套用18个解题模板.docx

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套用18个解题模板

套用18个解题模板

模板一　求函数值

　　例1　已知函数f（x）是定义在R上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当x∈[0,1）时,f（x）=2x-1,则f（lo

6）的值是（　　）

A.-

B.-5C.-

D.-6

答案　C

解析　因为-3

6<-2,所以-1

6+2<0,

即-1

<0.（转化）

又f（x）是周期为2的奇函数,

所以f（lo

6）=f

=-f

=-f

=-（

-1）=-

.（求值）

故选C.（结论）

▲模板构建　已知函数解析式求函数值,常伴随对函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性的考查,其解题思路如下:

跟踪集训

　设f（x）为定义在R上的奇函数,且是周期为4的周期函数,f

（1）=1,则f（-1）+f（8）=（　　）

A.-2B.-1C.0D.1

模板二　函数的图象

　　例2　已知函数y=f（x）的图象如图所示,则其导函数y=f'（x）的图象可能是（　　）

答案　A

解析　由函数f（x）的图象,可知当x<0时,函数f（x）有两个极值点,且f（x）先增后减再增;当x>0时,函数f（x）无极值点,且是减函数.（定性）

根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系,可知导函数y=f'（x）的图象在y轴左侧应该与x轴有两个交点,且导函数值先正后负再正,在y轴右侧与x轴无交点,且导函数值恒负,（判断）

由此可以判断A项符合y=f'（x）的图象要求.故选A.（结论）

　　▲模板构建　由原函数的图象判断导函数的图象,关键是根据原函数的单调性与导函数值的正负的对应关系进行判断,基本的解题要点如下:

跟踪集训

　函数f（x）=（x-1）ln|x|的图象大致为（　　）

模板三　函数的零点问题

　　例3　设函数f（x）=

x-lnx（x>0）,则y=f（x）（　　）

A.在区间

（1,e）内均有零点

B.在区间

（1,e）内均无零点

C.在区间

内有零点,在区间（1,e）内无零点

D.在区间

内无零点,在区间（1,e）内有零点

答案　D

解析　根据对数函数的性质,知当0

x-lnx>0,因此函数y=f（x）在区间

内无零点.

而f

（1）=

>0,f（e）=

-1=

<0,（求值、定号）

根据零点存在性定理可知函数y=f（x）在区间（1,e）内有零点.故选D.（下结论）

▲模板构建　利用零点存在性定理可以根据函数y=f（x）在某个区间端点处函数值的符号来确定零点所在区间.这种方法适用于不需要确定零点的具体值,只需确定其大致范围的问题.基本的解题要点为:

跟踪集训

　已知f（x）=

则函数的零点个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

模板四　三角函数的性质

　　例4　已知函数f（x）=

sin

cos

-

sin2

.

（1）求f（x）的最小正周期;

（2）求f（x）在区间[-π,0]上的最小值.

解析　

（1）f（x）=

sin

cos

-

sin2

=

×

sinx-

×

=

sinx+

cosx-

=sin

-

（化简）

f（x）的最小正周期T=

=2π.

（2）因为x∈[-π,0],

设t=x+

则t∈

（换元）

μ=sint∈

则y=μ-

∈

当x+

=-

即x=-

时,f（x）取得最小值-1-

.（结论）

▲模板构建　在利用三角函数的性质求最值或值域时,要注意:

（1）先确定函数的定义域;

（2）将已知函数化简为y=Asin（ωx+φ）+k的形式时,尽量化成A>0,ω>0的情况;（3）将ωx+φ视为一个整体.解题思路为:

跟踪集训

　已知函数f（x）=sin

sinx-

cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期和最大值;

（2）讨论f（x）在

上的单调性.

模板五　三角函数的图象变换

　　例5　把函数y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是（　　）

答案　A

解析　由题意,将y=cos2x+1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,得到函数y=cosx+1的图象,然后向左平移1个单位长度得到函数y=cos（x+1）+1的图象,再向下平移1个单位长度得到函数y=cos（x+1）的图象.（定解析式）

在函数y=cosx图象上取特殊点

则函数y=cos（x+1）图象上的对应点为

.（定特殊点）

又函数y=cos（x+1）的周期为2π,观察所给图象,知选项A符合题意.（定图象）

故选A.

▲模板构建　三角函数图象变换的主要类型:

在x轴方向上的左、右平移变换,在y轴方向上的上、下平移变换,在x轴或y轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:

跟踪集训

　已知函数f（x）=sin

（x∈R,ω>0）图象上相邻两条对称轴之间的距离为

.为了得到函数g（x）=cosωx的图象,只要将y=f（x）的图象（　　）

A.向左平移

个单位长度

B.向右平移

个单位长度

C.向左平移

个单位长度

D.向右平移

个单位长度

模板六　解三角形

　　例6　在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且

+

=

.

（1）求角A的大小;

（2）若

=

+

a=

求b的值.

