郴州市中考数学试题及答案.docx

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郴州市中考数学试题及答案

2015年湖南省郴州市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）（2015•郴州）2的相反数是（　　）

　A．B．C．﹣2D．2

2．（3分）（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（　　）

　A．﹣6B．6C．﹣9D．9

3．（3分）（2015•郴州）下列计算正确的是（　　）

　A．x3+x=x4B．x2•x3=x5C．（x2）3=x5D．x9÷x3=x3

4．（3分）（2015•郴州）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）

　A．B．C．D．

5．（3分）（2015•郴州）下列图案是轴对称图形的是（　　）

　A．B．C．D．

6．（3分）（2015•郴州）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（　　）

　A．93，96B．96，96C．96，100D．93，100

7．（3分）（2015•郴州）如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）

　A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0

8．（3分）（2015•郴州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）

　A．B．2C．3D．3

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）（2015•郴州）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，00用科学记数法表示为　　　　　　．

10．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为　　　　　　cm2．

11．（3分）（2015•郴州）分解因式：

2a2﹣2=　　　　　　．

12．（3分）（2015•郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是　　　　　　．

13．（3分）（2015•郴州）如图，已知直线m∥m，∠1=100°，则∠2的度数为　　　　　　．

14．（3分）（2015•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为　　　　　　．

15．（3分）（2015•郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　　　　　　．

16．（3分）（2015•郴州）请观察下列等式的规律：

=（1﹣），=（﹣），

=（﹣），=（﹣），

…

则+++…+=　　　　　　．

三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分）

17．（6分）（2015•郴州）计算：

（）﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°．

18．（6分）（2015•郴州）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

19．（6分）（2015•郴州）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的一个交点．

（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；

（2）根据图象直接回答：

在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？

20．（8分）（2015•郴州）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：

A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）这次统计共抽取了　　　　　　本书籍，扇形统计图中的m=　　　　　　，∠α的度数是　　　　　　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．

21．（8分）（2015•郴州）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．

22．（8分）（2015•郴州）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：

≈，≈）

23．（8分）（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？

并说明理由．

24．（10分）（2015•郴州）阅读下面的材料：

如果函数y=f（x）满足：

对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2，

（1）若x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是增函数；

（2）若x1＜x2，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是增函数．

例题：

证明函数f（x）=（x＞0）是减函数．

证明：

假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0

f（x1）﹣f（x2）=﹣==

∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0

∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0

∴＞0，即f（x1）﹣f（x2）＞0

∴f（x1）＞f（x2）

∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．

根据以上材料，解答下面的问题：

（1）函数f（x）=（x＞0），f

（1）==1，f

（2）==．

计算：

f（3）=　　　　　　，f（4）=　　　　　　，猜想f（x）=（x＞0）是　　　　　　函数（填“增”或“减”）；

（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．

25．（10分）（2015•郴州）如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）证明：

四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的▱DEFG？

（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出▱DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

26．（12分）（2015•郴州）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果点P由B点出发沿BC方向向点C匀速运动，同时点Q由A点出发沿AB方向向点B匀速运动，它们的速度均为1cm/s，当P点到达C点时，两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为ts，解答下列问题：

（1）当t为何值时，P，Q两点同时停止运动？

（2）设△PQB的面积为S，当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值；

（3）当△PQB为等腰三角形时，求t的值．

2015年湖南省郴州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）（2015•郴州）2的相反数是（　　）

　A．B．C．﹣2D．2

考点：

相反数．

分析：

根据相反数的概念解答即可．

解答：

解：

2的相反数是﹣2，

故选：

C．

点评：

本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．（3分）（2015•郴州）计算（﹣3）2的结果是（　　）

