高中数学常用公式及结论大全.docx
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高中数学常用公式及结论大全
高中数学常用公式及结论大全（新课标）
必修1
1、集合的含义与表示
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
它具有三大特性：
确定性、互异性、无序性。
集合的表示有列举法、描述法。
描述法格式为：
{元素|元素的特征}，例如
{x|x
5,且xN}
2、常用数集及其表示方法
（1）自然数集N（又称非负整数集）：
0、1、2、3、
（2）正整数集N*或N+：
1、2、3、
（3）整数集Z：
-2、-1、0、1、
（4）有理数集Q：
包含分数、整数、有限小数等
（5）实数集R：
全体实数的集合
（6）空集Ф：
不含任何元素的集合
3、元素与集合的关系：
属于∈，不属于
例如：
a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A4、集合与集合的关系：
子集、真子集、相等
（1）子集的概念
如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集（如图1），记
作AB或BA.
若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，
BA或
A,B
记作PQ
（图1）
（2）真子集的概念
若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的
BA
真子集（如图2）.AB或BA.
（图2）
（3）集合相等：
若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.
AB,BAAB
5、重要结论
（1）传递性：
若A
B，B
C，则AC
（2）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.
6、含有n个元素的集合,它的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个（即
不计空集）；非空的真子集有2n–2个.
7、集合的运算：
交集、并集、补集AB
（1）一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．
记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．
（2）一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并
AB
集．记作A∪B（读作＂A并B＂），即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．
（3）若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，
叫做A在U中的补集，记作
CUA,
CUA
x|x
U,且xA
CUAA
注：
讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。
8、映射观点下的函数概念
如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：
A→B就叫做A到B的函数，记作y=f（x），其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f（x）的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f（x）
的值域.函数符号y=f（x）表示“y是x的函数”，有时简记作函数f（x）.
9、分段函数：
在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
如
2x1x0
y2
x3x0
10、求函数的定义域的原则：
（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）
①分式的分母不为零；
如:
y
1,则x10
x1
②偶次方根的被开方数大于或等于零；
如:
y
5x,则5x0
③对数的底数大于０且不等于１；
如:
y
loga（x
2）,则a
0且a1
④对数的真数大于０；
如:
y
loga（x
2）,则x20
⑤指数为０的底不能为零；
如:
y
（m1）x,则m10
11、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）
（1）奇函数满足
（2）偶函数满足
f（x）
f（x）
f（x），奇函数的图象关于原点对称；
f（x），偶函数的图象关于y轴对称；
注：
①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称;②若奇函数在原点有定义,则f（0）0
③根据奇偶性可将函数分为四类：
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）
当x1x2时，都有当x1x2时，都有
f（x1）
f（x1）
f（x2），则
f（x2），则
f（x）在该区间上是增函数，图象从左到右上升；
f（x）在该区间上是减函数，图象从左到右下降。
函数f
（x）在某区间上是增函数或减函数，那么说
f（x）在该区间具有单调性，该区间叫做
单调（增/减）区间13、一元二次方程
ax2
bxc
b
0（a
b2
0）
4ac
（1）求根公式:
x1,2
2a
（2）判别式：
b24ac
（3）0时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。
（4）根与系数的关系——韦达定理:
x1x2
bc
，x1x2
aa
14、二次函数：
一般式y
ax2
bxc（a
0）；两根式y
a（x
x1）（x
x2）（a0）
2
y
b4acbb
（1）顶点坐标为
（,）；
（2）对称轴方程为：
x=；x
2a4a
2a0
（3）当a
0时，图象是开口向上的抛物线，在x=
b
处取得最小值
2a
4acb24a
当a0时，图象是开口向下的抛物线，在x=
b
处取得最大值
2a
4acb2
4a
（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：
0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。
15、函数的零点
使f（x）
0的实数
x0叫做函数的零点。
例如x0
1是函数
f（x）
x21的一个零点。
注：
函数y
fx有零点函数y
fx的图象与x轴有交点方程fx
0有实根
16、函数零点的判定：
如果函数y
fx在区间
a,b
上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f（a）
f（b）
0。
那
么，函数y
fx在区间
a,b
内有零点，即存在c
a,b,使得fc0。
17、分数指数幂（a
m
0,m,nN，且n1）
3
1
3m
m
11
（1）an
nam.如
x3x2；
（2）an
an
.如
namx3
x2；（3）（na）na；
nnnna,a0
（4）当n为奇数时，
aa；当n为偶数时，
a|a|
.
