高中数学常用公式及结论大全.docx

1、高中数学常用公式及结论大全高中数学常用公式及结论大全 (新课标 )必修 11、集合的含义与表示一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。描述法格式为： 元素 |元素的特征 ，例如 x | x5, 且x N2、常用数集及其表示方法（ 1）自然数集 N（又称非负整数集） ： 0、1、 2、3、（ 2）正整数集 N *或 N + ：1、2、 3、（ 3）整数集 Z ： -2、-1、0、1、（ 4）有理数集 Q ： 包含分数、整数、有限小数等（ 5）实数集 R：全体实数的集合（ 6）空集 ：不含任何元素的集合3、

2、元素与集合的关系：属于，不属于例如： a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等（ 1）子集的概念如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B 中的元素， 那么集合 A 叫做集合 B 的子集 (如图 1)，记作 A B 或 B A .若集合 P 中存在元素不是集合 Q 的元素，那么 P 不包含于 Q，B A 或A,B记作 P Q(图 1)（ 2）真子集的概念若集合 A 是集合 B 的子集，且 B 中至少有一个元素不属于 A, 那么集合 A 叫做集合 B 的B A真子集 (如图 2). A B 或 B A .( 图 2)（ 3）集合相等：若集合

3、 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同则称集合 A 等于集合 B, 记作 A=B.A B, B A A B5、重要结论（ 1）传递性：若 AB ， BC ，则 A C（ 2）空 集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集 .6、含有 n 个元素的集合 , 它的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n 1 个；非空子集有 2n 1 个( 即不计空集 ) ；非空的真子集有 2n 2 个.7、集合的运算：交集、并集、补集 A B（ 1）一般地，由所有属于 A 又属于 B 的元素所组成的集合 ,叫做 A,B 的交集记作 A B （读作 A 交 B），即 A B= x| x A，且 x B（ 2）一般

4、地， 对于给定的两个集合 A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合 ,叫做 A,B 的并A B集记作 A B （读作 A 并 B），即 A B= x| x A，或 x B（ 3）若 A 是全集 U 的子集，由 U 中不属于 A 的元素构成的集合，叫做 A 在 U 中的补集，记作CU A,CU Ax | xU, 且x ACU A A注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了 A 的情况。8、映射观点下的函数概念如果 A，B 都是非空的数集， 那么 A 到 B的映射 f ：A B 就叫做 A 到 B 的函数， 记作 y=f(x) ，其中 x A，y B. 原象的集合 A 叫做函数 y=f(x) 的定义

5、域， 象的集合 C（ C B）叫做函数 y=f(x)的值域 . 函数符号 y=f(x) 表示“ y 是 x 的函数”，有时简记作函数 f(x).9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如2x 1 x 0y 2x 3 x 010、求函数的定义域的原则： （解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）分式的分母不为零；如 : y1 ,则x 1 0x 1偶次方根的被开方数大于或等于零；如: y5 x,则5 x 0对数的底数大于且不等于；如: ylog a ( x2), 则a0且a 1对数的真数大于；如: ylog a ( x2), 则x 2 0指数为的底不能为零；如 : y(m 1) x

6、 , 则 m 1 011、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）（ 1）奇函数满足（ 2）偶函数满足f ( x)f ( x)f ( x) ， 奇函数的图象关于原点对称；f (x) ， 偶函数的图象关于 y 轴对称；注：具有奇偶性的函数 ,其定义域关于原点对称 ; 若奇函数在原点有定义 , 则 f (0) 0根据奇偶性可将函数分为四类： 奇函数、 偶函数、 既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）当 x1 x2 时，都有当 x1 x2 时，都有f ( x1 )f ( x1 )f ( x2 ) ，则f (x2 ) ，则f (x) 在该区间上是增函数，图象从左

7、到右上升；f (x) 在该区间上是减函数，图象从左到右下降。函数 f( x) 在某区间上是增函数或减函数，那么说f (x) 在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增 /减）区间 13、一元二次方程ax2bx cb0 (ab 20)4ac（ 1）求根公式 :x1,22a（ 2）判别式：b 2 4ac（ 3） 0 时方程有两个不等实根； 0 时方程有一个实根； 0 时方程无实根。（ 4）根与系数的关系韦达定理 : x1 x2b c， x1 x2a a14、二次函数：一般式 yax2bx c (a0) ； 两根式 ya( xx1 )( xx2 ) (a 0)2yb 4ac b b（ 1）顶点坐标为(

