圆的内接四边形九年级数学教案模板.docx

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圆的内接四边形九年级数学教案模板

圆的内接四边形_九年级数学教案_模板

1.知识结构

　　2.重点、难点分析

　　重点：

圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．

　　难点：

定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的

　　外角和它的内对角的相互对应位置．

　　3.教法建议

　　本节内容需要一个课时．

（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究；

（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法．

一、教学目标：

（一）知识目标

（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；

（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；

　　（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．

（二）能力目标

（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；

（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；

　　（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．

　　（三）情感目标

（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；

（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．

　　二、教学重点和难点:

　　重点：

圆内接四边形的性质定理．

　　难点：

定理的灵活运用．

　　三、教学过程设计

（一）基本概念

　　如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．

（二）创设研究情境

　　问题：

一般的圆内接四边形具有什么性质？

　　研究：

圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）

　　教师组织、引导学生研究．

　　1、边的性质：

（1）矩形：

对边相等，对边平行．

（2）正方形：

对边相等，对边平行，邻边相等．

　　（3）等腰梯形：

两腰相等，有一组对边平行．

　　归纳：

圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．

　　2、角的关系

　　猜想：

圆内接四边形的对角互补．

　（三）证明猜想

　　教师引导学生证明．（参看思路）

　　思路1：

在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢?

　　∠A=，∠C=

　　∴∠A+∠C=

　　思路2：

在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢?

　　这时有2（α+β+γ+δ）=360°

　　所以 α+β+γ+δ=180°

　　而   β+γ=∠A，α+δ=∠C，

　　∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补．

　　（四）性质及应用

　　定理：

圆的内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．

　　（对A层学生应知，逆定理成立，4点共圆）

　　例 已知：

如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．

　　求证：

CE∥DF．

　　（分析与证明学生自主完成）

　　说明：

①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．

　　②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新．

　　巩固练习：

教材P98中1、2．

　　（五）小结

　　知识：

圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质．

　　思想方法：

①“特殊——一般”研究问题的方法；②构造圆内接四边形；③一题多解，一题多变．

　　（六）作业：

教材P101中15、16、17题；教材P102中B组5题．

探究活动

　　问题：

已知，点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E．试问：

当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状？

说明理由．

　　分析 要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变．

　　提示：

分两种情况

（1）当点D在⊙O外时．证明△CDE∽△CAD’即可

（2）当点D在⊙O内时．利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可

　　说明：

（1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换；

（2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法；

　　（3）一般地，有时对几种不同位置图形探索得到相同结论，但不同位置的证明方法不同时，也要进行分类讨论．本题中，如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时，

△CDE仍然是等腰三角形．

九年级第三章 平行四边形回顾与思考

一、教学目标

１、认识特殊四边形之间的关系，并能证明它们的性质定理和判定定理；+

２、应用所得的结论通过计算和证明解决一些问题；

３、通过证明使学生对证明的必要性有进一步的认识

4、通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5、通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

二、教学重点、难点和疑点

1.重点：

应用所得的结论通过计算和证明解决一些问题；

2.难点：

特殊四边形之间的关系及性质，利用所得的结论通过计算和证明解决一些问题；

3.疑点：

平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的共性，特性及从属关系（可以通过列表、画图，简单的关系图，举反例等来说明）。

三、教学方法

归纳法，边讲边练法。

四、教学手段

投影。

五、教学过程：

（一）、学生完成下列填空：

特殊四边形的联系与区别：

边

角

对角线

平行四边形

对边平行且相等

对角相等

邻角互补

对角线互相平分

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

对角线互相平分且相等

菱形

对边平行且四

条边都相等

对角相等

对角线互相垂直平分，

 每条对角线平分一组对角

正方形

对边平行且四

条边都相等

四个角都是直角

对角线互相平分且相等

     每条对角线平分一组对角

（二）  讲解新课

1、回顾本章主要内容

本章内容：

                   矩形的性质与判定

平行四边形的性质与判定                                 正方形的性质与判定

                            菱形的性质与判定

等腰梯形的性质与判定

三角形中位线的性质

夹在两条平行线之间的平行线相等

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

练习1：

（投影）

（1）.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=40°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=_____.

