九年级同步第1讲相似形与比例线段教案教学设计导学案.docx

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九年级同步第1讲相似形与比例线段教案教学设计导学案

放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．

比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习．

1、相似形的概念

相似形：

我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形．

2、相似多边形的性质

如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1．

【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同．

（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）

【难度】★

【答案】一定，不一定．

【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论．

【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形．

【例2】在下边的方格图中，分别画出和四边形的一个相似图形．

【难度】★

【答案】略．

【解析】答案不唯一．如图是其中一种．

【总结】考查对于相似图形定义的把握，可以采用全等是特殊的相似画图，若要画比例选段，将各边长分别在横向和纵向等比例分解即可．

【例3】下列给出的图形中，不是相似形的是（）

（A）由同一张底片印出来大小不同的照片

（B）一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片

（C）小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像

（D）五星红旗上的大五角星和小五角星

【难度】★

【答案】C

【解析】哈哈镜反映人像及物件的扭曲面貌，呈现出与原物不同的像，即不是相似形．

【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同．

【例4】下列说法不一定正确的是（）

（A）所有的等边三角形都相似（B）有一个角是的等腰三角形都相似

（C）所有等腰直角三角形都相似（D）所有的直角三角形都相似

【难度】★★

【答案】D

【解析】直角三角形两个锐角角度不固定，形状不一定相同．

【总结】对于三角形而言，只要三角形的角大小都相同，三角形即相似．

【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有（）

（1）两个等腰三角形；

（2）两个直角三角形；（3）两个等腰直角三角形；

（4）两个等边三角形；（5）两个矩形；（6）两个菱形；

（7）两个正方形；（8）两个等腰梯形；（9）两个圆．

（A）3组（B）4组（C）5组（D）6组

【难度】★★

【答案】B

【解析】相似的是（3）（4）（7）（9）

【总结】考查相似图形的特征，形状完全相同，对于三角形来说，三个角大小相等即可，对于其它多边形来说，除了考虑角的大小，还要考虑边的大小对应．

【例6】已知四边形和四边形是相似的图形，并且点与点、点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，已知，，，，，，，求，的长和的度数．

【难度】★★

【答案】．

【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．

有，将代入，求得：

，

根据四边形内角和，可求得：

，相似图形对应角相等可知．

【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．

【例7】如图，和是相似形，顶点、、分别与点、、对应，

已知，，，，，．求、的长和的度数．

【难度】★★

【答案】，．

【解析】相似形形状完全相同，由此相似形各内角对应相等，各边对应成比例．

有，将代入，可求得，根据三角形内角和为180°，可求得：

，

根据相似图形对应角相等可知．

【总结】考查相似图形的定义，注意相应的边角对应关系．

【例8】已知的三边长分别是、、，与其相似的的最大边长是，

求的最小边长．

【难度】★★

【答案】最小边长为9．

【解析】．

【总结】考查三角形三边的对应关系，两个相似三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边．

【例9】已知甲、乙两个三角形相似，甲三角形的三边长分别为、、，乙三角形其中

一边的长为，求乙三角形的另外两边的长．

【难度】★★★

【答案】3，4或，或1，．

【解析】分类讨论．

（1）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对

应比值为，则另两边长分别为；

（2）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为6的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为；（3）乙三角形中边长为2的边对应甲三角形中边长为4的边时，边长对应比值为，则另两边长分别为．

