运筹学教案.docx

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运筹学教案

《运筹学》教案

（2014年2月）

授课班级：

2010级农林经济管理

教材：

《运筹学》，熊伟，机械工业出版社

学分：

4学分学时：

64学时

学时安排

学时数

内容

绪论

第1章线性规划建模，图解法，有关概念,单纯形法，单纯形法的计算公式

第2章对偶理论对偶模型，对偶性质，影子价格及经济应用

第3章整数规划

第4章目标规划整数规划模型求解整数规划的分支定界法、割平面法、隐枚举法

第5章运输与指派问题运输与指派问题的数学模型运输问题的表上作业法，指派问题的匈牙利法

第8章动态规划

第12章博弈论

第1次课2学时

授课章节

绪论

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

1.知识目标：

了解运筹学的概况、含义、特点、应用、解题步骤

2.能力目标：

能够将运筹学运用于实际，根据实际问题建立模型并求解，从而解决实际问题。

课堂教学

重点及难点

重点：

运筹学的应用：

市场销售

生产计划

库存管理

运输问题

财政和会计

人事管理

设备维修

工程的优化设计

计算机和信息系统

城市管理

教学过程

一、运筹学概况

到20世纪60年代,除军事方面的应用研究以外,相继在工业、农业、经济和社会问题等各领域都有应用.并形成了运筹学的许多分支。

如数学规划（线性规划、非线性规则、整数规划、目标规划、动态规划、随机规划等）、图论与网络、排队论（随机服务系统理论）、存储论、对策论、决策论、维修更新理论、搜索论、可靠性和质量管理等。

在20世纪50年代中期钱学森、许国志等教授将运筹学由西方引入我国,并结合我国的特点在国内推广应用

二、运筹学的含义

在资源不足的情况下，如何最好地分配资源，为决策者提供最佳解决方案的一门应用性学科。

三、运筹学的特点

是一门以数学为主要工具、寻求各种实际问题最优解决方案的学科；是从系统的角度，用科学方法研究寻求整体行、全局性的最优解决方案；是一门实践性和应用性强烈的学科；是一门多学科交叉的学科；

四、运筹学的应用

市场销售、生产计划、库存管理、运输问题、财政和会计、人事管理、设备维修、工程的优化设计、计算机和信息系统、城市管理。

五、运筹学的解题步骤

①提出问题；②搜集数据、③建立模型；④求解；⑤验证；⑥实施

第2次课2学时

授课章节

第一章

第一节线性规划数学模型

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

掌握线性规划的基本概念、线性规划模型背景和基本建模方法。

课堂教学

重点及难点

重点：

1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子。

2.线性规划数学模型的组成及其特征。

3.线性规划数学模型的一般表达式。

教学过程

1.运筹学与线性规划基本概念（10分钟）

2.应用模型举例（60分钟）

生产计划问题、人员安排问题、合理用料问题、配料问题、投资问题

3.线性规划的一般模型（10分钟）

4.课堂练习（10分钟）

5.课堂小结（5分钟）

6.布置作业

第3次课2学时

授课章节

第一章

第二节图解法第三节线性规划的标准型

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

1.通过图解法求解线性规划问题。

2.通过图解法了解线性规划有几种解的情况。

3.线性规划的标准型

课堂教学

重点及难点

重点：

作图的关键有三点

（1）可行解区域要画正确

（2）梯度方向（目标函数增加的方向）不能画错

（3）目标函数的等值线怎样平行移动

能够将线性规划模型转换为标准型

教学过程

1.结合例题学习图解法（70分钟）

2.图解法步骤：

（1）用决策变量建立直角坐标系；

（2）对于每一个约束条件，先取等式画出直线，然后取一已知点（一般取原点）的坐标代入该直线方程的左边，由其值是否满足约束条件的不等号及该已知点的位置来判断它所在的半平面是否为可行域。