a,a0
srs
rsr
18、有理指数幂的运算性质（a0,r,sQ）
（1）aras
ar；
（2）（a）
a；（3）（ab）
arbr
19、指数函数y
ax（a
0且a
1），其中x是自变量，a叫做底数，定义域是R
a1
y
图
象1x
0
0a1
y
1
x
（1）定义域：
R0
性
（2）值域：
（0，+∞）
质（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数
b
20、若a
N，则叫做以为底N的对数。
记作：
logaN
b（a
0,a
1，N0）
其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。
a
注：
指数式与对数式的互化公式：
logNbab
N（a
0,a
1,N0）
21、对数的性质
（1）零和负数没有对数，即
loga
N中N0；
（2）1的对数等于0，即
loga1
0；底数的对数等于1，即logaa1
22、常用对数
lgN
：
以10为底的对数叫做常用对数，记为：
log10
NlgN
自然对数
lnN
：
以e（e=2.71828）为底的对数叫做自然对数，记为：
logeN
lnN
23、对数恒等式：
alogaNN
24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
M
（1）loga（MN）logaM
loga
N;
（2）loga
N
logaM
logaN;
n
（3）logaM
nlogaM
（nR）
（注意公式的逆用）
25、对数的换底公式
logaN
logmN
（a
1,且a
2,m
n
0,且m
1,N
0）.
logma
推论①或logab
1
logb
a；②logamb
n
logab.
m
26、对数函数y
loga
x（a
1
，且a
2
）：
其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是
（0,）
a10a1
y
图像x
01x01
定义域：
（0,∞）
值域：
R
性质
过定点（1，0）
增函数减函数
取值范围
0x>1时，y>0
00
x>1时，y<0
27、指数函数y
ax与对数函数y
loga
x互为反函数；它们图象关于直线
yx对称.
28、幂函数y
x（R），其中x是自变量。
要求掌握
1
1,,1,2,3这五种情况（如下图）
2
29、幂函数y
x的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）当0时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间
[0,
）上是增函数．
（Ⅲ）当0时，幂函数的图象在区间
33
（0,
yx2
）上是减函数．
yx3
2
2yx
11
2
11yx
11yx1
-22
1
-1
-2
-22
1
-22
1
-1
-2
-1
-3
必修2
30、边长为a的等边三角形面积S正
3a2
4
1
31、柱体体积：
V柱＝S底h，锥体体积：
V锥＝S底h3
球表面积公式：
S球
32、四个公理：
4R2，球体积公式：
V
4R3（上述四个公式不要求记忆）
3
①如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
②过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。
④平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。
33、等角定理：
空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补（如图）
123
34、两条直线的位置关系：
共面直线
平行：
（在同一平面内，没有公共点）相交：
（在同一平面内，有一个公共点）
直线与平面的位置关系：
异面直线
：
（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）
（1）直线在平面上；
（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）两个平面的位置关系：
（1）两个平面平行；
（2）两个平面相交
35、直线与平面平行：
定义一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。
判定平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。
性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
36、平面与平面平行：
定义两个平面没有公共点，则这两平面平行。
判定若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
性质①如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。
②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。
37、直线与平面垂直：
定义如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
判定一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
性质①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。
38、平面与平面垂直：
定义两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。
判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
39、三角形的五“心”
（1）O为ABC的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等
（2）O为ABC的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：
1的两段
（3）O为ABC的垂心（各边高的交点）.
（4）O为ABC的内心（各内角平分线的交点）.内心到三边的距离相等
（5）O为ABC的A的旁心（各外角平分线的交点）.
40、直线的斜率：
（1）过A
x1,y1,
Bx2
y2
两点的直线，斜率k
y2y1
x2x1
，（x1
x2）
（2）已知倾斜角为的直线，斜率k
tan（
900）
（3）曲线y
f（x）在点（
x0,y0）处的切线，其斜率k
f（x0）
41、直线位置关系：
已知两直线
l1:
y
k1x
b1,l2:
y
k2x
b2，则
l1//l2
k1k2且b1b2
l1l2
k1k21
特殊情况：
（1）当
k1,k2都不存在时，
l1//l2；
（2）当
k1不存在而k2
0时，
l1l2
42、直线的五种方程：
①点斜式
yy1
k（xx1）
（直线l过点
（x1,y1），斜率为k）．
②斜截式ykxb（直线l在y轴上的截距为b，斜率为k）.
③两点式
yy1
xx1
（直线过两点
（x1
y1
）与（x2
y2
））.
④截距式
y2y1
xy
ab
x2x1
1（a,b分别是直线在x轴和y轴上的截距，均不为0）
⑤一般式
AxByC
0（其中A、B不同时为0）；可化为斜截式：
y
AxC
2
2
BB
43、
（1）平面上两点
A（x1
y1
）,B（x2
y2
）间的距离公式：
|AB|=
（x1
x
）2
（y1
y
）2
（2）空间两点
A（x1
y1
z1
）,B（x2
y2
z2
）距离公式|AB|=
（x1
x）2
（y1
y）2
（z1
z）2
（3）点到直线的距离
d|Ax0
By0C|
（点P（x,y
），直线l：
2
2
AxByC
2
0）.