　A．﹣6B．6C．﹣9D．9

考点：

有理数的乘方．

分析：

根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．

解答：

解：

（﹣3）2=（﹣3）×（﹣3）=9．

故选D．

点评：

本题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．

3．（3分）（2015•郴州）下列计算正确的是（　　）

　A．x3+x=x4B．x2•x3=x5C．（x2）3=x5D．x9÷x3=x3

考点：

同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

分析：

根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．

解答：

解：

A、x3•x=x4，故错误；

B、正确；

C、（x2）3=x6，故错误；

D、x9÷x3=x6，故错误；

故选：

B．

点评：

本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．

4．（3分）（2015•郴州）下列四个几何体中，它们的主视图、左视图、俯视图都是正方形的是（　　）

　A．B．C．D．

考点：

简单几何体的三视图．

分析：

分别分析四个选项的主视图、左视图、俯视图，从而得出都是正方体的几何体．

解答：

解：

A、正方体的主视图、左视图、俯视图都正方形，符合题意；

B、圆柱的主视图、左视图都是矩形、俯视图是圆，不符合题意；

C、圆锥主视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆中间一点，不符合题意；

D、球的主视图、左视图、俯视图都是圆，不符合题意．

故选A．

点评：

本题考查了简单几何体的三视图、学生的思考能力，关键是掌握几何体三种视图的空间想象能力．

5．（3分）（2015•郴州）下列图案是轴对称图形的是（　　）

　A．B．C．D．

考点：

轴对称图形．

分析：

根据轴对称图形的概念对个图形分析判断即可得解．

解答：

解：

A、是轴对称图形，

B、不是轴对称图形，

C、不是轴对称图形，

D、不是轴对称图形，

故选：

A．

点评：

本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

6．（3分）（2015•郴州）某同学在一次期末测试中，七科的成绩分别是92，100，96，93，96，98，95，则这位同学成绩的中位数和众数分别是（　　）

　A．93，96B．96，96C．96，100D．93，100

考点：

众数；中位数．

分析：

找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

解答：

解：

把数据从小到大排列：

92，93，95，96，96，98，100，

位置处于中间的数是：

96，故中位数是96；

次数最多的数是96，故众数是96，

故选：

B．

点评：

此题主要考查了中位数和众数．一些学生往往对概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．

7．（3分）（2015•郴州）如图为一次函数y=kx+b（k≠0）的图象，则下列正确的是（　　）

　A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0

考点：

一次函数图象与系数的关系．

专题：

数形结合．

分析：

根据一次函数经过的象限可得k和b的取值．

解答：

解：

∵一次函数经过二、四象限，

∴k＜0，

∵一次函数与y轴的交于正半轴，

∴b＞0．

故选C．

点评：

考查一次函数的图象与系数的关系的知识；用到的知识点为：

一次函数经过一三象限或二四象限，k＞0或＜0；与y轴交于正半轴，b＞0，交于负半轴，b＜0．

8．（3分）（2015•郴州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB=30°，则EF=（　　）

　A．B．2C．3D．3

考点：

翻折变换（折叠问题）．

分析：

利用翻折变换的性质得出：

∠1=∠2=30°，进而结合锐角三角函数关系求出FE的长．

解答：

解：

如图所示：

由题意可得：

∠1=∠2=30°，则∠3=30°，

可得∠4=∠5=60°，

∵AB=DC=BE=3，

∴tan60°===，

解得：

EF=．

故选：

A．

点评：

此题主要考查了翻折变换的性质以及锐角三角函数关系，得出∠4=∠5=60°是解题关键．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）（2015•郴州）2015年5月在郴州举行的第三届中国（湖南）国际矿物宝石博览会中，成交额高达32亿元，00用科学记数法表示为　×109　．

考点：

科学记数法—表示较大的数．

分析：

用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

解答：

解：

00=×109，

故答案为：

×109

点评：

此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

10．（3分）（2015•郴州）已知圆锥的底面半径是1cm，母线长为3cm，则该圆锥的侧面积为　3π　cm2．

考点：

圆锥的计算．

分析：

圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．

解答：

解：

圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．

故答案为：

3π．

点评：

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．

11．（3分）（2015•郴州）分解因式：

2a2﹣2=　2（a+1）（a﹣1）　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用．

分析：

先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：

解：

2a2﹣2，

=2（a2﹣1），

=2（a+1）（a﹣1）．

点评：

本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12．（3分）（2015•郴州）函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠2　．

考点：

函数自变量的取值范围；分式有意义的条件．

专题：

计算题．

分析：

求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：

分母不为0．

解答：

解：

要使分式有意义，即：

x﹣2≠0，

解得：

x≠2．

故答案为：

x≠2．

点评：

本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：

分式有意义，分母不为0．

13．（3分）（2015•郴州）如图，已知直线m∥m，∠1=100°，则∠2的度数为　80°　．

考点：

平行线的性质．

分析：

根据邻补角定义求出∠3的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数即可．

解答：

解：

如图，

∵∠1=100°，

∴∠3=180°﹣100°=80°，

∵m∥n，

∴∠2=∠3=80°．

故答案为80°．

点评：

本题考查了平行线的性质，找到相应的同位角是解题的关键．

14．（3分）（2015•郴州）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠CAB=40°，则∠ABC的度数为　50°　．

考点：

圆周角定理．

专题：

计算题．

分析：

根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后根据三角形内角和定理计算∠ABC的度数．

解答：

解：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°．

故答案为50°．

点评：

本题考查了圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

15．（3分）（2015•郴州）在m2□6m□9的“□”中任意填上“+”或“﹣”号，所得的代数式为完全平方式的概率为　　．

考点：

列表法与树状图法；完全平方式．

专题：

计算题．

分析：

先画树状图展示所有四种等可能的结果数，再根据完全平方式的定义得到“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，然后根据概率公式求解．