【总结】三角形中，注意三边的对应关系，对题目指代不明确的，需进行分类讨论．

【例10】如图，矩形中，，线段，在上取一点，分别以、

为一边作矩形、矩形，使矩形与矩形相似，且点与点、点与点，点与点，点与点分别是对应顶点，令．求出矩形的面积与的函数关系式．

【难度】★★★

【答案】．

【解析】根据矩形与矩形相似，可对应得

，因此，进而可求得：

．

【总结】考查简单的函数对应关系，找准线段关系即可进行准确表示相关结果．

1、比和比例

一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）；

如果（或），那么就说、、、成比例．

2、比例的性质

（1）基本性质：

如果，那么；

如果，那么，，．

（2）合比性质：

如果，那么；

如果，那么．

（3）等比性质：

如果，那么．

【例11】下列各组线段中，成比例的一组是（）

（A），，，（B），，，

（C），，，（D），，，

【难度】★

【答案】A

【解析】只有A选项满足可知其成比例．

【总结】考查成比例的定义，根据比例的基本性质即可确定．

【例12】

（1）求，，的第四比例项；

（2）若，，的第四比例项是，求．

【难度】★

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）根据比例的基本性质可得第四比例项=；

（2）依题意有，根据比例的基本性质，整理得，

解得．

【总结】考查比例的基本性质和比例中相关定义．

【例13】

（1）是和的比例中项，则；

（2）是和的比例中项，则；

（3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是．

【难度】★

【答案】

（1）；

（2）；（3）．

【解析】

（1）由题意可知，由此，；

（2）由题意可知，可解得；

（3）、都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为

【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．

【例14】

（1）若，则；

（2）若，则；

（3）若，则．

【难度】★★

【答案】

（1）；

（2）；（3）．

【解析】

（1）根据比例的合比性，；

（2）由，可得，原式=；

（3）由，可得，原式=．

【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算．

【例15】

（1）已知：

，求的值；

（2）已知：

，求的值；

（3）已知：

，求的值．

【难度】★★

【答案】

（1）；

（2）26；（3）11．

【解析】

（1）令，得，原式=；

（2）令，得，原式=；

（3）令，得，原式=．

【总结】考查换元思想，也可采用【例14】确定单位“1”的思想．

【例16】设线段、、满足，求、、的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】由

（1）可得，再结合

（2），可得：

，由此可得到，结合

（2）式可解得．

【总结】考查比例的等比性质的应用．

【例17】设，求的值．

【难度】★★

【答案】0．

【解析】根据分式基本性质，得，

令，则有，，，三式相加，即得．

【总结】考查比例的性质的综合应用．

【例18】若，求的值．

【难度】★★★

【答案】6或．

【解析】

（1）时，根据比例的等比性；

（2）时，可得，则．

【总结】考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行分类讨论．

【例19】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？

【难度】★★★

【答案】三、四．

【解析】

（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数经过一、三、四象限；

（2）时，可得，则，此时一次函数经过二、三、

四象限；

综上所述，函数必经过三、四象限．

【总结】考查比例的等比性质，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．

1、比例线段的概念

对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段．

2、黄金分割

如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数．

【例20】在比例尺为的地图上，量得与两地的距离是厘米，则与两地

的实际距离是．

【难度】★

【答案】．

【解析】实际距离=图上距离÷比例尺，可知两地实际距离为

，注意单位的转化．

【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化．

【例21】东海大桥全长千米，如果东海大桥在某张地图上的长为厘米，则这张地图

的比例尺是（）

（A）（B）（C）（D）

【难度】★

【答案】B

【解析】比例尺=图上距离÷实际距离，比例尺=．

【总结】考查比例尺的定义，注意单位的换算．

【例22】

（1）若，，则；

（2）若，，则；

（3）若，，则．

【难度】★

【答案】

（1）2:

15；

（2）4:

1；（3）．

【解析】

（1）；

（2）；（3）．

【总结】考查比例的化简计算，注意比例中的项带有单位时，注意单位的统一．

【例23】小智发现自己的数学辅导书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为厘米，

则它的宽约为．（精确到百分位）

【难度】★

【答案】．

【解析】这本书的宽约为．

【总结】考查黄金比的定义及其相关比值．

【例24】如图，已知在四边形中，点、分别在、上，．

求证：

（1）；

（2）．

【难度】★

【答案】略．

【解析】证明：

（1），

．

根据比例的合比性质，，．

根据比例的合比性质，，即．

根据比例的合比性质，．

【总结】考查比例的合比性质的应用．

【例25】如果和面积相等，且，那么边与边上的

高的比为（）

（A）（B）（C）（D）

【难度】★

【答案】B

【解析】面积相等的条件下，高与底边成反比，可知高之比为．

【总结】考查成反比的相关计算．

【例26】已知有三条线段的长分别为，，的线段，请再添一条线段，使这四

条线段成比例，求所添线段的长度．

【难度】★★

【答案】或或．

【解析】设添加的线段长度为，将当作一个比例外项，根据比例的基本性质有：

（1）对应的外项是时，；

（2）对应的外项是时，；

（3）对应的外项是时，

【总结】考查比例的计算，在顺序不确定的情况下，必须进行分类讨论．

【例27】在中，点、分别在边、上，且，

则，若的周长为厘米，则的周长为厘米．

【难度】★★

【答案】

（1）3；

（2）120．

【解析】

（1）由，可得，即，

故，；

（2）根据比例的等比性，，

即，

代入求得．

【总结】考查比例的合比性和等比性的综合应用．

【例28】如图，在梯形中，//，对角线、相交于点．

（1）图中有哪几对三角形的面积相等？

为什么？

（2）求证：

．

【难度】★★

【答案】

（1），，

，同底等高，减去公共部分面积相等；

（2）略．

【解析】

（1），，同底等高，故，

即；

（2）证明：

和同高，．

同理，又，．

【总结】考查梯形中的面积相等，基本图形面积的计算，等高条件下面积之比等于其高之比．

【例29】如图，在中，，垂足为，是边上的一点，，

垂足为，，求的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】，．

又，，//．

，．

即，

．

，即．

【总结】考查等高或同高三角形面积之比等于其底边之比．

【例30】已知线段的长度为，点P在线段上，，求线段的长．

【难度】★★

【答案】．

【解析】根据题意，即有，解得，点是黄金分割点．

【总结】考查黄金分割点的定义．

【例31】

（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长；

（2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值．

【难度】★★

【答案】

（1）；

（2）或．

【解析】

（1）根据黄金分割点定义，且，可知，此时

；

（2）线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和，

故或．

【总结】注意黄金分割点和黄金分割的区别，一条线段的黄金分割点有两个，满足黄金分割黄金比的只有一个．

【例32】如图，乐器上的一根弦厘米，两个端点、固定在乐器面板上，支撑点

是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，求的长．

【难度】★★

【答案】．

【解析】根据黄金分割点定义，知，故，

，得．

【总结】考查线段的黄金分割点有两个．

【例33】如图，在矩形中截取正方形，已知是和的比例中项，

，求的长．

【难度】★★

【答案】2．

【解析】由，

即，

可得，代入即得．

【总结】考查黄金比的综合应用．

【例34】如图，以长为的线段为边作正方形，取的中点，连接．

在的延长线上取点，使．以为边作正方形，点在上．

（1）求线段、的长；

（2）求证：

；

（3）请指出图中的黄金分割点．

【难度】★★★

【答案】

（1），；

（2）略；

（3）是线段的黄金分割点，是线段的黄金分割点

【解析】

（1）是的中点，，可知，根据勾股定理得：

，则，，；

（2）证明：

，即证；

（3）根据定义可知是线段的黄金分割点，类似的，我们可以得到，

可知是线段的黄金分割点．

【总结】考查黄金比的综合应用，黄金分割题目中容易出现别的黄金分割．

【习题1】对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）

（A）图形中线段的长度与角的大小都保持不变

（B）图形中线段的长度与角的大小都会改变

（C）图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变