8、, ) ；（ 2）对称轴方程为： x= ； x2 a 4a2a 0（ 3）当 a0 时，图象是开口向上的抛物线，在 x=b处取得最小值2a4 ac b2 4a当 a 0时，图象是开口向下的抛物线，在 x=b处取得最大值2a4ac b 24 a（ 4）二次函数图象与 x 轴的交点个数和判别式 的关系：0 时，有两个交点； 0 时，有一个交点（即顶点） ； 0 时，无交点。15、函数的零点使 f ( x)0 的实数x0 叫做函数的零点。例如 x01 是函数f ( x)x 2 1的一个零点。注：函数 yf x 有零点 函数 yf x 的图象与 x 轴有交点 方程 f x0 有实根16、函数零点的判定

9、：如果函数 yf x 在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有f (a)f (b)0 。那么，函数 yf x 在区间a, b内有零点，即存在 ca, b , 使得f c 0 。17、分数指数幂 （ am0, m, n N ，且 n 1 ）313 mm1 1（ 1） a nn a m . 如x 3 x 2 ； (2) a na n. 如n am x3x 2 ；（ 3） ( n a )n a ；n n n n a, a 0（ 4）当 n 为奇数时，a a ； 当 n 为偶数时，a | a |.a, a 0s r srs r18、有理指数幂的运算性质（ a 0, r , s Q ）（ 1）

10、 a r a sar ； （ 2） (a )a ； （ 3） (ab)a r br19、指数函数 yax （ a0 且 a1），其中 x 是自变量， a 叫做底数，定义域是 Ra 1y图象 1 x00 a 1y1x（ 1）定义域： R 0性 （ 2）值域：（ 0， +）质 （ 3）过定点（ 0， 1），即 x=0 时， y=1（ 4）在 R 上是增函数 （ 4）在 R 上是减函数b20、若 aN ，则 叫做以 为底 N 的对数。记作：log a Nb （ a0, a1 ， N 0 ）其中， a 叫做对数的底数， N 叫做对数的真数。a注：指数式与对数式的互化公式： log N b abN (a

11、0, a1, N 0)21、对数的性质（ 1）零和负数没有对数，即log aN 中 N 0 ；（ 2） 1 的对数等于 0，即log a 10 ； 底数的对数等于 1，即 log a a 122、常用对数lg N：以 10 为底的对数叫做常用对数，记为：log10N lg N自然对数ln N：以 e(e=2.71828 ) 为底的对数叫做自然对数，记为：log e Nln N23、对数恒等式：a log a N N24、对数的运算性质（ a 0， a 1，M 0， N0）M(1)loga (MN ) log a Mlog aN ; (2) log aNlog a Mlog a N ;n(3)

12、loga Mn log a M(n R)（注意公式的逆用）25、对数的换底公式log a Nlog m N( a1, 且 a2, mn0 , 且 m1, N0 ).log m a推论 或 log a b1log ba ； log am bnlog a b .m26、对数函数 ylog ax（ a1，且 a2）：其中， x 是自变量， a 叫做底数， 定义域是(0, )a 1 0 a 1y图像 x0 1 x 0 1定义域： (0, )值域： R性质过定点（ 1， 0）增函数 减函数取值范围0x1 时， y1 时， y00x0x1 时， y027、指数函数 ya x 与对数函数 ylog ax 互

13、为反函数；它们图象关于直线y x 对称 .28、幂函数 yx （ R ），其中 x 是自变量。要求掌握11, ,1,2,3 这五种情况 ( 如下图 )229、幂函数 yx 的性质及图象变化规律：（）所有幂函数在（ 0， +）都有定义，并且图象都过点（ 1， 1）；（）当 0 时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间0,) 上是增函数（）当 0 时，幂函数的图象在区间3 3(0,y x 2) 上是减函数y x322 y x11211 y x11 y x 1-2 21-1-2-2 21-2 21-1-2-1-3必修 230、边长为 a 的等边三角形面积 S正3 a 24131、柱体体积：V柱 S底

