矩形的性质和判定同步练习及答案.docx

1、矩形的性质和判定同步练习及答案矩形的性质和判断一填空题1如图，矩形 ABCD中，ABC的均分线交 AD边于点 E，点 F 是 CD的中点，连接 EF若 AB=8，且 EF 均分 BED，则 AD的长为 题1 题3 题42若矩形的一条对角线与一边的夹角是 40，则两条对角线订交所成的锐角是3如图，在矩形 ABCD中， AB=， E 是 BC的中点， AE BD于点 F，则 CF的长是4如图，在矩形 ABCD中，M为 BC边上一点，连接 AM，过点 D 作 DE AM，垂足为 E若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为5如图，在矩形ABCD中， ABC的均分线交AD于点E，连接CE若 BC=7

2、，AE=4，则 CE=题5题6题76如图，在矩形ABCD中，对角线AC、 BD订交于点O，点E、 F 分别是AO、 AD的中点，若AB=6cm， BC=8cm，则EF=cm7如图，连接四边形ABCD各边中点，获得四边形EFGH，还要增添条件，才能保证四边形EFGH是矩形8如图， 在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD订交于点 O，且 AO=CO，BO=DO，要使四边形 ABCD为矩形，则需增添的条件为 （填一个即可） 题8 题11 题129已知四边形 ABCD为平行四边形，要使得四边形 ABCD为矩形，则可以增添一个条件为 10木工做一个矩形木框， 长为 80cm，宽为 60cm，对角线的长

3、为 100cm，则这个木框 （填“合格”或“不合格” ）11如图，在四边形 ABCD中，已知 AB DC， AB=DC，在不增添任何辅助线的状况下，请补充一个条件，使四边形 ABCD成为矩形，这个条件是 12如图，在平行四边形 ABCD中，延长 AD到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB请你增添一个条件 ，使四边形 DBCE是矩形二解答题13如图，在 ? ABCD中， BAD的均分线交 CD于点 E，交 BC的延长线于点 F，连接 BE，F=45（1）求证：四边形 ABCD是矩形；（2）若 AB=14， DE=8，求 sin AEB的值14如图， AD是等腰 ABC底边 BC上的高点

4、 O是 AC中点，延长 DO到 E，使 OE=OD，连接AE， CE（1）求证：四边形 ADCE的是矩形；（2）若 AB=17， BC=16，求四边形 ADCE的面积15如图，四边形 ABCD中， AB DC， B=90， F 为 DC上一点，且 FC=AB，E 为 AD上一点，EC交 AF 于点 G（1）求证：四边形 ABCF是矩形；（2）若 EA=EG，求证： ED=EC16如图，在 ? ABCD中， AEBC于点 E 点，延长 BC至 F 点使 CF=BE，连接 AF， DE，DF（1）求证：四边形 AEFD是矩形；（2）若 AB=6， DE=8， BF=10，求 AE的长17平行四边形

5、 ABCD中，过点 D 作 DE AB于点 E，点 F 在 CD上， CF=AE，连接 BF，AF（1）求证：四边形 BFDE是矩形；（2）若 AF均分 BAD，且 AE=3， DE=4，求矩形 BFDE的面积矩形的性质和判断解析一填空题（共 12 小题）1如图，矩形 ABCD中，ABC的均分线交 AD边于点 E，点 F 是 CD的中点，连接 EF若 AB=8，且 EF 均分 BED，则 AD的长为 12 【解析】 依照两直线平行，内错角相等求出 AEB= EBC，再求出 ABE=EBC，依照等角对等边可得 AE=AB，此后依照 AD=AE+ED代入数据计算即可得解【解答】 解：矩形 ABCD

6、中，AD BC， AEB=EBC， ABC的均分线交 AD边于点 E， ABE=EBC， ABE=AEB，AB=AE=8，同理得出 ED=DF=DC=4，AD=AE+ED=8+4=12，故答案为： 122若矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两条对角线订交所成的锐角是80【解析】由于两条对角线订交所成的锐角只有一个， 直接应用三角形的内角和定理求解即可【解答】 解：由矩形的对角线相等且相互均分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为 40，两条对角线订交所成的钝角为： 180 40 2=100故它们所成锐角为： 180 100 =80故答案为 803如图，在矩形 ABCD

