等差数列的通项公式.docx

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等差数列的通项公式

等差数列的通项公式

【教学目标】

1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式；掌握等差中项的概念．

2.逐步灵活应用等差数列的概念和通项公式解决问题．

3.通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，渗透由特殊到一般的思想．

【教学重点】

等差数列的概念及其通项公式．

【教学难点】

等差数列通项公式的灵活运用．

【教学方法】

本节课主要采用自主探究式教学方法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．

【教学过程】

环节

教学内容

师生互动

设计意图

导

入

问题某工厂的仓库里堆放一批钢管（参见教材图6-1），共堆放了7层，试从上到下列出每层钢管的数量．

教师出示引例，并提出问题．

学生探究、解答．

希望学生能通过对日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，进行探究、解答问题，体验数学发现和创造的过程．

新

课

新

课

新

课

新

课

新

课

新

课

从上例中，我们得到一个数列，每层钢管数为

4，5，6，7，8，9，10.

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）．

练习一

抢答：

下列数列是否为等差数列？

1，2，4，6，8，10，12，…；

0，1，2，3，4，5，6，…；

3，3，3，3，3，3，3，…；

2，4，7，11，16，…；

－8，－6，－4，0，2，4，…；

3，0，－3，－6，－9，…．

注意：

求公差d一定要用后项减前项，而不能用前项减后项．

2．常数列

特别地，数列

3，3，3，3，3，3，3，…

也是等差数列，它的公差为0．公差为0的数列叫做常数列．

3．等差数列的通项公式

首项是a1，公差是d的等差数列{an}的通项公式可以表示为

an＝a1＋（n－1）d．

4．通项公式的应用

根据这个通项公式，只要已知首项a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an．

事实上，等差数列的通项公式中共有四个变量，知道其中三个，便可求出第四个．

例1求等差数列8，5，2，…的通项公式和第20项．

解因为a1=8，d=5－8=－3，所以这个数列的通项公式是

an=8+（n-1）×（-3），

即an=－3n+11．所以

a20=－3×20+11=-49.

例2等差数列－5，－9，－13，…的第多少项是－401？

解因为a1=－5，而且

d=－9－（－5）=－4，

an=－401，

所以

－401=－5+（n－1）×（－4）．

解得n=100．

即这个数列的第100项是－401．

练习二　

（1）求等差数列3，7，11，…的第4，7，10项．

（2）求等差数列10，8，6，…的第20项．

练习三

在等差数列{an}中：

（1）d=－

，a7=8，求a1；

（2）a1=12，a6=27，求d．

例3在3与7之间插入一个数A，使3，A，7成等差数列，求A．

解因为3，A，7成等差数列，所以

A－3=7－A，2A=3+7．

解得A=5．

5．等差中项的定义

一般地，如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．

6．等差中项公式

如果A是a与b的等差中项，则

A=

．

这就表明，两个数的等差中项就是它们的算术平均数．

7．一个结论

在等差数列a1，a2，a3，…，an，…中，

a2=

，

a3=

，

……

an=

，

……

这就是说，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．

练习四

求下列各组数的等差中项：

（1）732与－136；

（2）

与42．

例4已知一个等差数列的第3项是5，第8项是20，求它的第25项．

解因为a3=5，a8=20，根据通项公式得

整理，得

解此方程组，得a1=－1，d=3．

所以

a25=－1+（25－1）×3=71.

