湖南省届高三上学期第一次月考开学考试数学文试题及答案解析.docx

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湖南省届高三上学期第一次月考开学考试数学文试题及答案解析

湖南省2020届高三上学期第一次月考（开学考试）

数学（文）试题

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2.复数满足（为虚数单位），则复数的虚部为（）

A．B．C．D．

3.已知，则（）

A．B．C．D．

4.某家具厂的原材料费支出（单位：

万元）与销售额（单位：

万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为（）

A．B．C．D．

5.已知向量，，则（）

A．B．C．D．

6.执行如图所示的程序框图输出的结果是（）

A．B．C．D．

7.已知曲线：

，：

，则下面结论正确的是（）

A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

D．把上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

8.曲线在点处的切线方程是（）

A．B．

C．D．

9.平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的体积为（）

A．B．C．D．

10.已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

11.已知四棱锥的三视图如图所示，则围成四棱锥的五个面中的最大面积是（）

A．B．C．D．

12.已知是抛物线：

的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（）

A．B．C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，满足，则的最大值为．

14.若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为．

15.在中，面积，则角的大小为．

16.已知函数在区间上存在零点，则．

三、解答题：

本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必需作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：

共60分.

17.等比数列中，已知，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，分别为等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和.

18.已知四棱锥中，底面是边长为的正方形，，，为的中点.

（1）求证：

平面；

（2）求三棱锥的体积.

19.某家电公司销售部门共有名销售员，每年部门对每名销售员都有万元的年度销售任务.已知这名销售员去年完成的销售额都在区间（单位：

百万元）内，现将其分成组，第组、第组、第组、第组、第组对应的区间分别为，，，，，并绘制出如下的频率分布直方图.

（1）求的值，并计算完成年度任务的人数；

（2）用分层抽样的方法从这名销售员中抽取容量为的样本，求这组分别应抽取的人数；

（3）现从

（2）中完成年度任务的销售员中随机选取名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的名销售员在同一组的概率.

20.过椭圆：

的右焦点的直线交椭圆于，两点，为其左焦点，已知的周长为，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的下顶点，椭圆与直线相交于不同的两点、.当时，求实数的值.

21.已知函数.

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.

（二）选考题：

共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.

（1）分别写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；

（2）若直线与圆相切，求实数的值.

23.选修4-5：

不等式选讲

设函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若在上恒成立，求的取值范围.

数学（文科）参考答案

一、选择题

1-5:

DBCAD6-10:

ABDAC11、12：

CB

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.【解析】

（1）设的公比为由已知得，解得，所以.

（2）由

（1）得，，则，，

设的公差为，则有，解得，

从而.

所以数列的前项和.

18.【解析】

（1）∵底面是正方形，∴，又，

∴，

∵，，∴，

∴，又，∴平面.

（2）∵，且，∴平面，

又平面，∴平面平面，

过作于，则平面，

∴为三棱锥的高，∴.

19.【解析】

（1）∵，∴，

完成年度任务的人数为.

（2）第组应抽取的人数为，

第组应抽取的人数为，

第组应抽取的人数为，

第组应抽取的人数为，

第组应抽取的人数为.

（3）在

（2）中完成年度任务的销售员中，第组有人，记这人分别为，，；第组有人，记这人分别为，，；

从这人中随机选取名，所有的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，共有个基本事件.

获得此奖励的名销售员在同一组的基本事件有个，

故所求概率为.

20.【解析】

（1）由椭圆定义知，，，由得，，

所以椭圆的方程为.

（2）由方程组，

设，，的中点为，则.

∴，，∴，

由得，又，

∴，∴.

满足.综上.

21.【解析】

（1），，令，得，

所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以当时，取得最小值为.

（2）当时，，，

若在上单调递增，则恒成立，即：

，

，；

当时，，在上是单调递增的，

又在上单调递增，所以在上恒成立.

，.综上：

.

22.【解析】

（1）直线的直角坐标系方程是，

圆的直角坐标方程是.

（2）由

（1）知圆心为，半径，

设圆心到直线的距离为，因为直线与圆相切，

所以，解得.

23.【解析】

（1）当时，不等式，

当时，，解得；

当时，，无解；

当时，，解得，

综上所述，不等式的解集为.

（2），

∴，解得或，

即的取值范围是.