7、中， AB=， E 是 BC的中点， AE BD于点 F，则 CF的长是 【解析】 依照四边形 ABCD是矩形，获得 ABE= BAD=90，依照余角的性质获得 BAE=ADB，依照相似三角形的性质获得 BE=1，求得 BC=2，依照勾股定理获得 AE=， BD=，依照三角形的面积公式获得 BF=，过 F 作 FG BC于 G，依照相似三角形的性质获得 CG=，依照勾股定理即可获得结论【解答】 解：四边形 ABCD是矩形， ABE=BAD=90，AE BD， AFB=90， BAF+ABD= ABD+ ADB=90， BAE=ADB， ABE ADB，E 是 BC的中点，AD=2BE，2BE2

8、=AB2=2，BE=1，BC=2，AE=， BD=，BF=，过 F 作 FGBC于 G， FG CD， BFG BDC，=，FG=， BG=，CG=，CF=故答案为：4如图，在矩形 ABCD中，M为 BC边上一点，连接 AM，过点 D 作 DE AM，垂足为 E若 DE=DC=1，AE=2EM，则 BM的长为 【解析】 由 AAS证明 ABM DEA，得出 AM=AD，证出 BC=AD=3EM，连接 DM，由 HL证明 Rt DEM Rt DCM，得出 EM=CM，所以 BC=3CM，设 EM=CM=x，则 BM=2x，AM=BC=3x，在 Rt ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答

9、】 解：四边形 ABCD是矩形，AB=DC=1， B= C=90， AD BC，AD=BC， AMB=DAE，DE=DC，AB=DE，DE AM， DEA=DEM=90，在 ABM和 DEA中， ABM DEA（ AAS），AM=AD，AE=2EM，BC=AD=3EM，连接 DM，以以下列图：在 Rt DEM和 Rt DCM中， Rt DEM Rt DCM（ HL），EM=CM，BC=3CM，设 EM=CM=x，则 BM=2x， AM=BC=3x，在 Rt ABM中，由勾股定理得：2221 +（ 2x）=（ 3x） ，解得： x=，BM=；故答案为：5如图，在矩形 ABCD中， ABC的均分线

10、交 AD于点 E，连接 CE若 BC=7，AE=4，则 CE=5【解析】 第一证明 AB=AE=CD=4，在 Rt CED中，依照 CE=计算即可【解答】 解：四边形 ABCD是矩形，AD BC，AB=CD， BC=AD=7， D=90， AEB=EBC， ABE=EBC，AB=AE=CD=4，在 Rt EDC中， CE=5故答案为 56如图，在矩形 ABCD中，对角线 AC、 BD订交于点 O，点 E、 F 分别是 AO、 AD的中点，若AB=6cm， BC=8cm，则 EF= cm【解析】 依照勾股定理求出 AC，依照矩形性质得出 ABC=90， BD=AC，BO=OD，求出 BD、OD，

11、依照三角形中位线求出即可【解答】 解：四边形 ABCD是矩形， ABC=90， BD=AC， BO=OD，AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理得： BD=AC=10（ cm），DO=5cm，点 E、 F 分别是 AO、 AD的中点，EF=OD=，故答案为：7如图，连接四边形 ABCD各边中点，获得四边形EFGH，还要增添ACBD条件，才能保证四边形 EFGH是矩形【解析】 依照三角形的中位线平行于第三边， HG BD， EH AC，依照平行线的性质 EHG=1， 1= 2，依照矩形的四个角都是直角， EFG=90，所以 2=90，所以 ACBD【解答】 解： G、 H、 E 分别是 BC、