（3）令Z等于任一常数，画出目标函数的直线，平移该直线，直至它与凸多边形可行域最右边的角点相切，切点坐标则为最优解。

3.线性规划问题的标准型（20分钟）

4.课堂小结，布置作业

第4次课2学时

授课章节

第一章

第四节线性规划的有关概念

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

1.掌握线性规划常用的概念：

可行解、基本解、基本可行解、最优解、基本最优解、基、可行基、最优基、凸集、极点（顶点）、凸组合

2.掌握线性规划的三个基本定理。

课堂教学

重点及难点

重点：

基、基变量、基解、基可行解和可行基等概念

难点：

基本解、可行解、基本可行解、基本最优解、最优解的关系；和图形的对应关系

教学过程

1.基、可行解、基本解、基本可行解、最优解、基本最优解、可行基、最优基、凸集、极点（顶点）、凸组合等相关概念（70分钟）

2.结合例题求所有的基、基本解，并指出哪些是基本可行解（20分钟）

3.相关概念和图解法中对应顶点之间的关系（10分钟）

4.课堂小结，布置作业

第5、6次课4学时

授课章节

第一章

第五节单纯形法（普通单纯形法、大M法和两阶段法）

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

掌握单纯形法思想以及具体操作过程

课堂教学

重点及难点

重点：

单纯形法迭代过程：

（1）换入基变量的确定；

（2）换出基变量的确定；（3）判定当前解已经最优

难点：

单纯形法原理

教学过程

1．单纯形法（80分钟）

单纯形数表的构造，要注意代数形式和表格形式的一一对应性。

单纯形法迭代过程：

（1）换入基变量的确定；

（2）换出基变量的确定；（3）判定当前解已经最优。

2．用单纯形法求解时解的判断（20分钟）

唯一最优解的判断：

最优表中所有非基变量的检验数为负,则线性规划具有唯一最优解。

多重最优解的判断:

最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解。

无界解的判断:

某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解。

退化基本可行解的判断:

存在某个基变量为零的基本可行解。

3.大M和两阶段单纯形法（40分钟）

人工变量是过度变量，当原问题有可行解时，人工变量最终会退出基变量。

如果原问题没有可行解，人工变量就不会退出基变量。

4.例题（40分钟）

5.课堂小结、布置作业

第7次课2学时

授课章节

第一章

第五节有关单纯形法的计算公式

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

掌握5个单纯形法的基本公式。

已知基矩阵，能够利用公式计算出我们所需要的结果

课堂教学

重点及难点

重点：

5个单纯形法的基本公式

难点：

公式推导，改进单纯形法

教学过程

1．公式推导过程

2．结合例题能够利用公式计算有关结果

第8次课2学时

授课章节

第一章

第五节退化与循环习题

授课方式

理论课习题课

课堂教学

目的及要求

了解退化的原因，基本可行解中存在基变量等于零时，称为退化基本可行解

课堂教学

重点及难点

重点：

解的退化

教学过程

1.退化与循环（40分钟）

退化解：

按最小比值法确定出基变量时，有时同时出现两个以上的最小值，从而使下一个表的基可行解中出现一个或多个基变量等于零的情况，这种现象称为退化，此时的解称为退化解。

循环：

当存在退化解时，就有可能出现迭代计算的循环（为零的基变量在备选出基变量中，此时迭代后入基变量也将为零，因而迭代前后的目标函数值相等）。

计算出现了循环，如果仍按原定规则迭代，计算永远不会结束。

如P40-例14

出现退化的原因：

模型中存在多余的约束，使多个基础可行解对应同一个极点

2.习题讲解（60分钟）

第9次课2学时

授课章节

第二章对偶理论与灵敏度分析

第一节对偶线性规划模型

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

理解线性规划的对偶问题及其经济意义，掌握原问题和对偶问题模型的对应关系，会写出原问题的对偶问题。

课堂教学

重点及难点

重点：

正确写出原问题的对偶问题

教学过程

1.引例：

（P41）

两个模型的对应关系：

（20分钟）

2.线性规划的规范形式（10分钟）

3.对偶模型（5分钟）

4.对称型对偶关系的一般形式（5分钟）

5.对称型对偶关系的一般形式（三个特点）（10分钟）

非对称型对偶关系

对于非对称型且具有对偶关系的两个PL问题,总结得出：

定理:

互为对偶的两个PL问题,如果原问题中第k个约束条件是等式,则它的对偶规划中的第k个变量无非负限制,反之亦然.

