圆幂定理讲义带答案解析.docx
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圆幂定理讲义带答案解析
圆幂定理
STEP1:
进门考
理念：
1.检测垂径定理的基本知识点与题型
2.垂径定理典型例题的回顾检测。
3.分析学生圆部分的薄弱环节。
1）例题复习
1.（2015?
夏津县一模）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示
放置，三角板的直角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角
器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．
【考点】M3：
垂径定理的应用；KQ：
勾股定理；T7：
解直角三角形．
【分析】作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E，首先求得CD的长，即OE的长，在直角△AOE中，利用勾股定理求得半径OA的长，则MN即可求解．
解答】
解：
作CD⊥AB于点D，取圆心O，连接OA，作OE⊥AB于点E．
在直角△
ABC中，∠A=30°，则BC=AB=4cm，在直角△BCD中，∠B=90°﹣∠A=60°，
=2（cm），∴OE=CD=2，
在△AOE中，AE=AB=4cm，
∴CD=BC?
sinB=×4
则OA===2（cm），则MN=2OA=4（cm）．故答案是：
4．
【点评】本题考查了垂径定理的应用，在半径或直径、弦长以及弦心距之间的计算中，常用的方法是转化为解直角三角形．
2.
（2017?
阿坝州）如图将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过
【考点】M2：
垂径定理；PB：
翻折变换（折叠问题）．
【分析】通过作辅助线，过点O作OD⊥AB交AB于点D，根据折叠的性质可知OA=2O，D根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长．
【解答】解：
过点O作OD⊥AB交AB于点D，连接OA，
∵OA=2OD=2c，m∴AD===（cm），
点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的运用，正确应用勾股定理是解题关键．
3.（2014?
泸州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）a>3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值
A．4
考点】M2：
垂径定理；F8：
一次函数图象上点的坐标特征；KQ：
勾股定理．
专题】11：
计算题；16：
压轴题．
【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，由于OC=3，PC=a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE=1，则PD=PE=
，所以a=3+．
【解答】解：
作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为（3，3），∴CD=3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴PE=，∴PD=PE=，∴a=3+．故选：
B．
4.（2013?
内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A
13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为
【分析】根据直线y=kx﹣3k+4必过点D（3，4），求出最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案．
【解答】解：
∵直线y=kx﹣3k+4=k（x﹣3）+4，∴k（x﹣3）=y﹣4，
∵k有无数个值，∴x﹣3=0，y﹣4=0，解得x=3，y=4，
∴直线必过点D（3，4），∴最短的弦CB是过点D且与该圆直径垂直的弦，∵点D的坐标是（3，4），∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A（13，0），∴圆的半径为13，∴OB=13，∴BD=12，∴BC的长的最小值为24；故答案为：
24．
【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置．
STEP2:
新课讲解
1、熟练掌握圆幂定理的基本概念。
2、熟悉有关圆幂定理的相关题型，出题形式与解题思路
3、能够用自己的话叙述圆幂定理的概念。
4、通过课上例题，结合课下练习。
掌握此部分的知识。
、相交弦定理
相交弦定理
（1）相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．
几何语言：
若弦AB、CD交于点P，则PA?
PB=PC?
PD（相交弦定理）
（2）推论：
如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
几何语言：
若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA?
PB（相交弦定理推论）
基本题型：
例1】（2014秋?
江阴市期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，若AP=3，
BP=4，CP=2，则CD长为（）
PD=
点评】本题考查了相交线定理，圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
练习1】（2015?
南长区一模）如图，矩形ABCD为⊙O的内接四边形，AB=2，
BC=3，点E为BC上一点，且BE=1，延长AE交⊙O于点F，则线段AF的长为
考点】M7：
相交弦定理．
分析】由矩形的性质和勾股定理求出AE，再由相交弦定理求出EF，即可得出AF的长．解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴AE===，
∵BC=3，BE=1，∴CE=2，由相交弦定理得：
AE?
EF=BE?
C，E
=
=
=
∴AF=AE+EF=；
故选：
A．
相交弦定理；熟练掌握矩形的性质和相交弦定
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理、理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
综合题型
例2】（2004?
福州）如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂
足为N．P、Q分别是、上一点（不与端点重合），如果∠MNP∠=MNQ，
面结论：
①∠1=∠2；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=Q；M⑤
MN2=PN?