强调：

已知首项a1和公差d，便可求得等差数列的任意项an．

练习五

（1）已知等差数列{an}中，a1=3，an=21，d=2，求n．

（2）已知等差数列{an}中，a4=10，a5=6，求a8和d．

例5梯子的最高一级是33cm，最低一级是89cm，中间还有7级，各级的宽度成等差数列，求中间各级的宽度．

解用{an}表示题中的等差数列．已知a1=33，an=89，n=9，

则a9=33+（9－1）d，即

89=33+8d，

解得d=7．

于是

a2=33+7=40，

a3=40+7=47，

a4=47+7=54，

a5=54+7=61，

a6=61+7=68，

a7=68+7=75，

a8=75+7=82．

即梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm．

例6已知一个直角三角形的三条边的长度成等差数列．求证：

它们的比是3∶4∶5．

证明设这个直角三角形的三边长分别为

a－d，a，a+d．

根据勾股定理，得

（a－d）2+a2=（a+d）2．

解得a=4d．

于是这个直角三角形的三边长是3d，4d，5d，即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5．

师：

请同学们仔细观察，看看这个数列有什么特点？

学生观察、回答．

教师总结特征：

从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）．

我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列．

教师板书定义．

师：

等差数列的例子，在生活中有很多，谁能再举几个？

教师出示题目．

学生思考、抢答．

师：

你能说出练习一中，各等差数列的公差吗？

学生说出各题的公差d．

教师订正并强调求公差应注意的问题．

师：

已知一个等差数列{an}的首项是a1，公差是d，如何求出它的任意项an呢？

学生分组探究，填空，归纳总结通项公式

a2＝a1+d，

a3=+d=+d

=a1+d，

a4=+d=+d

=a1+d，，

……

an=a1+d．

师：

一个等差数列的各项，已知和就可以确定下来？

师：

等差数列的通项公式中共有几个变量？

教师引导学生分析本题，已知什么？

求什么？

怎么求？

学生思考、说出已知、所求，代入通项公式．

强调：

通项公式是用含有n的式子表示an．

学生尝试解答后，师生共同板书解题过程．

仿照例1，教师引导、点拨．

学生解答．

多媒体出示解题过程．

学生核对、订正．

教师强调解题过程要规范、严谨．

学生练习．

请学生在黑板上做题．

教师巡视指导．

师生共同订正．

教师出示例题．

学生同桌之间合作探究．

学生分析解题思路．

教师出示答案，订正．

师：

在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列．你能用a，b来表示A吗？

学生探究、回答．

教师订正学生的回答，给出等差中项的定义和公式．

师：

你能用文字描述一下这个式子的含义吗？

师：

在等差数列1，3，5，7，9，11，13，…中，每相邻的三项，满足等差中项的关系吗？

学生分组合作探究，得出结论．

师：

能将这个结论推广到一般的等差数列中吗？

学生继续分组合作探究．

教师总结学生的回答，给出结论．

学生做练习．

学生回答各题结果，统一订正答案．

教师出示例题．

学生分组合作探究．

教师点拨、引导：

（1）例题给出了哪些量？

如何用数列符号表示？

（2）例题中的所求量是什么？

需要知道哪些条件？

教师总结学生思路，给出解题过程．

学生自主练习．

教师巡视指导．

请个别学生在黑板上做题后，师生共同订正．

教师出示例题．

引导学生将题中的已知和未知转化为用数列符号表示．

学生解答．

教师巡视指导．

教师出示解题过程，强调解题步骤要规范、严谨，叙述要简明、完整．

教师出示例题，提示点拨：

当已知三个数成等差数列时，可将这三个数表示为

a－d，a，a+d，

其中d是公差．由于这样具有对称性，运算时往往容易化简．

学生根据教师的提示，分组探究．

请学生在黑板上做题．

教师引导学生订正解题过程，规范解题步骤．

由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．

在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．

学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．

鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．

通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识．

由特殊到一般，发挥学生的自主性，培养学生的归纳能力．

在学生自主探究的基础上得出定义和公式，更有利于学生理解和运用．

引导学生观察、归纳、猜想，培养学生合理的推理能力．

通过两道直接套用公式的练习题，强化学生对中项公式的掌握．

学生在分组合作探究过程中，可能会找到多种不同的解决办法，教师要逐一点评，并及时肯定、赞扬学生善于动脑、勇于创新的品质，激发学生的创造意识．

鼓励学生自主解答，培养学生运算能力．

通过例题，强化学生对等差数列通项公式的理解，强化学生学以致用的意识．

在例题的教学中，教师要注重引导学生分析题意，教会学生思考问题、解决问题的思路与方法；在解决问题中，将新的知识内化到学生原有的认知结构中去．

小

结

1．等差数列的定义及通项公式．

2.等差中项的定义和公式．

3．等差数列通项公式和中项公式的应用．

学生阅读课本P9～P12，畅谈本节课的收获．

教师引导梳理，总结本节课的知识点和解题方法．

教师鼓励学生积极回答，答不完整没有关系，其它同学补充．以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．

作

业

教材P17，习题第1，2，6题．

学生课后完成．

巩固拓展．

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