中考数学复习几何+函数压轴题高分挑战.docx
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中考数学复习几何+函数压轴题高分挑战
几何
1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）．动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动．设运动的时间为t秒，PQ2＝y．
（1）直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：
；
（2）当PQ＝3
时，求t的值；
（3）连接OB交PQ于点D，若双曲线y＝
（k≠0）经过点D，问k的值是否变化？
若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
解：
（1）过点P作PE⊥BC于点E，如图1所示．
当运动时间为t秒时（0≤t≤4）时，点P的坐标为（3t，0），点Q的坐标为（8﹣2t，6），
∴PE＝6，EQ＝|8﹣2t﹣3t|＝|8﹣5t|，
∴PQ2＝PE2+EQ2＝62+|8﹣5t|2＝25t2﹣80t+100，
∴y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
故答案为：
y＝25t2﹣80t+100（0≤t≤4）．
（2）当PQ＝3
时，25t2﹣80t+100＝（3
）2，
整理，得：
5t2﹣16t+11＝0，
解得：
t1＝1，t2＝
．
（3）经过点D的双曲线y＝
（k≠0）的k值不变．
连接OB，交PQ于点D，过点D作DF⊥OA于点F，如图2所示．
∵OC＝6，BC＝8，
∴OB＝
＝10．
∵BQ∥OP，
∴△BDQ∽△ODP，
∴
＝
＝
＝
，
∴OD＝6．
∵CB∥OA，
∴∠DOF＝∠OBC．
在Rt△OBC中，sin∠OBC＝
＝
＝
，cos∠OBC＝
＝
＝
，
∴OF＝OD•cos∠OBC＝6×
＝
，DF＝OD•sin∠OBC＝6×
＝
，
∴点D的坐标为（
，
），
∴经过点D的双曲线y＝
（k≠0）的k值为
×
＝
．
2、如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．
（1）填空：
∠CDE＝（用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若α＝90°，AC＝5
，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．
解：
（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE
∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α
∴CD＝CE
∴∠CDE＝
故答案为：
（2）AE＝BE+
CF
理由如下：
如图，
∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE
∴△ACD≌△BCE
∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°
∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE
∴DF＝EF＝
∵AE＝AD+DF+EF
∴AE＝BE+
CF
（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5
，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10
∵∠ACB＝90°＝∠AGB
∴点C，点G，点B，点A四点共圆
∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG
∴∠AGC＝∠ECG＝45°
∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°
∴AG＝
＝8
∵AC2＝AE2+CE2，
∴（5
）2＝（8﹣CE）2+CE2，
∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1
若点G在AB的下方，过点C作CF⊥AG，
同理可得：
CF＝7
∴点C到AG的距离为1或7．
3、定义：
有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：
四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？
请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．
解：
（1）证明：
∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴
，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
（2）AD平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；
（3）如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝
∠EAD，
由
（2）知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA＝
∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴
，
即
，
∴DF＝5
﹣5．
4、
（1）证明推断：
如图
（1），在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE．
①求证：
DQ＝AE；
②推断：
的值为 ；
（2）类比探究：
如图
（2），在矩形ABCD中，
＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：
在
（2）的条件下，连接CP，当k＝
时，若tan∠CGP＝
，GF＝2
，求CP的长．
（1）①证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．
∴∠QAO+∠OAD＝90°．
∵AE⊥DH，
∴∠ADO+∠OAD＝90°．
∴∠QAO＝∠ADO．
∴△ABE≌△DAQ（ASA），
∴AE＝DQ．
②解：
结论：
＝1．
理由：
∵DQ⊥AE，FG⊥AE，
∴DQ∥FG，
∵FQ∥DG，
∴四边形DQFG是平行四边形，
∴FG＝DQ，
∵AE＝DQ，
∴FG＝AE，
∴
＝1．
故答案为1．
（2）解：
结论：
＝k．
理由：
如图2中，作GM⊥AB于M．
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴
＝
，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴
＝
＝
＝k．
（3）解：
如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
∵FB∥GC，FE∥GP，
∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝
＝
，
∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，
∵
＝
，FG＝2
，
∴AE＝3
，
∴（3k）2+（9k）2＝（3
）2，
∴K＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：
AB＝2：
3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，
∴∠FEB＝∠EPM，
∴△FBE∽△EMP，
∴
＝
＝
，
∴
＝
＝
，
∴EM＝
，PM＝
，
∴CM＝EM＝EC＝
﹣3＝
，
∴PC＝
＝
．
5、已知：
在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．
（1）填空：
点A （填“在”或“不在”）⊙O上；当
＝
时，tan∠AEF的值是；
（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：
AD＝AE+DH；
（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：
EH＝AE+DH；
（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，求tan∠AEF的值．
解：
（1）连接AO，
∵∠EAF＝90°，O为EF中点，
∴AO＝
EF，
∴点A在⊙O上，
当
＝
时，∠AEF＝45°，
∴tan∠AEF＝tan45°＝1，
故答案为：
在，1；
（2）∵EF⊥FH，
∴∠EFH＝90°，
在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠AFE＝90°，
∠AFE+∠DFH＝90°，
∴∠AEF＝∠DFH，
又FE＝FH，
∴△AEF≌△DFH（AAS），
∴AF＝DH，AE＝DF，
∴AD＝AF+DF＝AE+DH；
（3）延长EF交HD的延长线于点G，
∵F分别是边AD上的中点，
∴AF＝DF，
∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，
∴△AEF≌△DGF（ASA），
∴AE＝DG，EF＝FG，
∵EF⊥FG，
∴EH＝GH，
∴GH＝DH+DG＝DH+AE，
∴EH＝AE+DH；
（4）过点M作MQ⊥AD于点Q．
设AF＝x，AE＝a，
∵FM＝FEEF⊥FH，
∴△EFM为等腰直角三角形，
∴∠FEM＝∠FMN＝45°，
∵FM＝FE，
∠A＝∠MQF＝90°，
∠AEF＝∠MFQ，
∴△AEF≌△QFM（ASA），
∴AE＝EQ＝a，AF＝QM，
∵AE＝AD，
∴AF＝DQ＝QM＝x，
∵DC∥QM，
∴
，
∵DC∥AB∥QM，
∴
，
∴
，
∵FE＝FM，
∴
，
∠FEM＝∠FMN＝45°，
∴△FEN～△HMN，
∴
，
∴
．
6、在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．
（1）填空：
正方形的面积为 ；当双曲线y＝
（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：
；
（2）已知抛物线L：
y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝
（k≠0）与边DC交于点N．
①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；
②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求
﹣
的值；
③求证：
抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．
解：
（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，
∴正方形面积为36；
有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；
故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；
（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，yQ＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，
当m＝﹣1，yQ最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），
当m＜﹣1时，yQ随m的增大而增大，当m＝﹣2时，yQ最小＝3，
当m＞﹣1时，yQ随m的增大而减小，当m＝4时，yQ最小＝﹣21，
∴3＞﹣21，
∴yQ最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），
∴在运动过程中点Q在
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