Q．N其中正确的是（
A．①②③B．①③⑤C．④⑤D．①②⑤
【考点】M7：
相交弦定理；M2：
垂径定理；M4：
圆心角、弧、弦的关系；M5：
圆周角定理；S9：
相似三角形的判定与性质．
【专题】16：
压轴题．
【分析】根据圆周角定理及已知对各个结论进行分析，从而得到答案．
【解答】解：
延长MN交圆于点W，延长QN交圆于点E，延长PN交圆于点F，连接PE，QF∵∠PNM=∠QNM，MN⊥AB，
∴∠1=∠2（故①正确），
∵∠2与∠ANE是对顶角，
∴∠1=∠ANE，
∵AB是直径，
∴可得PN=EN，
同理NQ=N，F
∵点N是MW的中点，MN?
NW=MN2=PN?
NF=EN?
NQ=PN（?
Q故N⑤正确），
∴MN：
NQ=PN：
MN，
∵∠PNM=∠QNM，
∴△NPM∽△NMQ，
∴∠Q=∠PMN（故③正确）故选B．
点评】本题利用了相交弦定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理求解．
与代数结合的综合题
例3】（2016?
中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB
上，连接DP，交AC于点Q．若QP=Q，O则的值为（）
A．B．C．D．
【考点】M7：
相交弦定理；KQ：
勾股定理．
【专题】11：
计算题．
【分析】设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，QA=r﹣m．利用相交弦定理，求出m与r的关系，即用r表示出m，即可表示出所求比值．
【解答】解：
如图，设⊙O的半径为r，QO=m，则QP=m，QC=r+m，
QA=r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?
QC=QP?
．QD
即（r﹣m）（r+m）=m?
Q，D所以QD=．
连接DO，由勾股定理，得QD2=DO2+QO2，
【点评】本题考查了相交弦定理，即“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．熟记并灵活应用定理是解题的关键．
需要做辅助线的综合题
【例4】（2008秋?
苏州期末）如图，⊙O过M点，⊙M交⊙O于A，延长⊙O
的直径AB交⊙M于C，若AB=8，BC=1，则AM=．
【考点】M7：
相交弦定理；KQ：
勾股定理；M5：
圆周角定理．
【分析】根据相交弦定理可证AB?
BC=EB?
B（F=EM+M）B（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，又由直径对的圆周角是直角，用勾股定理即可求解AM=6．
【解答】解：
作过点M、B的直径EF，交圆于点E、F，
则EM=MA=M，F
由相交弦定理知，AB?
BC=EB?
B（F=EM+M）B（MF﹣MB）=AM2﹣MB2=8，
∵AB是圆O的直径，
∴∠AMB=9°0，
222
由勾股定理得，AM2+MB2=AB2=64，
∴AM=6．
【点评】本题利用了相交弦定理，直径对的圆周角是直角，勾股定理求解．
割线定理
割线定理
：
从圆外一点引圆的两条割线，
这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
相等．
几何语言
PDC是⊙O的割线
∵PBA，
∴PD?
PC=PA?
PB（割线定理）
由上可知
2
：
PT2=PA?
PB=PC?
PD．
基本题型
例5】（1998?
绍兴）如图，过点P作⊙O的两条割线分别交⊙O于点A、B
和点C、D，已知PA=3，AB=PC=，2则PD的长是（）
【考点】MH：
切割线定理．
【分析】由已知可得PB的长，再根据割线定理得PA?
PB=PC?
PD即可求得PD的长．【解答】解：
∵PA=3，AB=PC=2，
∴PB=5，
∵PA?
PB=PC?
P，D∴PD=7.5，故选B．
点评】主要是考查了割线定理的运用．
练习2】（2003?
天津）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为
圆心、CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E．求AB、AD的长．
AB的长；
考点】MH：
切割线定理；KQ：
勾股定理．分析】Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得
BD的长，进而可求
延长BC交⊙C于点F，根据割线定理，得BE?
BF=BD?
B，A由此可求出得AD的长．
【解答】解：
法1：
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4；根据勾股定理，得AB=5．
延长BC交⊙C于点F，则有：
EC=CF=AC=（3⊙C的半径），
法2：
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∴CM=，
解得：
AM=，
AD=2AM=
点评】此题主要考查学生对勾股定理及割线定理的理解及运用．
综合题型
例6】（2015?
武汉校级模拟）如图，两同心圆间的圆环的面积为16π，过
小圆上任意一点P作大圆的弦AB，则PA?
PB的值是（）
A．16B．16πC．4D．4π
【考点】MH：
切割线定理．
【分析】过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，根据相交弦定理得到PA?
PB（=OC﹣OP）?