（2）菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为___________，面积为____________.

（3）矩形ABCD对角线夹角为60°,AB=2cm则对角线长为   ，矩形面积为         ；

（4）依次连接任意四边形四条边的中点所构成四边形是         ，当四边形是                    （图形）时，新的四边形是菱形

2、四边形的性质与判定

             角：

                                       角：

性质         边：

                          判定        边：

           对角线：

                              对角线：

1）通过从角，边，对角线三方面.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义和它们的特殊性质，以及它们的联系与区别。

2）通过图表进一步.说明平行四边形，矩形，菱形，正方形的内在联系。

3、性质定理与判定定理的应用：

                                   （例题图1）

例：

如图1，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与两边AB，CD的延长线分别交于E、F，请你猜一猜，得到新的四边形AECF是什么样的四边形？

并证明你的结论。

（三）巩固练习：

练习2 计算与证明题：

１）、如图2，在　ABCD中，已知AB＝４cm,

BC=9cm,∠B=30°，求　ABCD的面积。

2）、如图3，在正方形ABCD中                  

∠ACD的平分线CF交AD于点F，

EF⊥AC于点E，

①请你猜一猜线段DF与AE是什么关系？

证明你的结论。

②当EF=2cm时，求正方形的边长。

练习3    拓展                           

（3）如图4，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F。

求证：

OE=OF

变式：

对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，且交EB的延长于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图5），则结论“OE=OF”还成立吗？

如果成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。

（4）如图6，四边形ＡＢＣＤ中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD,DP⊥AB于点P,若四边形ABCD的面积是１８，求DP的长。

小明想了个办法：

沿着DP将△ADP剪下来，补到△CDF处，这时PDFB恰好为一个正方形。

①你能证明它是一个正方形吗？

②你能求DP的长吗？

（四）小结：

（1）特殊四边形我们要从角，边，对角线的变化上认识其特殊性和内在联系

（2）四边形的问题通过添加适当的辅助线转化为三角形问题解决。

+

（五）作业：

59页6、7、8题，伴你学45页~46页。

九年级第三章 平行四边形回顾与思考

一、教学目标

１、认识特殊四边形之间的关系，并能证明它们的性质定理和判定定理；+

２、应用所得的结论通过计算和证明解决一些问题；

３、通过证明使学生对证明的必要性有进一步的认识

4、通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5、通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

二、教学重点、难点和疑点

1.重点：

应用所得的结论通过计算和证明解决一些问题；

2.难点：

特殊四边形之间的关系及性质，利用所得的结论通过计算和证明解决一些问题；

3.疑点：

平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的共性，特性及从属关系（可以通过列表、画图，简单的关系图，举反例等来说明）。

三、教学方法

归纳法，边讲边练法。

四、教学手段

投影。

五、教学过程：

（一）、学生完成下列填空：

特殊四边形的联系与区别：

边

角

对角线

平行四边形

对边平行且相等

对角相等

邻角互补

对角线互相平分

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

对角线互相平分且相等

菱形

对边平行且四

条边都相等

对角相等

对角线互相垂直平分，

 每条对角线平分一组对角

正方形

对边平行且四

条边都相等

四个角都是直角

对角线互相平分且相等

     每条对角线平分一组对角

（二）  讲解新课

1、回顾本章主要内容

本章内容：

                   矩形的性质与判定

平行四边形的性质与判定                                 正方形的性质与判定

                            菱形的性质与判定

等腰梯形的性质与判定

三角形中位线的性质

夹在两条平行线之间的平行线相等

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

练习1：

（投影）

（1）.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=40°，则∠A=_____，∠C=_____，∠D=_____.

（2）菱形的对角线长分别为24和10，则此菱形的周长为___________，面积为____________.