线性规划的原始问题和对偶问题的对应关系可归纳为下表

对偶关系对应表

原始问题

对偶问题

目标函数类型

max

min

目标函数系数与

右边常数项的对应关系

目标函数系数

右边常数项

目标函数系数

变量数与约束数的

对应关系

变量数n

约束数m

约束数n

变量数m

变量类型与

约束类型的对应关系

约束

≤

变量

≥0

无限制

变量

≥0

无限制

约束

≥=

5.原始问题与对偶问题的转换

6.课堂小结，布置作业

第10次课2学时

授课章节

第二章对偶理论与灵敏度分析

第二节对偶问题的性质

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

了解对偶关系的基本性质，并能够利用基本性质求解相关问题

课堂教学

重点及难点

重点：

性质5和性质6可用来已知一个问题的最优解求另一个问题的最优解

教学过程

【性质1】（对称性）对偶问题的对偶是原问题。

（5分钟）

【性质2】（弱对偶性）设X°、Y°分别为LP（max）与DP（min）的可行解，则（10分钟）

由性质2可得到下面几个推论：

推论1:

（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下界；

（DP）任一可行解的目标是（LP）的最优值的上界；

推论2:

在互为对偶的两个问题中，若一个问题具有无界解，则另一个问题无可行解；

推论3:

若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解。

【性质3】（最优性）设X0与Y0分别是（LP）与（DP）的可行解，则X0、Y0是（LP）与（DP）的最优解当且仅当CX0=Y0b（10分钟）

【性质4】（对偶性）若互为对偶的两个问题其中一个有优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。

（20分钟）

由性质4还可推出另一结论：

若（LP）与（DP）都有可行解，则两者都有最优解；若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。

【性质5】（互补松弛定理）X0、Y0分别为（LP）与（DP）的可行解，XS和YS是它的松弛变量的可行解，则X0和Y0是最优解当且仅当YSX0=0和Y0XS=0（30分钟）

性质5表明：

在线性规划的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零。

【性质6】LP（max）的检验数的相反数对应于DP（min）的一组基本解。

其中第j个决策变量xj的检验数的相反数对应于（DP）中第j个松弛变量的解，第i个松弛变量检验数的相反数对应于第i个对偶变量yi的解。

反之，（DP）的检验数（注意：

不乘负号）对应于（LP）的一组基本解。

（20分钟）

课堂小结，布置作业

第11次课2学时

授课章节

第二章对偶理论与灵敏度分析

第二节影子价格

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

了解资源的影子价格在经济分析中的应用

课堂教学

重点及难点

重点：

深刻领会影子价格的含义，学会用影子价格作经济活动分析。

教学过程

1.影子价格（Shadowprice）:

原始线性规划问题考虑的是充分利用现有资源，以产品的数量和单位产品的收益来决定企业的总收益，没有考虑到资源的价格，但实际在构成产品的收益中，不同的资源对收益的贡献也不同，它是企业生产过程中一种隐含的潜在价值，经济学中称为影子价格。

影子价格是对偶问题最优解中决策变量yi的值。

（10分钟）

2.影子价格的经济意义（20分钟）

在最优利用条件下，每单位资源对目标函数的贡献。

是对单位资源所带来的经济效益的一种估计。

影子价格不是资源的实际价格，而是资源配置结构的反映，是根据资源在生产中作出的贡献而作出的估价，是在其它数据相对稳定的条件下某种资源增加一个单位导致的目标函数值的增量变化。