（OP+OD）=R2﹣r2，再利用πR2﹣πr2=16π得到R2﹣r2=16，所以PA?
PB=1．6
【解答】解：
过P点作大圆的直径CD，如图，设大圆半径为R，小圆半径为r，∵PA?
PB=PC?
P，D
∴PA?
PB（=OC﹣OP）?
（OP+O）D
=（R﹣r）（R+r）
22
=R﹣r，
∵两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为16π，
22
∴πR﹣πr=16π，
22
∴R2﹣r2=16，
∴PA?
PB=1．6故选A．
点评】本题考查了垂径定理：
平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考
查了相交弦定理．
思考】观察讲义课后练习最后一道题，是否有思路？
三、切割线定理
切割线定理
切割线定理：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的
积相等．
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线∴PD?
PC=PA?
PB（割线定理）由上可知：
PT2=PA?
PB=PC?
PD．
例7】（2013?
长清区二模）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线
PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA=8cm，PB=4cm，求⊙O的半径．
【专题】11：
计算题．
【分析】连接OA，设⊙O的半径为rcm，由勾股定理，列式计算即可．【解答】解：
连接OA，
设⊙O的半径为rcm，（2分）
则r2+82=（r+4）2，（4分）
解得r=6，∴⊙O的半径为6cm．（2分）
点评】本题考查的是切割线定理，勾股定理，是基础知识要熟练掌握．
练习3】（2013秋?
东台市期中）如图，点P是⊙O直径AB的延长线上一点，
PC切⊙O于点C，已知OB=3，PB=2．则PC等于（）
【考点】MH：
切割线定理．
【专题】11：
计算题．
【分析】根据题意可得出PC2=PB?
PA，再由OB=3，PB=2，则PA=8，代入可求出PC．2
【解答】解：
∵PC、PB分别为⊙O的切线和割线，∴PC2=PB?
PA，∵OB=3，PB=2，∴PA=8，∴PC2=PB?
PA=×28=16，∴PC=4．故选C．
【点评】本题考查了切割线定理，熟记切割线定理的公式PC2=PB?
PA．
四、切线长定理
切割线定理
1）圆的切线长定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这
点到圆的切线长．
（2）切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
3）注意：
切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的
长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
1垂直关系三处；
2全等关系三对；
3弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
例8】（2015?
秦皇岛校级模拟）如图，一圆内切四边形ABCD，且BC=10，
AD=7，则四边形的周长为（）
A．32B．34C．36D．38
【考点】MG：
切线长定理．
【分析】根据切线长定理，可以证明圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边和相等，从而可求得四边形的周长．
【解答】解：
由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以四边形的周长=2×（7+10）=34．
故选：
B．
【点评】此题主要考查了切线长定理，熟悉圆外切四边形的性质：
圆外切四边形的两组对边和相等是解题关键．
练习4】（2015?
岳池县模拟）如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O
于点E交PA，PB于C，D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长为3r，连接OA，
MG：
切线长定理；MC：
切线的性质．利用切线长定理得出CA=CF，DF=DB，PA=PB，进而得出
解答】解：
∵PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E交PA，PB于C，D，
∴CA=CF，DF=DB，PA=PB，∴PC+CF+DF+PD=PA=PB=2PA=，3r
∴PA=r，
=．
=．
则的值是：
故选：
D．
【点评】此题主要考查了切线长定理，得出PA的长是解题关键．
例9】（2014秋?
夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙
O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD
的周长和∠COD分别为（）
【解答】
∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC；∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2，PA即△PCD的周长=2PA=10，；如图，连接OA、OE、OB．
由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE，
∵AO=OE=O，B
易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS），
∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD，
∴∠AOB=18°0﹣∠P，
∴∠COD=9°0﹣∠P．
【点评】本题考查了切线的性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题，是基础题型．
五、圆幂定理
请尝试解出下列例题：
例10】（2005?
广州）如图，在直径为6的半圆上有两动点M、N，弦AM、
【考点】M7：
相交弦定理；KQ：
勾股定理；M5：
圆周角定理．
【专题】16：
压轴题；25：
动点型．
【分析】连接AN、BM，根据圆周角定理，由AB是直径，可证∠AMB=9°0，由勾股定理知，BP2=MP2+BM2，由相交弦定理知，AP?
PM=BP?
PN，原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP?
PM+BP2+BP?
PN=AP2+BP2+2AP?
PM=AP2+MP2+BM2+2AP?
