有理数教案.docx

有理数教案.docx

《有理数教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有理数教案.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

有理数教案

（第一、二课时）课题：

有理数

教学目标：

1.掌握正数和负数的概念，通过对数“零”的意义的探讨，进一步理解正数和负数的概念．

2.掌握有理数、数轴、相反数、绝对值的概念.

3.会正确画出数轴，能运用法则进行有理数乘法运算.

重点：

1.理解两种相反意义的量．

2.数轴的概念和用数轴上的点表示有理数.

3.相反数的概念、绝对值的概念以及近似数的求法．

难点：

1.正确区分两种不同意义的量，正确理解有理数的概念.

2.归纳相反数在数轴上表示的点的特征，两个负数大小的比较.

3.有理数的运算.

教学过程：

1、提出问题，创设情境

通过具体的例子，简要说明在前两个学段我们已经学过的数，并由此请学生思考：

生活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗？

以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数）．

在生活中，仅有整数和分数够用了吗？

看书（观察本节前面的几幅图中用到了什么数，让学生感受引入负数的必要性）.

归纳：

以前学过的数已经不够用了，有时候需要一种前面带有“-”的新数.

2、正数和负数

1、理解

前面带有“-”号的新数我们应怎样命名它呢？

为什么要引人负数呢？

通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢？

强调：

用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：

一是它们的意义相反，如向东与向西，收人与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量．

2、举例

请举出用正数和负数表示的例子．

你是怎样理解“正整数”“负整数”“正分数”和“负分数”的呢？

请举例说明．

3、深化

上面我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量，为了区分这两种量，我们用正数表示其中一种意义的量，那么另一种意义的量就用负数来表示．这就是说：

数的范围扩大了（数有正数和负数之分）．那么，有没有一种既不是正数又不是负数的数呢？

问题1：

有没有一种既不是正数又不是负数的数呢？

（数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准．）

例题:

在温度的表示中，零上温度和零下温度是两种不同意义的量，通常规定零上温度用正数来表示，零下温度用负数来表示.那么某一天某地的最高温度是零上7℃，最低温度是零下5℃时，就应该表示为+7℃和-5℃，这里+7℃和-5℃就分别称为正数和负数.

那么当温度是零度时，我们应该怎样表示呢？

（表示为0℃），它是正数还是负数呢？

由于零度既不是零上温度也不是零下温度，所以，0既不是正数也不是负数.

问题2：

引入负数后，数按照“两种相反意义的量”来分，可以分成几类？

问题3：

教科书第4页例题

说明：

这是一个用正负数描述向指定方向变化情况的例子，通常向指定方向变化用正数表示；向指定方向的相反方向变化用负数表示.

归纳：

在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义.

思考：

水位上升-3m，实际表示什么意思呢？

收人增加-10%，实际表示什么意思呢？

三、有理数

1、探究

在前两个学段，我们已经学习了很多不同类型的数，通过上面的学习，又知道了现在的数包括了负数，现在在草稿纸上任意写出9个数．

问题1：

观察这些数，给它们进行分类．

例题：

对于数5，可这样问：

5和5.1有相同的类型吗？

5可以表示5个人，而5.1可以表示人数吗？

（不可以）所以它们是不同类型的数，数5是正数中整个的数，我们就称它为“正整数”，而5.1不是整个的数，称为“正分数”（由于小数可化为分数，以后把小数和分数都称为分数）.

2、归纳

我们已经学过的5类不同的数，它们分别是“正整数、零、负整数、正分数、负分数”．

3、概念

按照书本的说法，得出“整数”“分数”和“有理数”的概念．

“统称”是指“合起来总的名称”的意思．

4、试一试

按照以上的分类，你能画出一张有理数的分类表吗？

你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗？

（是按照整数和分数来划分的）

5、练习

（1）任意写出三个有理数，并说出是什么类型的数，与同伴进行交流．

（2）教科书第8页练习．

把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”，所有有理数组成的数集叫做有理数集．类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有负数组成的数集叫做负数集……；

数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的，而本题中只填了所给的几个数，所以应该加上省略号．

思考：

上面练习中的四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗？

6、探究

有理数可分为正数和负数两大类，对吗？

为什么？

正整数

正正分数

有理数零

负负整数

负分数

7、数轴

（1）引入

问题1:

温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？

请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度？

问题2：

在一条东西向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．

（2）探究

由上述两问题我们得到什么启发？

你能用一条直线上的点表示有理数吗？

归纳：

可以表示有理数的直线必须满足什么条件？

数轴的三要素：

原点、正方向、单位长度．

（3）找规律

①你能举出一些在现实生活中用直线表示数的实际例子吗？

②如果给你一些数，你能相应地在数轴上找出它们的准确位置吗？

如果给你数轴上的点，你能读出它所表示的数吗？

③哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你会发现什么规律？

④每个数到原点的距离是多少？

由此你会发现了什么规律？

8、相反数

（1）问题

请将下列4个数分成两类，并说出为什么要这样分类？

4，-2，-5，+2

思考结论：

教科书第10页的思考.

再换2个类似的数试一试.

归纳结论：

教科书第10页的归纳.

（2）定义

问题：

你怎样理解相反数定义中的“只有符号不同”和“互为”一词的含义？

零的相反数是什么？

为什么？

规律：

一般地，数a的相反数可以表示为-a.

思考：

数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？

练一练：

教科书第11页第一个练习.

（3）解决问题

-（+5）和-（-5）分别表示什么意思？

你能化简它们吗？

分别表示+5和-5的相反数是-5和+5

练一练：

教科书第11页第二个练习.