14、h ， 锥体体积：V锥 S底 h 3球表面积公式： S球32、四个公理：4 R2 ， 球体积公式： V4 R3 （上述四个公式不要求记忆）3 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 过不在一条直线上 的三点，有且仅有一个平面。 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性） 。33、等角定理：空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补 (如图 )1 2 334、两条直线的位置关系：共面直线平行 ：（在同一平面内，没有公共点） 相交 ：（在同一平面内，有一个公共点）直线与平面的位置关系：异面直

15、线：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）（1）直线在平面上； （ 2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）两个平面的位置关系： （ 1）两个平面平行； （ 2）两个平面相交35、直线与平面平行：定义 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。36、平面与平面平行：定义 两个平面没有公共点，则这两平面平行。判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。性质 如果两个平面平行，则其中一个面内的

16、任一直线与另一个平面平行。 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。37、直线与平面垂直：定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。性质 垂直于同一平面的两条直线平行。两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。38、平面与平面垂直：定义 两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。39、三角形的五“心”（ 1） O 为 AB

17、C 的外心（各边垂直平分线的交点） . 外心到三个顶点的距离相等（ 2） O 为 ABC 的重心（各边中线的交点） . 重心将中线分成 2： 1 的两段（ 3） O 为 ABC 的垂心（各边高的交点） .（ 4） O 为 ABC 的内心（各内角平分线的交点） . 内心到三边的距离相等（ 5） O 为 ABC 的 A 的旁心（各外角平分线的交点） .40、直线的斜率：(1)过 Ax1 , y1 ,B x2, y2两点的直线，斜率 ky2 y1x2 x1，（ x1x2 ）（ 2）已知倾斜角为 的直线，斜率 ktan （900 )（ 3）曲线 yf ( x) 在点（x0 , y0 ) 处的切线，其斜

18、率 kf ( x0 )41、直线位置关系：已知两直线l1 : yk1 xb1 , l 2 : yk2 xb2 ，则l 1 / l 2k1 k 2且b1 b2l 1 l 2k1 k 2 1特殊情况：（1）当k1 , k2 都不存在时，l1 / l 2 ；（ 2）当k1 不存在而 k20 时，l1 l 242、直线的五种方程 ：点斜式y y1k( x x1 )( 直线 l 过点( x1 , y1 ) ，斜率为 k )斜截式 y kx b ( 直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，斜率为 k ).两点式y y1x x1( 直线过两点(x1, y1) 与 ( x2, y2) ).截距式y2 y1x y

19、a bx2 x11 （ a, b 分别是直线在 x 轴和 y 轴上的截距，均不为 0）一般式Ax By C0 (其中 A 、B 不同时为 0) ；可化为斜截式： yA x C22B B43、（ 1）平面上两点A(x1, y1), B(x2, y2) 间的距离公式： |AB|=( x1x) 2( y1y) 2（ 2）空间两点A(x1, y1, z1), B( x2, y2, z2) 距离公式 |AB|=(x1x ) 2( y1y ) 2(z1z )2（ 3）点到直线的距离d | Ax0By0 C |(点 P( x , y) ，直线 l ：22Ax By C20 ).A2 B20 044、两条平行

20、直线 A x By C10 与 A xBy C20 间的距离公式： dC1 C2A 2 B 2注：求直线 A xBy C0 的平行线，可设平行线为A x By m0 ，求出 m 即得。45、求两相交直线46、圆的方程：A 1xB1 y C10 与 A 2 xB2 y C20 的交点：解方程组A 1x A 2 xB1y B2 yC1 0C2 0圆的标准方程( x a) 2( y b)2r 2 . 其中圆心为(a, b) ，半径为 r圆的一般方程x2 y2D EDx Ey F 0 .D 2 E 2 4F其中圆心为 (, ) ，半径为2 2r ，其中 D 222E 2 4 F 047、直线 AxBy

