矩形的性质和判定同步练习及答案.docx
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矩形的性质和判定同步练习及答案
矩形的性质和判断
一．填空题
1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的均分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，
且EF均分∠BED，则AD的长为．
题1题3题4
2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线订交所成的锐角是
3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是
．
．
4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若
DE=DC=1，
AE=2EM，则
BM的长为
．
5．如图，在矩形
ABCD中，∠ABC的均分线交
AD于点
E，连接
CE．若BC=7，AE=4，则CE=
．
题
5
题
6
题
7
6．如图，在矩形
ABCD中，对角线
AC、BD订交于点
O，点
E、F分别是
AO、AD的中点，若
AB=6cm，BC=8cm，则
EF=
cm．
7．如图，连接四边形
ABCD各边中点，获得四边形
EFGH，还要增添
条件，才能保证
四边形
EFGH是矩形．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD
为矩形，则需增添的条件为（填一个即可）．
题8题11题12
9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以增添一个条件
为．
10．木工做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填
“合格”或“不合格”）
11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不增添任何辅助线的状况下，请补
充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．
12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你增添一
个条件，使四边形DBCE是矩形．
二．解答题
13．如图，在?
ABCD中，∠BAD的均分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠
F=45°．
（1）求证：
四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．
14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接
AE，CE．
（1）求证：
四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．
15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，
EC交AF于点G．
（1）求证：
四边形ABCF是矩形；
（2）若EA=EG，求证：
ED=EC．
16．如图，在?
ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：
四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：
四边形BFDE是矩形；
（2）若AF均分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
矩形的性质和判断解析
一．填空题（共12小题）
1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的均分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，
且EF均分∠BED，则AD的长为12．
【解析】依照两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，依照等角对
等边可得AE=AB，此后依照AD=AE+ED代入数据计算即可得解．
【解答】解：
∵矩形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABC的均分线交AD边于点E，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=8，
同理得出ED=DF=DC=4，
∴AD=AE+ED=8+4=12，
故答案为：
12．
2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是
40°，则两条对角线订交所成的锐角是
80°
．
【解析】由于两条对角线订交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：
由矩形的对角线相等且相互均分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对
等角，所以另一底角为40°，
两条对角线订交所成的钝角为：
180°﹣40°×2=100°
故它们所成锐角为：
180°﹣100°=80°．
故答案为80．
3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．
【解析】依照四边形ABCD是矩形，获得∠ABE=∠BAD=90°，依照余角的性质获得∠BAE=∠
ADB，依照相似三角形的性质获得BE=1，求得BC=2，依照勾股定理获得AE==，BD==，依照三角形的面积公式获得BF==，过F作FG⊥BC于G，依照相似三角形的性质获得CG=，依照
勾股定理即可获得结论．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=∠BAD=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB=90°，
∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠BAE=∠ADB，
∴△ABE∽△ADB，
∴，
∵E是BC的中点，
∴AD=2BE，
∴2BE2=AB2=2，
∴BE=1，
∴BC=2，
∴AE==，BD==，
∴BF==，
过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，
∴△BFG∽△BDC，
∴==，
∴FG=，BG=，∴CG=，
∴CF==．
故答案为：
．
4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，
AE=2EM，则BM的长为．
【解析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt△DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，所以BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM
中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，
∴∠DEA=∠DEM=90°，
在△ABM和△DEA中，，
∴△ABM≌△DEA（AAS），
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，以以下列图：
在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在Rt△ABM中，由勾股定理得：
2
2
2
1+（2x
）
=（3x），
解得：
x=，
∴BM=；
故答案为：
．
5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的均分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=
5．
【解析】第一证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，依照CE=计算即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，
∴∠AEB=∠EBC，
∵∠ABE=∠EBC，
∴AB=AE=CD=4，
在Rt△EDC中，CE===5．
故答案为5
6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若
AB=6cm，BC=8cm，则EF=cm．
【解析】依照勾股定理求出AC，依照矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，依照三角形中位线求出即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，
∵AB=6cm，BC=8cm，
∴由勾股定理得：
BD=AC==10（cm），
∴DO=5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=，
故答案为：
．
7．如图，连接四边形ABCD各边中点，获得四边形
EFGH，还要增添
AC⊥BD
条件，才能
保证四边形EFGH是矩形．
【解析】依照三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，依照平行线的性质∠EHG=
∠1，∠1=∠2，依照矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，所以AC⊥BD．
【解答】解：
∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故还要增添AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD
为矩形，则需增添的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．