解析　

（1）由题意,可得

+

=3,即

+

=1,

整理得b2+c2-a2=bc,（定已知）

由余弦定理,知cosA=

=

（选定理）

因为0

.（得结论）

（2）解法一:

由题意,知c=

b,（定已知）

根据余弦定理,可得a2=b2+c2-2bccosA,即15=b2+

b2-

b2,整理得15=

b2,（选定理）

解得b=2.（得结论）

解法二:

由正弦定理,得

=

=

=

=

+cosA=

+

=

+

解得tanB=

所以sinB=

.

由正弦定理,得b=

=

=2.

▲模板构建　利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:

跟踪集训

　△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=

B=A+

.

（1）求b的值;

（2）求△ABC的面积.

模板七　利用函数性质解不等式

　　例7　已知定义在实数集R上的偶函数f（x）满足f（-2）=9,且f（x）的导数f'（x）在[0,+∞）上恒有f'（x）<4x,则不等式f（x）<2x2+1的解集为（　　）

A.（2,+∞）B.（-∞,2）

C.（-2,2）D.（-∞,-2）∪（2,+∞）

答案　D

解析　设g（x）=f（x）-2x2-1,（构函数）

则g'（x）=f'（x）-4x.（析性质）

因为函数f（x）为偶函数,所以f（-x）=f（x）,

而g（-x）=f（-x）-2（-x）2-1=f（x）-2x2-1=g（x）,

所以函数g（x）为偶函数,故g（x）=g（|x|）,（析性质）

因为当x∈[0,+∞）时,f'（x）<4x,故g'（x）=f'（x）-4x<0,

所以函数g（x）在[0,+∞）上单调递减.（析性质）

而g

（2）=f

（2）-2×22-1=f（-2）-9=0,故由g（x）<0,即g（|x|）

（2）,得|x|>2.（巧转化）

解得x<-2或x>2.

所以不等式f（x）<2x2+1的解集为（-∞,-2）∪（2,+∞）.故选D.（写解集）

▲模板构建　函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:

跟踪集训

　已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f

（1）=e,f

（2）=1,且对任意的x∈R,都有f'（x）-f（x）

模板八　利用基本不等式求最值

　　例8　函数y=

+4x

的最小值为　　　　. 

答案　2+2

解析　f（x）=

+4x=

+（4x-2）+2,（巧拼凑）

因为x>

所以4x-2>0,

且

×（4x-2）=2,（找定值）

由基本不等式可得

+（4x-2）+2≥2

+2=2

+2

.

即函数的最小值为2+2

.（求最值）

▲模板构建　拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:

跟踪集训

　函数f（x）=

的最大值为　　　　. 

模板九　不等式恒成立问题

　　例9　已知x>0,y>0,且

+

=1,若x+2y-（m2+2m）>0恒成立,则实数m的取值范围为　　　　. 

答案　（-4,2）

解析　记t=x+2y,由原不等式恒成立可得m2+2m

因为

+

=1,所以t=x+2y=（x+2y）

=4+

+

.而x>0,y>0,

所以

+

≥2

=4

当且仅当

=

即x=2y时等号成立

.

所以t=4+

+

≥4+4=8,即tmin=8.（求最值）

故m2+2m<8,即（m-2）（m+4）<0,（建关系）

解得-4

所以实数m的取值范围为（-4,2）.

▲模板构建　分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:

跟踪集训

　已知当x<0时,2x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围为（　　）

A.[2

+∞）B.（-∞,2

]

C.（-2

+∞）D.（-∞,-2

）

模板十　简单的线性规划问题

　　例10　设变量x,y满足约束条件

则目标函数z=3x-4y的最大值为　　　　. 

答案　3

解析　如图,作出不等式组所表示的可行域（阴影部分）,

当直线z=3x-4y在x轴上的截距取最大值时,目标函数z取得最大值.

由图可知,当直线z=3x-4y经过点C时,z取最大值,由

解得

即C（5,3）,故目标函数z的最大值zmax=3×5-4×3=3.

▲模板构建　线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:

跟踪集训

　设变量x,y满足约束条件

则z=

的取值范围是（　　）

A.

B.

C.[4,32]D.[8,16]

模板十一　数列的通项与求和

　　例11　已知数列

是等差数列,且a3=

a2=4a7.

（1）求{an}的通项公式;

（2）若bn=anan+1（n∈N*）,求数列{bn}的前n项和Sn.

解析　

（1）

为等差数列,设其公差为d,则

=8,

=

（找关系）

即

+2d=8,

+d=

解得

=2,d=3,

于是

=2+3（n-1）,整理得an=

.（求通项）

（2）由

（1）知an=

故bn=anan+1=

=

（求通项）

所以Sn=

（定方法）

=

=

.（求结论）

▲模板构建　数列的通项与求和问题的解题步骤如下:

跟踪集训

　设Sn为数列{a