3.影子价格与市场价格的区别（10分钟）

4.利用影子价格可作经济活动分析（20分钟）

5.例题（40分钟）

6.课堂小结，布置作业

第12次课2学时

授课章节

第二章对偶理论与灵敏度分析

第三节对偶单纯形法

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

掌握对偶单纯形法的应用条件和对偶单纯形法求解过程

课堂教学

重点及难点

重点：

1.对偶单纯形法的应用条件；

2.出基与进基的顺序；

3.如何求最小比值；

4.最优解、无可行解的判断。

教学过程

一、对偶单纯形法的原理（15分钟）

LP与DP在求解迭代过程中有三种情形：

结论或继续计算的步骤

可行解

表中解仍为最优解

可行解

非可行解

单纯形法

非可行解

可行解

对偶单纯形法

非可行解

引进人工变量

二、对偶单纯形法求解过程（50分钟）

1．用实例引入：

2．总结对偶单纯形法求解过程：

（1）将线性规划的约束化为等式，取对偶可行基B（全部检验数λj≤0（max）或λj≥0（min），模型为典式）建立初始单纯形表；

（2）检验：

当基本解可行时，即常数项列B-1b≥0,达到最优解；若基本解不可行，即B-1b中有负数，则要进行换基迭代；

（3）换基迭代：

先确定出基变量。

l行对应的变量xl出基，l行称为主行；

再选进基变量。

求最小比值：

θk所在列对应的变量xk出基，第k列称为主列。

若第l行所有元素aij≥0,说明线性规划无可行解；用初等变换将主元素alk化为l，主列的其它元素化为零，得到新的单纯形表；

重复

（2）、（3），直到得出最优解或判断无可行解。

三、课堂练习（30分钟）

四、课堂小结，作业布置（5分钟）

第13、14次课4学时

授课章节

第二章对偶理论与灵敏度分析

第四节灵敏度分析

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

1.知识目标：

理解求解线性规划的单纯形法中灵敏度分析的基本原理；2.能力目标：

分析cj，bi，aij的变化；增加一个变量Xi的分析：

（1）参数在什么范围内变化时，原最优解或最优基不变；

（2）当参数已经变化时，最优解或最优基有何变化。

当模型的参数发生变化后，可以不必对线性规划问题重新求解，而用灵敏度分析方法直接在原线性规划取得的最优结果的基础上进行分析或求解。

课堂教学

重点及难点

重点：

1.注意最优解与最优基不变的区别；

2.掌握某个参数变化后，最优表中哪些数据会发生变化，如何变化；

3.模型发生变化后不是重新求解，而是在原模型的最优表中求出变化后的数据，根据变化条件，选择合适的方法继续计算。

4.了解参数分析的思路。

5.利用WinQSB软件中的修改（Modifyproblem）和PerformParametricAnalysis功能，进行灵敏度分析和参数分析。

难点：

1．灵敏度的基本概念；

2．增加一个变量

的分析。

教学过程

1.举例引入灵敏度（10分钟）

2.举例讲解新课（120分钟）

（1）灵敏度的基本概念；（30分钟）

（2）分析

的变化；（30分钟）

（3）分析

的变化；（30分钟）

（4）增加一个变量

的分析。

（30分钟）

（5）综合例题（30分钟）

3.课堂练习（穿插在例题讲解过程中）

4.课堂小结，布置作业（5分钟）

第15、16次课4学时

授课章节

第三章整数规划

第一节整数规划的数学模型

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

1.知识目标：

掌握整数规划的概念、类型和作用；

2.能力目标：

掌握整数规划的建模方法；

课堂教学

重点及难点

重点：

1.整数规划模型的特征

2.什么是纯（混合）整数规划

3.0－1规划模型的应用

难点：

0-1规划的数学模型

教学过程

1．整数规划的概念、类型和作用（30分钟）

（1）整数规划的数学模型

纯整数规划（IP）：

xj全部取整数

分类混合整数规划（MIP）：

xj部分取整数

0-1整数规划（BIP）：

整数变量只能取0或1

（2）整数规划数学模型的一般形式

松弛问题

每一个整数规划都对应一个松弛问题，整数规划比它的松弛问题约束得更紧。

2．结合例题讲解整数规划的模型建立（120分钟）

例3-1、例3-2、例3-3、例3-4

3.习题（30分钟）

4.课堂小结、作业布置

第17、18次课4学时

授课章节

第三章整数规划

第一节整数规划的求解方法

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

掌握分枝定界法、割平面法、0-1规划的隐枚举法

课堂教学

重点及难点

重点：

整数规划求解方法

教学过程

一、整数规划的求解

整数规划解的特点（20分钟）：

1．整数规划（Ⅰ）的可行解集是其松弛问题（Ⅱ）的可行解集的子集。

线性规划问题的可行解集是一个凸集（稠密的），但整数规划的可行解集不是凸集（离散型）。

2．如果松弛问题（Ⅱ）的最优解是整数解，则一定是整数规划（Ⅰ）的优解。

3．整数规划（Ⅰ）的最优值不会优于松弛问题（Ⅱ）的最优值。

（二）分支定界法（纯整数规划和混合整数规划）（50分钟）

（三）割平面法（纯整数规划）（50分钟）

（四）0-1规划的隐枚举法（30分钟）

课堂小结，布置作业

第19、20次课4学时

授课章节

第四章目标规划

第一节目标规划的数学模型

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

了解目标规划的定义，特点与分类；掌握目标偏差变量的概念和目标规划的模型

课堂教学

重点及难点

重点：

1.目标规划由哪些要素构成，与线性规划有哪些不同之处

2.偏差变量的含义及其作用

3.目标函数的表达方法

4.优先级别的含义

难点：

建立目标规划模型

教学过程

1、目标规划的数学模型特征（40分钟）

（1）对于决策目标来说，它允许一定的偏差，这直接表现为决策变量可以有某种偏差

或

；

为正偏差变量，表示决策超过目标值的部分，

为负偏差变量，表示决策未达到目标值的部分。

考虑到决策值不可能超过同时又未达到目标值，所以，

（2）绝对约束和目标约束

绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束，如线性规划中的约束，不能满足这些条件的即为非可行解。

