高等数学第12章试题.docx
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高等数学第12章试题
高等数学
院系_______学号_______班级_______姓名_________得分_______
题 号
选择题
填空题
计算题
证明题
其它题型
总 分
题 分
30
30
30
30
30
核分人
得 分
复查人
一、选择题（共30小题，30分）
1、微分方程
满足条件
的解是
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
2、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
3、若方程
的系数满足
为非零实常数），则该方程有特解
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
4、若方程
的系数满足
，,则该方程有特解
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
5、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
6、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
7、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
8、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
9、微分方程
满足条件
的解是
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
10、微分方程
满足条件
的解是
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
11、微分方程
满足条件
的解是
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
12、设
是待定常数，则微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
13、微分方程
满足条件
的解是
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
14、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
15、若方程
的系数满足
，,则该方程有特解
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
16、微分方程
满足条件
的解是
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
17、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
18、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
19、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
20、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
21、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
22、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
23、若方程
的系数满足
，,则该方程有特解
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
24、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
25、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
26、微分方程
满足条件
的解是
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
27、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
28、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
29、微分方程
的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答：
（）
30、设
为待定常数，微分方程的一个特解应具有形式
（A）
（B）
（C）
（D）
答（）
二、填空题（共30小题，30分）
1、满足方程
的函数是。
2、曲线上任一点
处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是。
3、微分方程
的通解是。
4、微分方程
的通解是。
5、曲线上任一点的次切线（切点到
轴的一段切线在
轴上的投影）均等于4，则曲线应满足的微分方程是。
6、微分方程
用待定系数法确定的特解（系数值不求）形式是。
7、一质量为
的质点作直线运动，已知其上受一个与运动方向一致，大小与时间平方成正比（比例系数为
）的力作用，且还受一个与速度成正比（比例系数为
）的阻力作用，则该质点运动速度与时间应满足的微分方程是。
8、微分方程
用待定系数法确定的特解（系数值不求）形式是。
9、若方程
均为实常数）有特解
，则
等于，
等于。
10、一轮船质量为m，当前进速度为
时，推进器停止工作。
已知轮船受水的阻力与轮船的速度的平方成正比（比例系数为
），则轮船的速度与时间的函数关系是。
11、微分方程
的一条积分曲线在点
处有水平切线，此积分曲线是。
12、微分方程
的通解是。
13、微分方程
的通解为。
14、微分方程
的通解是。
15、一曲线上点
的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2，则曲线应满足的微分方程。
16、微分方程
的通解是。
17、微分方程
的通解是。
18、曲线上任一点
处的切线斜率等于
，且过点
，则该曲线方程是。
19、微分方程
的通解是。
20、微分方程
的通解是。
21、微分方程
的通解是。
22、微分方程
的通解是。
23、设
为定义在
上一函数组，
（1）如果存在一组数
，使
，则称
在
上线性相关。
24、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为
，其中
为独立的任意常数，则该方程为。
25、一质点沿直线运动，已知在时间
时加速度为
，开始时
速度为
，则速度与时间
的函数关系式是。
26、若某个三阶常系数线性齐次微分方程的通解为
，其中
，
为独立的任意常数，则该方程为。
27、求微分方程
的通解是。
28、一质量为m的物体在空气中由静止开始下落。
已知空气阻力与下落速度平方成正比（比例系数为
），则物体下落的速度与时间应满足的微分方程初值问题是。
29、镭的衰变速度与它的现存量
成正比（比例系数为
），已知在时刻镭的存量为
，则镭的量
与时间
应满足的微分方程初值问题是。
30、已知曲线积分
在右半平面
内与路径无关，其中
可微，则
应满足的微分方程是。
三、计算题（共20小题，30分）
1、若曲边梯形
的面积和弧
的长度成正比例（比例系数为
），求曲线满足的微分方程。
2、求微分方程初值问题
的解。
3、连接两点
的一条光滑曲线，它位于弦的上方，
为曲线上的任意点。
已知曲线与弦
之间的面积为
，求曲线所满足的微分方程。
4、求函数
为任意常数）所满足的一阶微分方程。
5、求微分方程
的通解。
6、已知齐次线性微分方程：
（1）的通解为
求非齐次线性方程：
（2）的通解。
7、求方程
的通解。
8、求微分方程
的一条积分曲线，使其过点
且在该点有水平切线。
9、求微分方程
的通解。
10、求微分方程
的通解。
11、求微分方程
的一个特解。
12、求微分方程
的通解。
13、解微分方程组：
14、设方程
有形如：
及
的特解，试确定
的值，并求方程的通解。
15、求微分方程
的通解。
16、求微分方程
的通解。
17、求微分方程
的通解。
18、求微分方程
的通解。
19、设函数
二阶连续可微，且使曲线积分
与路径无关，求函数
。
20、求微分方程
的一个特解。
四、证明题（共20小题，30分）
1、验证
是初始值问题
的解。
2、验证：
是微分方程
的两个线性无关特解，并求此方程的通解。
3、验证
是初值问题
的解。
4、设
，
试证明：
在
上线性无关。
5、验证：
在任何区间上线性相关。
6、设
是方程
的两个解，且
，试证明：
。
7、验证
是初值问题
的解。
8、验证：
是微分方程
的通解。
9、验证
是方程
的通解。
10、验证
为任意常数）所确定的函数是方程
的通解。
11、证明函数组：
在任何区间
上线性相关。
12、验证
（
为任意常数）是方程
的通解。
13、已知
是微分方程
的两个解，试证明：
为任意常数）也是方程的解。
14、试验证
是微分方程
的一条过点
，且在该点处的切线与直线
垂直的积分曲线。
15、设
和
是区间
上的连续函数，证明如果在区间
上有
常数，则
和
在
上线性无关。
16、试导出方程
有
形式的积分因子的条件，并求解：
17、验证：
当
时，曲线族
为方程
在
上的解；而当
时，该曲线族是上述方程在
上的解。
18、如果上半平面的一条向上凸曲线上任一点处的曲率半径等于该点处法线在曲线与
轴间的长度，试证此曲线是半圆周。
19、验证方程
的通解是一族曲线
为任意常数）。
20、设
试证明
是初始值问题
的解。
五、其它题型（共20小题，30分）
1、一单摆长为
，质量为
，不计空气阻力作微小摆动（
为单摆的角位移）。
当
时，单摆的角位移为
，角初速度为
，试求单摆的运动规律及摆动的周期。
2、求微分方程
的一条积分曲线，使其与曲线
相切于原点。
3、如图所示，两根长为
的弹簧与质点
联接，放在光滑水平面上，弹簧另一端各固定在墙上，两端墙之间距离为2
，两弹簧的弹性系数分别为
与
，今将质点
由两墙中点向右端移动距离
后放手，求质点
的运动微分方程。
4、试讨论
为何值时，微分方程
具有当
时趋于0的非零解。
5、求圆族
的正交轨线族（既与圆族互相正交的曲线的集合）所满足的微分方程。
6、由电感
和电容
，电源
串联成的
电路中，当
时，电容的初始电压为
，电路的初始电流为
，求电路的电流强度
。
7、求曲线族
的正交轨线族（即与该曲线互相正交的曲线族）所满足的微分方程。
8、已知一曲线
上任一点的斜率为
，且过点
，求此曲线
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