21、 C0 与圆的 ( xa)2( y b) 2r 位置关系Aa Bb C（ 1）（ 2）ddrr相离相切0 ;0 ;其中d 是圆心到直线的距离，且d（ 3）dr相交0 .A2 B 248、直线与圆相交于A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) 两点，求弦 AB 长度的公式： （ 1） |AB |2 r 2 d 2（ 2） | AB |1 k 2( x1x ) 24 x1 x2（结合韦达定理使用） ，其中 k 是直线的斜率249、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r 1，r 2，O1O2 d1） dr1 r2外离 4条公切线; 2 ） dr1 r2外切 3条公

22、切线 ;3） r1 r 2d r1 r2相交 2条公切线; 4 ） dr1 r2内切 1条公切线 ;5） 0 dr1 r2 内含无公切线必修公式表50、算法： 是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤， 这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成 .51、程序框图及结构程序框 名称 功能表示一个算法的起始和结束， 是任何流程图不起止框可少的。输入、输出框表示一个算法输入和输出的信息， 可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框判断框赋值、 计算， 算法中处理数据需要的算式、 公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立， 成立时在出口处标明 “是”或

23、“ Y ”；不成立时标明“否”或“ N ” 。52、算法的三种基本逻辑结构 ： 顺序结构、条件结构、循环结构。53、三种抽样方法的区别与联系类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围简单随机抽样从总体中逐个抽取 总体中个体数较少分层抽样系统抽样抽取过程中每个个体被抽取的概率相等将总体分成几层进行抽取将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分抽取各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样总体有差异明显的几部分组成总体中的个体较多54、（ 1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率 /组距）组数 极差组距， 频率频数样本容量， 小矩形面积组距 频率组距频率 。（ 2

24、）数字特征 众数：一组数据中，出现次数最多的数。中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数） 。平均数： x 1 x xx 方差 :s2 = 1 ( x x) 2( x x)2( x x) 2(x x) 2 1 2 nn1 2 3 nn标准差： s1 x x 21n2x2 x2xn x注：通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度；其值越小，数据越集中；其值越大，数据越分散。nnxi yinxy回归直线方程：y? bxa ，其中 bi 1 ， ay bx2 2xi nxi 155、事件的分类：（ 1）必然事件： 必然事件 是每次试验都一定出现的事件。 P（必然事

25、件） =1（ 2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为 不可能事件 。P（不可能事件） =0（ 3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作 随机事件 ，简称为 事件基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作 基本事件 。56、在 n 次重复实验中，事件 A 发生的次数为 m，则事件 A 发生的频率为 m/n，当 n 很大时， m总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件 A 的概率。（概率范围： 0 P A 1 ）57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图 1）。如果事件 A 、B 是互斥事件，则 P（

26、A+B ） =P（ A ） +P（ B）58、对立事件（如图 2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。对立事件性质： P（ A ） +P（ A ） =1，其中 A 表示事件 A 的对立事件。59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：（ 1）基本事件个数是有限的；（ 2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同A B 图 1A B图（ 2）60 、设一试验有 n 个等可能的基本事件，而事件 A 恰包含其中的 m 个基本事件，则事件 A 的概率 P(A) 公式为P A A包含的基本事件的个数 = m基本事件的总数 n运用互斥事件的概率加法公式时， 首先要判断它们是否

27、互斥， 再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。61、几何概型的概率公式： P A构成事件 A的区域长度 (面积或体积 )试验的全部结果构成的 区域长度 (面积或体积 )必修公式表 r62、终边相同角构成的集合： |l2k , k Z) l63、弧度计算公式：64、扇形面积公式： Sr1 lr21 2r ( 为弧度 )265、三角函数的定义：已知P x, y是 的终边上除原点外的任一点P(x,y)则 siny，cosrx，tanry 2, 其中 rxryx 2 y 2 )x66、三角函数值的符号+ + + + + + sin cos tan67、特殊角的三角函数值：2 3 5 306 4 3 2 3 4 6 21sin 02cos 1 322 3 1 3 2 12 2 2 2 22 1 1 2 30 - - -2 2 2 2 20 -1-1 0tan 0 3