目标约束则可将右端项视为要达到的目标，但允许发生证或负的偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量。

在线性规划的硬约束中加入正负偏差变量（加上负偏差变量、减去正偏差变量），将符号变为等号就转变为目标约束。

（3）优先因子（优先等级）与权系数

在现实的决策背景下，决策者往往具有多个目标，但这些目标是有主次轻重的不同。

赋予优先因子，规定

，表示

级目标比

级具有绝对的优先权，在优先保证

级目标时可不考虑

级目标。

权系数可区别同级目标中两个目标的差异。

（4）目标规划的目标函数

目标规划的目标函数由各目标约束的正负偏差变量和赋予相应的优先因子构造而成。

当每一目标给定后，决策者的要求是尽可能地缩小偏离目标值。

因此，目标规划的目标函数只能是

，其基本形式有三种：

1要求恰好达到目标值，即正负偏差都要求尽可能地小，此时

②要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差要尽可能地小，即

③要求超过目标值，即超过量不限，就是负偏差要尽可能地小，此时

2.目标规划模型的建立、例题及习题讲解（60分钟）

3、目标函数：

只有min一种，不含决策变量

不同目标的重要程度有两种差别：

绝对差别:

用优先因子Pj表示，P1》P2》…》Pk,即Pl对应的目标绝对优先于Pl+1对应的目标。

相对差别:

具有同一级别优先因子的多个目标，可根据目标的相对重要程度，分别赋予它们不同的权值，以区别不同的偏差变量在同一优先级内的相对重要程度。

目标规划的解：

往往不能满足所有的目标约束，但一定满足系统约束，故称为满意解。

目标规划没有系统约束时，一定存在满意解。

目标规划模型与线性规划模型的区别

第21、22次课4学时

授课章节

第四章目标规划

第二节目标规划的图解法及单纯形法

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

掌握目标规划的规划求解法。

重点要求是图解法。

能够运用WinQSB软件求解目标规划

课堂教学

重点及难点

重点：

目标规划图解法

教学过程

第21次课：

1.目标规划的图解法的思路（20分钟）

首先是在可行域R内寻找一个使P1级各目标均满足的区域R1；

然后再在R1中寻找一个使P2级各目标均满足的区域R2；

接着再在R2中寻找一个满足P3级各目标的区域R3；

如此继续直到寻找到一个区域Rk

满足Pk级各目标，而不保证满足其后的各级目标，这时Rk即为这个目标规划的最优解空间，其中的任一点均为这个目标规划的满意解。

2.例题4-4，4-5（70分钟）

3．总结目标规划图解法步骤（10分钟）

（1）按照绝对约束画出可行域（满足系统约束和决策变量非负的解的集合）；

（2）不考虑正负偏差变量，画出目标约束的边界线，并标出偏差变量变化时的直线平移方向；

（3）按优先级别和权重依次分析各级目标。

第22次课：

1.目标规划单纯形法（30分钟）

单纯形法求解目标规划可参照第1章的步骤，只是目标规划的检验要按优先级顺序逐级进行，不同的是：

（1）首先使得检验数中P1的系数非负，再使得P2的系数非负，依次进行；

（2）（最优解判别准则）当P1、P2、…、Pk对应的系数全部非负时得到满意解；

（3）如果P1，…，Pi行系数非负，而Pi+1行存在负数，并且负数所在列上面P1，…，Pi行中存在正数时，得到满意解，计算结束。

2.习题（70分钟）

第23次课2学时

授课章节

第五章运输与指派问题

第一节运输问题的数学模型及特征

授课方式

理论课

课堂教学

目的及要求

正确理解运输问题的数学模型、解的性质和基的特征；

课堂教学

重点及难点

重点：

具有m个产地n个销地的平衡运输问题

1.具有m+n－1个基变量

2.闭回路的概念

3.怎样判断m+n－1个变量是否构成一组基变量

难点：

不平衡的运输问题

教学过程

一、运输问题的一般数学模型（40分钟）

三种情况（从总产量与总销量是否平衡考虑）

1、

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