（3）矩形ABCD对角线夹角为60°,AB=2cm则对角线长为   ，矩形面积为         ；

（4）依次连接任意四边形四条边的中点所构成四边形是         ，当四边形是                    （图形）时，新的四边形是菱形

2、四边形的性质与判定

             角：

                                       角：

性质         边：

                          判定        边：

           对角线：

                              对角线：

1）通过从角，边，对角线三方面.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义和它们的特殊性质，以及它们的联系与区别。

2）通过图表进一步.说明平行四边形，矩形，菱形，正方形的内在联系。

3、性质定理与判定定理的应用：

                                   （例题图1）

例：

如图1，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与两边AB，CD的延长线分别交于E、F，请你猜一猜，得到新的四边形AECF是什么样的四边形？

并证明你的结论。

（三）巩固练习：

练习2 计算与证明题：

１）、如图2，在　ABCD中，已知AB＝４cm,

BC=9cm,∠B=30°，求　ABCD的面积。

2）、如图3，在正方形ABCD中                  

∠ACD的平分线CF交AD于点F，

EF⊥AC于点E，

①请你猜一猜线段DF与AE是什么关系？

证明你的结论。

②当EF=2cm时，求正方形的边长。

练习3    拓展                           

（3）如图4，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交O，E是AC上一点，过点A作AG⊥EB，垂足为G，AG交BD于点F。

求证：

OE=OF

变式：

对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，且交EB的延长于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变（如图5），则结论“OE=OF”还成立吗？

如果成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。

（4）如图6，四边形ＡＢＣＤ中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD,DP⊥AB于点P,若四边形ABCD的面积是１８，求DP的长。

小明想了个办法：

沿着DP将△ADP剪下来，补到△CDF处，这时PDFB恰好为一个正方形。

①你能证明它是一个正方形吗？

②你能求DP的长吗？

（四）小结：

（1）特殊四边形我们要从角，边，对角线的变化上认识其特殊性和内在联系

（2）四边形的问题通过添加适当的辅助线转化为三角形问题解决。

+

（五）作业：

59页6、7、8题，伴你学45页~46页。

第一课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

（一）

　　教学目标：

（1）理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理推论及应用；

（2）培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力；

　　（3）通过教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育，渗透圆的内在美（圆心角、弧、弦、弦心距之间关系），激发学生的求知欲．

　　教学重点、难点：

　　重点：

圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理的推论．

　　难点：

从感性到理性的认识，发现、归纳能力的培养．

　　教学活动设计

　　教学内容设计

（一）圆的对称性和旋转不变性

　　学生动手画圆，对折、观察得出：

圆是轴对称图形和中心对称图形；圆的旋转不变性.

　　引出圆心角和弦心距的概念：

　　圆心角定义：

顶点在圆心的角叫圆心角．

　　弦心距定义：

从圆心到弦的距离叫做弦心距．

（二）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

　　应用电脑动画（实验）观察，在同圆等圆中，圆心角变化时，圆心角所对应的弧、弦、弦心距之间的关系，得出定理的内容.这样既培养学生观察、比较、分析和归纳知识的能力，又可以充分调动学生的学习的积极性.

　　定理：

在同圆等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等．

　　（三）剖析定理得出推论

　　问题1：

定理中去掉“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧、弦、弦心距相等这样的结论.（学生分小组讨论、交流）

　　举出反例：

如图，∠AOB=∠COD，但ABCD，.（强化对定理的理解，培养学生的思维批判性.）

　　问题2、在同圆等圆中，若圆心角所对的弧相等，将又怎样呢？

（学生分小组讨论、交流，老师与学生交流对话），归纳出推论.

　　推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（推论包含了定理，它是定理的拓展）

　　（四）应用、巩固和反思

　　例1、如图，点O是∠EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，求证：

AB=CD.