（D）图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变

【难度】★

【答案】D

【解析】根据相似形的定义，在缩放的过程中，图形始终保持与原图形相似，可知其线段长

度可以改变，角度保持不变．

【总结】考查相似的定义．

【习题2】在下图中，画出四边形的相似四边形，使．

【难度】★

【答案】略

【解析】如图即为所示．

【总结】注意把握好相似图形的定义，形状完全相同，各对应边比例相等，在不能计算的情况下将图形分别在横向和纵向进行分解即可．

【习题3】已知：

、、、是四条线段，它们的长度分别是，，，

，它们是不是成比例线段？

【难度】★

【答案】是

【解析】将线段长度单位都转化为，，

由，可知线段、、、是成比例线段．

【总结】讨论成比例线段时要注意单位的统一性．

【习题4】已知甲、乙两地之间的距离为千米，画在一张地图上的距离为厘米，那么在

这张地图上量得的距离为厘米的、两地的实际距离为千米．

【难度】★

【答案】4．

【解析】同一张地图上比例尺相等，则有，可得．

【总结】考查应用比例尺的定义，比例尺=图上距离÷实际距离，公式转化应用．

【习题5】已知点是边上一点，且与是相似形，点、、分别与点

、、对应，，求的值．

【难度】★★

【答案】．

【解析】依题意可得，则，，，

故．

【总结】考查相似形的对应关系．

【习题6】若，则．

【难度】★★

【答案】．

【解析】根据比例的基本性质，，去括号得，移项，

得，故．

【总结】考查比例的基本性质．

【习题7】直线上顺次有四点、、、，且，则；．

【难度】★★

【答案】，．

【解析】，得，，得，

即得，故，则，．

【总结】学会根据比例关系进行线段比例的转化．

【习题8】点是线段的黄金分割点，求的值．

【难度】★★★

【答案】或．

【解析】根据黄金分割点的定义，，即，两边同时除以

，可解得=；或，类似的可得=．

【总结】注意线段的黄金分割点有两个．

【作业1】举出日常生活中相似的图形的实例．

【难度】★

【答案】答案不唯一．例：

镜子中的虚像和人体的实像．

【解析】考查相似图形的特征是形状完全相同的图形．

【总结】考查相似图形的特征，注意多观察．

【作业2】若，则．

【难度】★

【答案】2．

【解析】根据，由比例的基本性质，则有，整理

得：

，故．

【总结】考查比例的基本性质．

【作业3】下列各组四边形中是相似多边形的是（）

（A）一组邻边为厘米和厘米与一组邻边为厘米和厘米的矩形

（B）有一个内角为的两个菱形

（C）边长分别为厘米和厘米的两个菱形

（D）两个高相等的等腰梯形

【难度】★★

【答案】B

【解析】菱形一个内角确定，则每个内角都可以确定下来，同时，菱形四边相等，对应成比

例，可知B选项正确；A选项边不对应成比例，C选项菱形有不稳定性，形状不固定，D选项等腰梯形形状不固定．

【总结】考查相似图形的特征．

【作业4】已知的三边长分别是、、，与其相似的的最小边长是，

求的周长．

【难度】★★

【答案】45．

【解析】两三角形对应相似，则必有最短边对应最短边，最长边对应最长边，即中边

长为4的边对应中边长为12的边，根据比例的等比性，可以得到

，由，可得．

【总结】实际上，根据比例的等比性可知相似三角形周长比等于对应边之比．

【作业5】，，，求线段、、的第四比例项．

【难度】★★

【答案】．

【解析】将单位都转化为，则，根据比例的基本性质，，

可知线段、、的第四比例项．

【总结】成比例线段问题中注意单位的统一．

【作业6】舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金

分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走米．

【难度】★★

【答案】或．

【解析】注意线段的黄金分割点有两个，黄金比为，主持人需走的路程为

；另一个比例则为，主持人需走的路程为．

【总结】注意线段的黄金分割点有两个，与黄金比是不同的含义．

【作业7】若，求直线经过的象限．

【难度】★★★

【答案】一、二、三或二、三、四．

【解析】

（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数经过一、二、三象限；

（2）时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限．

【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论，同时考查一次函数所在象限与系数的关联．

【作业8】已知、、是非零实数，且满足,

求的值．

【难度】★★★

【答案】8或．

【解析】设．

（1）当时，根据比例的等比性，

此时有，

可得，

代入所求代数式，可得：

；

（2）当时，可得，，，

代入所求代数式，可得：

．

【总结】考查比例的等比性，注意根据分母是否为0分类讨论．