【解析】依照对角线相互均分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添
加条件∠DAB=90°可依照有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断．
【解答】解：
可以增添条件∠DAB=90°，
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：
∠DAB=90°．
9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以增添一个条件为∠
BAD=90°．
【解析】依照矩形的判断方法：
已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：
∠BAD=90°（答案不独一）．
10．木工做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合
格（填“合格”或“不合格”）
【解析】只要算出桌面的长与宽的平方和能否等于对角线的平方，假如相等可得长、宽、对
角线构成的是直角三角形，由此可获得每个角都是直角，依照矩形的判断：
有三个角是直角
的四边形是矩形，可得此桌面合格．
【解答】解：
解：
∵
802+602=10000=1002，
222
即：
AD+DC=AC，
∴∠D=90°，
同理：
∠B=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为合格．
11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不增添任何辅助线的状况下，请补
充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．
【解析】依照有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．
【解答】解：
∵AB∥DC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．
故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）
12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你增添一个条件EB=DC，使四边形DBCE是矩形．
【解答】解：
增添EB=DC．原由以下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴DE∥BC，
又∵DE=AD，
∴DE=BC，
∴四边形DBCE为平行四边形．
又∵EB=DC，
∴四边形DBCE是矩形．
故答案是：
EB=DC．
二．解答题（共6小题）
13．如图，在?
ABCD中，∠BAD的均分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．
（1）求证：
四边形ABCD是矩形；
（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．
【解析】
（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只要推知∠DAB是直角；
（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．成立直角△BEH．经过解该直角三角形可以求得sin
∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB?
sin45°=7．所以经过
解Rt△BHE获得：
sin∠AEB=．
【解答】
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠F．
∵∠F=45°，
∴∠DAE=45°．
∵AF是∠BAD的均分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．
∴∠DAB=90°．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：
如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，
∴CE=6．
在Rt△ADE中，∠DAE=45°，
∴∠DEA=∠DAE=45°．
∴AD=DE=8．
∴BC=8．
在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，
∴BH=AB?
sin45°=7．
∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，
∴sin∠AEB=．
14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接
AE，CE．
（1）求证：
四边形ADCE的是矩形；
（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．
【解析】
（1）依照平行四边形的性质得出四边形ADC=90°，依照矩形的判断得出即可；
ADCE是平行四边形，依照垂直推出∠
（2）求出DC，依照勾股定理求出AD，依照矩形的面积公式求出即可．【解答】
（1）证明：
∵点O是AC中点，
∴AO=OC，∵OE=OD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）解：
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，
∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：
AD===15，
∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．
15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．
（1）求证：
四边形ABCF是矩形；
（2）若EA=EG，求证：
ED=EC．
【解析】
（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；
（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．
【解答】证明：
（1）∵AB∥CD，且FC=AB，
∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，
∴四边形ABCF是矩形；
（2）∵EA=EG，
∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，
∵四边形ABCF为矩形，
∴∠AFC=∠AFD=90°，
∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，
∴∠D=∠ECD，
∴ED=EC．
16．如图，在?
ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．
（1）求证：
四边形AEFD是矩形；
（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．
【解析】
（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．
（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．
【解答】
（1）证明：
∵CF=BE，
∴CF+EC=BE+EC．即EF=BC．
∵在?
ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
∴AD∥EF且AD=EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF=90°．
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：
∵四边形AEFD是矩形，DE=8，
∴AF=DE=8．
∵AB=6，BF=10，
∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．
∴∠BAF=90°．
∵AE⊥BF，
∴△ABF的面积=AB?
AF=BF?
AE．
∴AE===．
17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：
四边形BFDE是矩形；
（2）若AF均分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
【解析】
（1）依照有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判断．
（2）第一证明AD=DF，求出AD即可解决问题．
【解答】证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF=AE，∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AF均分∠BAD，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，
∴矩形的面积为20．
18．在?
ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：
四边形BFDE是矩形；
（2）若AD=DF，求证：
AF均分∠BAD．
【解析】
（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．
（2）欲证明AF均分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）由
（1）可知AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AD=DF，
∴∠DAF=∠AFD，
∴∠BAF=∠DAF，
即AF均分∠BAD．
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