12、CD、 AD的中点，HG BD，EH AC， EHG=1， 1= 2， 2= EHG，四边形 EFGH是矩形， EHG=90， 2=90，AC BD故还要增添 AC BD，才能保证四边形 EFGH是矩形8如图， 在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD订交于点 O，且 AO=CO，BO=DO，要使四边形 ABCD为矩形，则需增添的条件为 DAB=90 （填一个即可） 【解析】 依照对角线相互均分线的四边形为平行四边形可得四边形 ABCD是平行四边形，添加条件 DAB=90可依照有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判断【解答】 解：可以增添条件 DAB=90，AO=CO， BO=DO，四边形 A

13、BCD是平行四边形， DAB=90，四边形 ABCD是矩形，故答案为： DAB=909已知四边形 ABCD为平行四边形， 要使得四边形 ABCD为矩形，则可以增添一个条件为 BAD=90 【解析】 依照矩形的判断方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可【解答】 解：四边形 ABCD是平行四边形， BAD=90，四边形 ABCD是矩形，故答案为： BAD=90（答案不独一） 10木工做一个矩形木框，长为 80cm，宽为 60cm，对角线的长为 100cm，则这个木框 合格 （填“合格”或“不合格” ）【解析】 只要算出桌面的长与宽的平方和能否等于对角线的平方， 假如相等可得长、宽、对角线构

14、成的是直角三角形， 由此可获得每个角都是直角， 依照矩形的判断： 有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格【解答】 解：解：802+602=10000=1002，2 2 2即： AD+DC=AC， D=90，同理： B= BCD=90，四边形 ABCD是矩形，故答案为合格11如图，在四边形 ABCD中，已知 AB DC， AB=DC，在不增添任何辅助线的状况下，请补充一个条件，使四边形 ABCD成为矩形，这个条件是 A=90 【解析】 依照有一个角是 90的平行四边形是矩形，即可解决问题【解答】 解： ABDC， AB=DC，四边形 ABCD是平行四边形，当 A=90时，四边形 ABCD是

15、平行四边形故答案为 A=90（填 B=90或 C=90或 D=90也可以）12如图，在平行四边形 ABCD中，延长 AD到点 E，使 DE=AD，连接 EB，EC，DB请你增添一个条件 EB=DC ，使四边形 DBCE是矩形【解答】 解：增添 EB=DC原由以下：四边形 ABCD是平行四边形，AD BC，且 AD=BC，DE BC，又 DE=AD，DE=BC，四边形 DBCE为平行四边形又 EB=DC，四边形 DBCE是矩形故答案是： EB=DC二解答题（共 6 小题）13如图，在 ? ABCD中， BAD的均分线交 CD于点 E，交 BC的延长线于点 F，连接 BE， F=45（1）求证：四

16、边形 ABCD是矩形；（2）若 AB=14， DE=8，求 sin AEB的值【解析】（ 1）欲证明四边形 ABCD是矩形，只要推知 DAB是直角；（2）如图，过点 B 作 BH AE 于点 H成立直角 BEH经过解该直角三角形可以求得 sinAEB的值在 Rt BCE中，由勾股定理得在 Rt AHB中， BH=AB? sin45 =7所以经过解 Rt BHE获得： sin AEB=【解答】（ 1）证明：四边形 ABCD是平行四边形，AD BC DAF=F F=45， DAE=45AF 是 BAD的均分线， EAB=DAE=45 DAB=90又四边形 ABCD是平行四边形，四边形 ABCD是矩

17、形（2）解：如图，过点 B 作 BH AE 于点 H四边形 ABCD是矩形，AB=CD， AD=BC， DCB= D=90AB=14， DE=8，CE=6在 Rt ADE中， DAE=45， DEA=DAE=45AD=DE=8BC=8在 Rt BCE中，由勾股定理得在 Rt AHB中， HAB=45，BH=AB? sin45 =7在 Rt BHE中， BHE=90，sin AEB=14如图， AD是等腰 ABC底边 BC上的高点 O是 AC中点，延长 DO到 E，使 OE=OD，连接AE， CE（1）求证：四边形 ADCE的是矩形；（2）若 AB=17， BC=16，求四边形 ADCE的面积【

