初升高数学衔接专题04 二次函数yax2+bx+c的图像和性质解析版.docx
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初升高数学衔接专题04二次函数yax2+bx+c的图像和性质解析版
初高中天衣无缝衔接教程（2020版）
专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
本专题在初中、高中扮演的角色
确定二次函数的图象，主要应抓住：
抛物线的开口方向、顶点位置、对称轴以及与两坐标轴的交点.解决二次函数的问题，通常利用配方法和数形结合思想求解，先画出二次函数的图象，根据题中所给的区间观察函数的单调区间，再利用函数的单调区间研究最值等问题.
二次函数是初中数学的一个重要内容，是中考重点考查的内容，也是高考必考内容，同时还是一个研究函数性质的很好的载体，因此做好二次函数的初高中衔接至关重要，初中阶段对二次函数的要求，是立足于用代数方法来研究，比如配方结合顶点式，描述函数图象的某些特征（开口方向、顶点坐标、对称轴、最值）等；再比如待定系数法，通过解方程组的形式来求二次函数的解析式.
高中的函数立足于集合观点，对二次函数的学习要求明显提高，二次函数的研究更侧重于数形结合、分类讨论等思想方法.
高中必备知识点1：
二次函数图像的伸缩变换
问题函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？
为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝
x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．
先列表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
2
3
…
x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
2x2
…
18
8
2
0
2
8
18
从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：
函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax2（a≠0）的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2（a≠0）中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
典型考题
【典型例题】
二次函数
的图象如图所示，有下列结论：
①
；②
；③
；④
，其中正确的结论个数是
A．1个B．2 个C．3 个D．4 个
【答案】C
【解析】
由图象可得，
，
，故
错误，
当
时，
，故
正确，
当
时，
，
由
得，
，
则
，得
，故
正确，
，得
，故
正确，
故选：
C．
【变式训练】
下列说法错误的是（）
A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0
B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大
C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小
D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点
【答案】C
【解析】
A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；
B、二次函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故该选正确；
C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；
D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．
故选C．
【能力提升】
抛物线y=
x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（ ）
A．y=
x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2
【答案】A
【解析】
∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，
又∵
，
∴抛物线y=
x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是y=
x2，
故选A．
高中必备知识点2：
二次函数图像的平移变换
函数y＝a（x＋h）2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2（x＋1）2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2（x＋1）2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3（x－1）2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0）中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的方法：
由于y＝ax2＋bx＋c＝a（x2＋
）＋c＝a（x2＋
＋
）＋c－
，
所以，y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）具有下列性质：
（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为
，对称轴为直线x＝－
；当x＜
时，y随着x的增大而减小；当x＞
时，y随着x的增大而增大；当x＝
时，函数取最小值y＝
．
（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
，对称轴为直线x＝－
；当x＜
时，y随着x的增大而增大；当x＞
时，y随着x的增大而减小；当x＝
时，函数取最大值y＝
．
典型考题
【典型例题】
如图，已知抛物线C1：
y＝﹣x2+4，将抛物线C1沿x轴翻折，得到抛物线C2
（1）求出抛物线C2的函数表达式；
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A，B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N，与x轴交点从左到右依次为D，E．在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？
若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）y＝x2﹣4
（2）当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形
【解析】
（1）∵抛物线C1的顶点为（0，4），
∴沿x轴翻折后顶点的坐标为（0．﹣4），
∴抛物线C2的函数表达式为y＝x2﹣4；
（2）存在
连接AN，NE，EM，MA，
依题意可得：
M（﹣m，4），N（m，﹣4），
∴M，N关于原点O对称OM＝ON，
原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），
∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），
∴A，E关于原点O对称，
∴OA＝OE
∴四边形ANEM为平行四边形，
∴AM2＝22+42＝20，
ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，
AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，
若AM2+ME2＝AE2，
∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，
解得m＝3，
此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，
∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．
【变式训练】
如图，抛物线
轴的负半轴相交于点
，将抛物线
平移得到抛物线
相交于点
，直线
于点
，且
.
（1）求点
的坐标；
（2）写出一种将抛物线
平移到抛物线
的方法；
（3）在
轴上找点
，使得
的值最小，求点
的坐标.
【答案】
（1）A（-2，0），B（3，5），C（8，10）；
（2）先将
向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到
；（3）P（0，
）.
【解析】
（1）M1：
y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，
∴A（-2，0），
∵AB=BC，C（8，m），
∴
，
设AB直线解析式为y=kx+b
，
∵y=x2-4与
相交于点A和B，
∴m=10，
∴B（3，5），C（8，10）；
（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，
∴a=1，
∵B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，
∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，
由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；
（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，
∴B'（-3，5），
设直线B'C的直线解析式为y=mx+n，
.
【能力提升】
已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．
【答案】
（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）将抛物线向上平移4个单位．
【解析】
（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得
，解得
，
所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，
点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），
所以需将抛物线向上平移4个单位．
专题验收测试题
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（）
A．abc＞0B．b2﹣4ac＜0C．9a+3b+c＞0D．c+8a＜0
【答案】D
【解析】
根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a＜0，c＞0，b＞0，所以abc＜0，所以A错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以
＞0，所以B错误；又抛物线与x轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以
，所以C错误；因为当x=-2时，
＜0，又
，所以b=-2a，所以
＜0，所以D正确，故选D.
2．将抛物线y＝ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位得抛物线y＝﹣（x+2）2+3，则（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣10B．a＝﹣1，b＝﹣8，c＝﹣16
C．a＝﹣1，b＝0，c＝0D．a＝﹣1，b＝0，c＝6
【答案】D
【解析】
∵y＝－（x＋2）2＋3，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，3），
∵抛物线y=ax2+bx+c向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度得抛物线y＝－（x＋2）2＋3，
-2+2=0，3+3=6，
∴平移前抛物线顶点坐标为（0，6），
∴平移前抛物线为y=-x2+6，
∴a＝－1，b＝0，c＝6．
故选D.
3．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：
①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a﹣b＝0；⑥b2﹣4ac＞0．下列结论一定成立的是（）
A．①②④⑥B．①②③⑥C．②③④⑤⑥D．①②③④
【答案】B
【解析】
①由图象可得，a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①正确，
②方程当y=0时，代入y=ax2
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