a2+…+22009a2009=-1,可知
∴2a1+22a2+…+22009a2009=-2.
答案：
-2
17.【解析】
（1）由已知得:
4n-2n=240，2n=16,n=4.
（2）二项展开式的通项为：
令4-
r=1⇒r=2
所以含x项的系数:
.
（3）由
（2）得：
4-
r∈Z,（r=0,1,2,3,4）,即r=0,2,4.
所以展开式中所有含x的有理项为：
第1项625x4,第3项150x,第5项x-2.
18.【解析】
（1）四位数共有
（个）；
（2）上述四位数中，偶数排在一起的有
=108（个）；
（3）两个偶数不相邻的四位数有
=108（个）.
19.【解析】
（1）由题设条件，得m+n=19.
∴m=19-n,x2的系数为
∵n∈N*,∴当n=9或n=10时，
x2的系数取最小值
.
（2）当n=9，m=10或n=10,m=9时，x2的系数取最小值，此时x7的系数为
.
20.【解析】
（1）男女合一起共8人，每车2人，可分四步完成，第一辆车有
种，第二辆车有
种，第三辆车有
种，第四辆车有
种，共有不同的分法
=2520（种）.
（2）男女分别分组，4个男的平均分成两组共有
=3（种），4个女的平均分成两组也有
=3（种），故分组方法共有3×3=9（种），对于每一种分法上4辆车，又有
种上法，因而不同的分配方法为9·
=216（种）.
（3）要求男女各1个，因此先把男学生安排上车共有
种方法，同理，女学生也有
种方法，男女各1人上车的不同分配方法为
（种）.
21.【解析】
（1）可以组成无重复数字的三位数
=648（个）；
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第
=156（个）；
（3）可以组成无重复数字的四位偶数
=2296（个）.
（分0占个位和0不占个位两种情况）
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数有
（个）.（分选出的偶数是0和不是0两种情况）
（5）由这十个数字组成的所有“渐减数”共有
=1013（个）.
22.【解析】
（1）由已知等式得：
［（x-1）+1］10-3=Q（x）（x-1）2+ax+b
∴
=Q（x）（x-1）2+ax+b
∴
·（x-1）2+10x-12=Q（x）·（x-1）2+ax+b
∴10x-12=ax+b恒成立，
∴a=10,b=-12.
（2）∵ax+b=28,即10x-12=28,∴x=4.
∴x10-3=410-3=（3+1）10-3
=
=
=
∴所求的余数为28.
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