18、解析】（ 1）依照平行四边形的性质得出四边形ADC=90，依照矩形的判断得出即可；ADCE是平行四边形，依照垂直推出（2）求出 DC，依照勾股定理求出 AD，依照矩形的面积公式求出即可【解答】（ 1）证明：点 O是 AC中点，AO=OC，OE=OD，四边形 ADCE是平行四边形，AD是等腰 ABC底边 BC上的高， ADC=90，四边形 ADCE是矩形；（2）解： AD是等腰 ABC底边 BC上的高， BC=16， AB=17，BD=CD=8， AB=AC=17， ADC=90，由勾股定理得： AD=15，四边形 ADCE的面积是 ADDC=15 8=12015如图，四边形 ABCD中， AB

19、 DC， B=90， F 为 DC上一点，且 FC=AB，E 为 AD上一点，EC交 AF 于点 G（1）求证：四边形 ABCF是矩形；（2）若 EA=EG，求证： ED=EC【解析】（ 1）由条件可先证得四边形 ABCF为平行四边形，再由 B=90可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得 EAG=EGA= FGC，再利用直角三角形的性质可求得 D= ECD，可证得 ED=EC【解答】 证明：（1） AB CD，且 FC=AB，四边形 ABCF为平行四边形， B=90，四边形 ABCF是矩形；（2） EA=EG， EAG=EGA= FGC，四边形 ABCF为矩形， AFC=AFD=90，

20、D+ DAF= FGC+ ECD=90， D= ECD，ED=EC16如图，在 ? ABCD中， AEBC于点 E 点，延长 BC至 F 点使 CF=BE，连接 AF， DE，DF（1）求证：四边形 AEFD是矩形；（2）若 AB=6， DE=8， BF=10，求 AE的长【解析】（ 1）先证明四边形 AEFD是平行四边形，再证明 AEF=90即可（2）证明 ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出 AE的长【解答】（ 1）证明： CF=BE，CF+EC=BE+EC即 EF=BC在 ? ABCD中， AD BC且 AD=BC，AD EF且 AD=EF四边形 AEFD是平行四边形AE BC，

21、AEF=90四边形 AEFD是矩形；（2）解：四边形 AEFD是矩形， DE=8，AF=DE=8AB=6， BF=10，AB2+AF2=62+82=100=BF2 BAF=90AE BF， ABF的面积 =AB? AF=BF? AEAE=17平行四边形 ABCD中，过点 D 作 DE AB于点 E，点 F 在 CD上， CF=AE，连接 BF，AF（1）求证：四边形 BFDE是矩形；（2）若 AF均分 BAD，且 AE=3， DE=4，求矩形 BFDE的面积【解析】（ 1）依照有一个角是 90 度的平行四边形是矩形即可判断（2）第一证明 AD=DF，求出 AD即可解决问题【解答】 证明：（ 1

22、）四边形 ABCD是平行四边形，AB=CD， AB CD，DF BE，CF=AE，DF=BE，四边形 BFDE是平行四边形，DE AB， DEB=90，四边形 BFDE是矩形（2） AB CD， BAF=AFD，AF 均分 BAD， DAF=AFD，AD=DF，在 Rt ADE中， AE=3， DE=4，AD=5，矩形的面积为 2018在 ? ABCD中，过点 D 作 DE AB于点 E，点 F 在 CD上， CF=AE，连接 BF， AF（1）求证：四边形 BFDE是矩形；（2）若 AD=DF，求证： AF 均分 BAD【解析】（ 1）先证明四边形 BFDE是平行四边形，再证明 DEB=90即可（2）欲证明 AF 均分 BAD，只要证明 DAF=BAF即可【解答】 证明：（ 1）四边形 ABCD是平行四边形，AB=CD， AB CD，即 BE DF，CF=AE，DF=BE，四边形 BFDE是平行四边形，DE AB， DEB=90，四边形 BFDE是矩形（2）由（ 1）可知 AB CD， BAF=AFD，AD=DF， DAF=AFD， BAF=DAF，即 AF 均分 BAD