A2B2
00
44、两条平行直线AxByC1
0与Ax
ByC2
0间的距离公式：
d
C1C2
A2B2
注：
求直线Ax
ByC
0的平行线，可设平行线为
AxBym
0，求出m即得。
45、求两相交直线
46、圆的方程：
A1x
B1yC1
0与A2x
B2yC2
0的交点：
解方程组
A1xA2x
B1yB2y
C10
C20
①圆的标准方程
（xa）2
（yb）2
r2.其中圆心为
（a,b），半径为r
②圆的一般方程
x2y2
DE
DxEyF0.
D2E24F
其中圆心为（
），半径为
22
r，其中D2
2
2
E24F＞0
47、直线Ax
ByC
0与圆的（x
a）2
（yb）2
r位置关系
AaBbC
（1）
（2）
d
d
r
r
相离
相切
0;
0;
其中
d是圆心到直线的距离，且
d
（3）
d
r
相交
0.
A2B2
48、直线与圆相交于
A（x1,y1）,B（x2,y2）两点，求弦AB长度的公式：
（1）|
AB|
2r2d2
（2）|AB|
1k2
（x1
x）2
4x1x2
（结合韦达定理使用），其中k是直线的斜率
2
49、两个圆的位置关系：
设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，
O1O2d
1）d
r1r2
外离4条公切线
;2）d
r1r2
外切3条公切线;
3）r1r2
dr1r2
相交2条公切线
;4）d
r1r2
内切1条公切线;
5）0d
r1r2内含
无公切线
必修③公式表
50、算法：
是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成.
51、程序框图及结构
程序框名称功能
表示一个算法的起始和结束，是任何流程图不
起止框
可少的。
输入、输出框
表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。
处理框
判断框
赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框
内。
判断某一条件是否成立，成立时在出口处标明“是”或“Y”；不成立时标明“否”或“N”。
52、算法的三种基本逻辑结构：
顺序结构、条件结构、循环结构。
53、三种抽样方法的区别与联系
类别共同点各自特点相互联系适用范围
简单随机抽样
从总体中逐个抽取总体中个体数较少
分层抽样
系统抽样
抽取过程中每个个体被抽取的概率相等
将总体分成几层进行抽取
将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分抽取
各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体有差异明显的几部分组成
总体中的个体较多
54、
（1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率/组距）
组数极差组距
，频率
频数样本容量
，小矩形面积
组距频率组距
频率。
（2）数字特征众数：
一组数据中，出现次数最多的数。
中位数：
一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数）。
平均数：
x1xx
x方差:
s2=1[（xx）2
（xx）2
（xx）2
（xx）2]
12n
n
123n
n
标准差：
s
1xx2
1
n
2
x2x
2
xnx
注：
通过标准差或方差可以判断一组数
据的分散程度；其值越小，数据越集中；其值越大，数据越分散。
n
n
xiyi
nxy
回归直线方程：
y?
bx
a，其中b
i1，a
ybx
22
xinx
i1
55、事件的分类：
（1）必然事件：
必然事件是每次试验都一定出现的事件。
P（必然事件）=1
（2）不可能事件：
任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。
P（不可能事件）=0
（3）随机事件：
随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件基本事件：
一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。
56、在n次重复实验中，事件A发生的次数为m，则事件A发生的频率为m/n，当n很大时，m
总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件A的概率。
（概率范围：
0PA1）
57、互斥事件概念：
在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图1）。
如果事件A、B是互斥事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）
58、对立事件（如图2）：
指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。
对立事件性质：
P（A）+P（A）=1，其中A表示事件A的对立事件。
59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：
（1）基本事件个数是有限的；
（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
AB图1
AB
图
（2）
60、设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P（A）公式为
PAA包含的基本事件的个数=m
基本事件的总数n
运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。
在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。
61、几何概型的概率公式：
PA
构成事件A的区域长度（面积或体积）
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）
必修④公式表r
62、终边相同角构成的集合：
|
l
2k,kZ
）l
63、弧度计算公式：
64、扇形面积公式：
S
r
1lr
2
12
r（为弧度）
2
65、三角函数的定义：
已知
Px,y
是的终边上除原点外的任一点
P（x,y）
则sin
y
，cos
r
x
，tan
r
y2
其中r
x
r
y
x2y2）
x
66、三角函数值的符号
++—+—+
———++—
sincostan
67、特殊角的三角函数值：
2353
0
64323462
1
sin0
2
cos13
2
231321
22222
21123
0---
22222
0-1
-10
tan03
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