PM=AP2+（AP+PM）2222
2=AP2+AM2=AB2=36．
【解答】解：
连接AN、BM，
∵AB是直径，
∴∠AMB=9°0．
∴BP2=MP2+BM2
∵AP?
PM=BP?
PN
原式=AP（AP+PM）+BP（BP+PN）=AP2+AP?
PM+BP2+BP?
PN
=AP2+BP2+2AP?
PM
=AP2+MP2+BM2+2AP?
PM
=BM2+（AP+PM）2=BM2+AM2=AB2=36．
点评】本题利用了圆周角定理和相交弦定理，勾股定理求解．
以上四条定理统称为圆幂定理。
（部分参考书以前三条为圆幂定理）
圆幂定理：
过平面内任一点P（P与圆心O不重合）做⊙O的（切）割线，交⊙O与点A、B，则恒有PAPBOP2r2。
（“OP2r2”被称为点P到⊙O的幂。
）
STEP3:
落实巩固——查漏补缺
理念：
找到自己本节课的薄弱环节。
STEP4:
总结
理念：
本结课复习了什么？
学到了什么？
方法：
学生口述+笔记记录。
STEP5:
课后练习
一．选择题（共5小题）
1．如图所示，已知⊙O中，弦AB，CD相交于点P，AP=6，BP=2，CP=4，则PD
的长是（）
A．6B．5C．4D．3
【分析】可运用相交弦定理求解，圆内的弦AB，CD相交于P，因此AP?
PB=CP?
P，D代入已
知数值计算即可．
【解答】解：
由相交弦定理得AP?
PB=CP?
P，D
∵AP=6，BP=2，CP=4，
∴PD=AP?
P÷BCP=6×2÷4=3．
故选D．
【点评】本题主要考查的是相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”．
2．⊙O的两条弦AB与CD相交于点P，PA=3cm，PB=4cm，PC=2cm，则CD=（）
A．12cmB．6cmC．8cmD．7cm
分析】根据相交弦定理进行计算．
∴DP=
解答】解：
由相交弦定理得：
PA?
PB=PC?
P，D
=6cm，CD=PC+PD=2+6=8c．m故选C．
各弦被这点所分得的两线
PA=4，PB=6，PD=2，则⊙O
【点评】本题主要是根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点，段的长的乘积相等”进行计算．
3．如图，⊙O中，弦AB与直径CD相交于点P，且
的半径为（）
A．9B．8C．7D．6
【分析】根据相交弦定理得出AP×BP=CP×DP，求出CP，求出CD即可．
【解答】解：
由相交弦定理得：
AP×BP=CP×DP，∵PA=4，PB=6，PD=2，
∴CP=12，∴DC=12+2=14，
∵CD是⊙O直径，
∴⊙O半径是7．
故选C．
【点评】本题考查了相交弦定理的应用，关键是能根据定理得出AP×BP=CP×DP．
4．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦
BC∥OA，连接AC，则阴影部分的面积等于（）
A．B．C．D．
【分析】连接OB，OC，易证：
△BOC是等边三角形，且阴影部分的面积=△BOC的面积，据此即可求解．
【解答】解：
连接OB，OC，
∵AB是圆的切线，
∴∠ABO=9°0，
在直角△ABO中，OB=1，OA=2，
∴∠OAB=3°0，∠AOB=6°0，∵OA∥BC，
∴∠COB=∠AOB=6°0，且S阴影部分=S△BOC，
∴S阴影部分=S△BO
∴△BOC是等边三角形，边长是1，
C=×1×=．
点评】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切割线定理，正确证明△BOC是等边三角
形是解题的关键．
5．如图，PA，PB分别是⊙O的切线，A，B分别为切点，点E是⊙O上一点，且
A．120°B．60°C．30°D．45°
【分析】连接OA，BO，由圆周角定理知可知∠AOB=2∠E=120°，PA、PB分别切⊙O于点A、B，利用切线的性质可知∠OAP=∠OBP=9°0，根据四边形内角和可求得∠P=180°﹣∠AOB=6°0．
【解答】解：
连接OA，BO；
∵∠AOB=2∠E=120°，
∴∠OAP=∠OBP=9°0，
∴∠P=180°﹣∠AOB=6°0．
【点评】本题考查了切线的性质，切线长定理以及圆周角定理，利用了四边形的内角和为
360度求解．
．解答题（共3小题）
6．如图，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB=8，=，求PC的长．
【分析】延长CP交⊙O于D．由垂径定理可知CP=DP，由AB=8，=，得到AP=AB=2，
PB=AB=6．再根据相交弦定理得出PC
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