　　解（略，教材87页）

　　例题拓展：

当P点在圆上或圆内是否还有AB=CD呢？

　　（让学生自主思考，并使图形运动起来，让学生在运动中学习和研究几何问题）

　　练习：

（教材88页练习）

　　1、已知：

如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距，根据本节定理及推论填空：

   ．

（1）如果AB＝CD，那么______，______，______；

（2）如果OE＝OG，那么______，______，______；

　　（3）如果=，那么______，______，______；

　　（4）如果∠AOB＝∠COD，那么______，______，______．

　　（目的：

巩固基础知识）

　　2、（教材88页练习3题，略．定理的简单应用）

　　（五）小结：

学生自己归纳，老师指导．

　　知识：

①圆的对称性和旋转不变性；②圆心角、弧、弦、弦心距之间关系，它反映出在圆中相等量的灵活转换．

　　能力和方法：

①增加了证明角相等、线段相等以及弧相等的新方法；②实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力．

　　（六）作业：

教材P99中1

（1）、2、3．

第二课时圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

（二）

　　教学目标：

（1）理解1°弧的概念，能熟练地应用本节知识进行有关计算；

（2）进一步培养学生自学能力，应用能力和计算能力；

　　（3）通过例题向学生渗透数形结合能力．

　　教学重点、难点：

　　重点：

圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系的应用．

　　难点：

理解1°弧的概念．

　　教学活动设计：

（一）阅读理解

　　学生独立阅读P89中，1°的弧的概念，使学生从感性的认识到理性的认识．

　　理解：

（1）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．

（2）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．

　　（3）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．

（二）概念巩固

　　1、判断题：

（1）等弧的度数相等（）；

（2）圆心角相等所对应的弧相等（）；

　　（3）两条弧的长度相等，则这两条弧所对应的圆心角相等（）

　　2、解得题：

（1）度数是5°的圆心角所对的弧的度数是多少?

为什么?

（2）5°的圆心角对着多少度的弧？

5°的弧对着多少度的圆心角?

　　（3）n°的圆心角对着多少度的弧?

 n°的弧对着多少度的圆心角?

　　（三）疑难解得

　　对于①弧相等；②弧的长度相等；③弧的度数相等；④圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．学生在学习中有疑难的老师要及时解得．

　　特别是对于“圆心角的度数和它们对的弧的度数相等”，一定让学生弄清楚这里说的相等指的是“角与弧的度数”相等，而不是“角与弧”相等，因为角与弧是两个不同的概念，不能比较和度量．

　　（四）应用、归纳、反思

　　例1、如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．

　　学生自主分析，写出解题过程，交流指导．

　　解：

（参看教材P89）

　　注意：

学生往往重视计算结果，而忽略推理和解题步骤的严密性，教师要特别关注和指导．

　　反思：

向学生渗透数形结合的重要的数学思想．所谓数形结合思想就是数与形互相转化，图形带有直观性，数则有精确性，两者有机地结合起来才能较好地完成这个例题．

　　例2、如图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB， =40°，求∠BOD的度数．

　　题目从“分析——解得”让学生积极主动进行，此时教师只需强调解题要规范，书写要准确即可．

　　（解答参考教材P90）

　　题目拓展：

　　1、已知：

如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦CE∥AB，求证：

＝．

　　2、已知：

如上图，已知AB和CD是⊙O的两条直径，弦＝，求证：

CE∥AB．

　　目的：

是培养学生发散思维能力，由学生自己分析证明思路，引导学生思考出不同的方法，最后交流、概括、归纳方法．

　　（五）小节（略）

　　（六）作业：

教材P100中4、5题．

探究活动

　　我们已经研究过：

已知点O是∠BPD的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，则AB=CD；现在，若⊙O与∠EPF的两边所在的直线分别交于点A、B和C、D，请你结合图形，添加一个适当的条件，使OP为∠BPD的平分线.

　　解（略）

　　①AB=CD；

　　②=．（等等）

一、教学目标　　1．使学生理解二次三项式的意义；知道二次三项式的因式分解与一元二次方程的关系；

　　2．使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式；

　　3．通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力；

　　4．通过二次三项式因式分解方法的推导，进一步向学生渗透认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般；

　　5．通过利用一元二次方程根的知识来分解因式，渗透知识间是普遍联系的数学美。

　　二、重点·难点·疑点及解决办法

　　1．教学重点：

用公式法将二次三项式因式分解。

　　2．教学难点：

一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系。

　　3．教学疑点：

一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。

　　4．解决办法：

二次三项式能分解因式

　　二次三项式不能分解

　　二次三项式分解成完