解答：

解：

画树状图为：

共有四种等可能的结果数，其中“++”和“﹣+”能使所得的代数式为完全平方式，

所以所得的代数式为完全平方式的概率==．

故答案为．

点评：

本题考查了列表法或树状图法：

通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了完全平方式．

16．（3分）（2015•郴州）请观察下列等式的规律：

=（1﹣），=（﹣），

=（﹣），=（﹣），

…

则+++…+=　　．

考点：

规律型：

数字的变化类．

分析：

观察算式可知=（﹣）（n为非0自然数），把算式拆分再抵消即可求解．

解答：

解：

+++…+

=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）

=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）

=（1﹣）

=×

=．

故答案为：

．

点评：

考查了规律型：

数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为=（﹣）（n为非0自然数）．

三、解答题（17-19每题6分，20-23每题8分，24-25每题10分，26题12分，共82分）

17．（6分）（2015•郴州）计算：

（）﹣1﹣20150+|﹣|﹣2sin60°．

考点：

实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

专题：

计算题．

分析：

原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

解答：

解：

原式=2﹣1+﹣2×=1．

点评：

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（6分）（2015•郴州）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．

考点：

解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

分析：

先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．

解答：

解：

∵解不等式①得：

x≤，

解不等式②得：

x＞﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1＜x，

在数轴上表示不等式组的解集为：

．

点评：

本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，难度适中．

19．（6分）（2015•郴州）如图，已知点A（1，2）是正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）的一个交点．

（1）求正比例函数及反比例函数的表达式；

（2）根据图象直接回答：

在第一象限内，当x取何值时，y1＜y2？

考点：

反比例函数与一次函数的交点问题．

分析：

（1）利用函数图象上点的坐标性质分别代入解析式求出即可；

（2）利用函数图象，结合交点左侧时y1＜y2．

解答：

解：

（1）将点A（1，2）代入正比例函数y1=kx（k≠0）与反比例函数y2=（m≠0）得，

2=k，m=1×2=2，

故y1=2x（k≠0），反比例函数y2=；

（2）如图所示：

当0＜x＜1时，y1＜y2．

点评：

此题主要考查了一次函数与反比例函数交点，利用数形结合得出是解题关键．

20．（8分）（2015•郴州）郴州市某中学校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共3000本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：

A．艺术类；B．文学类；C．科普类；D．其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）这次统计共抽取了　200　本书籍，扇形统计图中的m=　40　，∠α的度数是　36°　；

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍．

考点：

条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析：

（1）用A的本数÷A所占的百分比，即可得到抽取的本数；用C的本数÷总本数，即可求得m；计算出D的百分比乘以360°，即可得到圆心角的度数；

（2）计算出B的本数，即可补全条形统计图；

（3）根据文学类书籍的百分比，即可解答．

解答：

解：

（1）40÷20%=200（本），80÷200=40%，×360°=36°，

故答案为：

200，40，36°；

（2）B的本数为：

200﹣40﹣80﹣20=60（本），

如图所示：

（3）3000×=900（本）．

答：

估计全校师生共捐赠了900本文学类书籍．

点评：

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（8分）（2015•郴州）自2014年12月启动“绿茵行动，青春聚力”郴州共青林植树活动以来，某单位筹集7000元购买了桂花树和樱花树共30棵，其中购买桂花树花费3000元．已知桂花树比樱花树的单价高50%，求樱花树的单价及棵树．

考点：

分式方程的应用．

分析：

设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，根据购买了桂花树和樱花树共30棵列方程解答即可．

解答：

解：

设樱花树的单价为x元，则桂花树的单价为（1+50%）x元，由题意得

+=30

解得：

x=200

经检验x=200是原方程的解．

则（1+50%）x=300

=20（棵）

答：

樱花树的单价为200元，有20棵．

点评：

此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

22．（8分）（2015•郴州）如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m．求A点到河岸BC的距离．（结果保留整数）（参考数据：

≈，≈）

考点：

解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：

过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．用含x的代数式分别表示BD，CD．再根据BD+CD=BC，列出方程x+x=150，解方程即可．

解答：

解：

过点A作AD⊥BC于点D，设AD=xm．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，

∴BD=AD•tan30°=x．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=45°，

∴CD=AD=x．

∵BD+CD=BC，

∴x+x=150，

∴x=75（3﹣）≈95．

即A点到河岸BC的距离约为95m．

点评：

本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解．

23．（8分）（2015•郴州）如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：

△AOE≌△COF；

（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？

并说明理由．

考点：

平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

分析：

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，由ASA即可得出结论；

（2）由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得