9、绝对值

（1）内容

星期天黄老师从学校出发，开车去游玩，她先向东行20千米，到朱家尖，下午她又向西行30千米，回到家中（学校、朱家尖、家在同一直线上），如果规定向东为正，①用有理数表示黄老师两次所行的路程；②如果汽车每公里耗油0.15升，计算这天汽车共耗油多少升？

说明：

实际生活中有些问题只关注量的具体值，而与相反意义无关，即正负性无关，如汽车的耗油量我们只关心汽车行驶的距离和汽油的价格，而与行驶的方向无关.

观察并思考：

画一条数轴，原点表示学校，在数轴上画出表示朱家尖和黄老师家的点，观察图形，说出朱家尖黄老师家与学校的距离．

说明：

数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所表示的数的正负性无关.

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|.

例如:

上面的问题中|20|=20，|-10|=10显然，|0|=0.

（2）练习

求下列各数的绝对值，并归纳求有理数a的绝对值有什么规律？

-3，5，0，+58，0.6

教师引导学生利用绝对值的意义先求出答案，然后观察原数与它的绝对值这两个数据的特征，并结合相反数的意义，最后总结得出求绝对值法则（见教科书第12页）．

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

巩固练习：

教科书第12页练习．

其中第1题按法则直接写出答案，是求绝对值的基本训练；第2题是对相反数和绝对值概念进行辨别，对学生的分析、判断能力有较高要求，要注意思考的周密性，要让学生体会出不同说法之间的区别．

（3）联系实际

引导学生看教科书第12页的图，并回答相关问题：

①把14个气温从低到高排列；②把这14个数用数轴上的点表示出来.

观察并思考：

观察这些点在数轴上的位置，并思考它们与温度的高低之间的关系，由此你觉得两个有理数可以比较大小吗？

应怎样比较两个数的大小呢？

总结：

14个数从左到右的顺序就是温度从低到高的顺序：

在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．

在上面14个数中，选两个数比较，再选两个数试试，通过比较，归纳得出有理数大小比较法则.

想象练习：

想象头脑中有一条数轴，其上有两个点，分别表示数一100和一90，体会这两个点到原点的距离（即它们的绝对值）以及这两个数的大小之间的关系．

4、有理数的加减法

1．问题

一位学生在一条东西向的跑道上，先走了20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米？

我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答，可是上述问题不能得到确定答案，因为运动的总结果与行走方向有关，请同学们先个人研究，后小组交流．

2、探究

全班交流:

将研究结果进行整理，得到以下几种情形.为了把这一问题说得明确些，现规定向东为正，向西为负．

（1）若两次都是向东走，则一共向东走了50米，他现在位于原来位置的东方50米处，写成算式就是

（+20）+（+30）=+50．

这一运算在数轴上可表示为如下图：

（2）若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处，写成算式就是

（-20）+（-30）=-50．

（3）若第一次向东走20米，第二次向西走30米，在数轴上表示如下图：

写成算式是（+20）+（-30）=-10．

我们可以看到，这位同学位于原来位置的西方10米处．

（4）若第一次向西走20米，第二次向东走30米，同样可结合数轴上表示可以看到，这位同学位于原来位置的东方10米处，写成算式是

（-20）+（+30）=+10．

小结指出：

后两种情形中两个加数符号不同，通常可称异号．

3、练习

试一试，把下列算式中的各个加数不妨仍可看作运动的方向和路程，完成下列填空：

 （+5）+（-3）=（ ）；（+4）+（-10）=（ ）；

 （-3）+（+8）=（ ）；（-8）+3=（ ）．  

你能发现得到的结果与两个加数的符号及绝对值之间有什么关系吗？

再看两种特殊情形：

（5）第一次向西走了20米，第二次向东走了20米，写成算式

             （-20）+（+20）=（ ）；

（6）第一次向西走了20米，第二次没有走，写成算式是

             （-20）+0＝（ ）．

从以上写出的算式

（1）～（6），你能探索总结出一些规律吗？

由此可推出如下有理数加法法则：

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）互为相反数的两个数相加得零；

（4）一个数与零相加，仍得这个数．

4、实践应用

计算并注明相应的运算法则：

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

5、加法运算定律

加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变．

加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．

说明：

（1）上面式中字母a、b、c分别表示任意的一个有理数，在同一个式子中，相同字母只能表示同一个数；

（2）加法的运算律可以推广到三个以上有理数相加的情况．

6、探究

2001年4月9日刊登的全国主要城市天气预报幻灯片，从图中你能知道兰州的最高温度是3oC、最低温度-3oC。

这天兰州温差为多少？

7、尝试计算，概括法则

8、计算：

（1）50—20=，50+（-20）=

（2）50—10=，50+（-10）=

（3）50—0=，50+0=

（4）50—（-10）=，50+10=

（5）50—（-20）=，50+20=

现在比较每横行的两个算式，能得出什么结论？

9、讨论有理数的减法法则、运用时的注意事项及字母表示。

（1）法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

（2）运用时的注意事项：

①首先应弄清减数的符号（是“+”，还是“-”号）；

②将有理数减法转化为加法时，要改变两个符号，一年是运算符号由“-”变为“+”；另一个是减压蒸馏数的性质符号；

③注意有理数与0的减法运算.

10、巩固法则，深化应用

计算下列各题：

（1）9-（-5）；

（2）（-3）-1；（3）0-8；（4）（-5）-0；

五、有理数的乘除法

1、探索

探索1：

（1）商店降价销售某种产品,若每件降5元,售出60件,问与降价前比,销售额减少了多少?

（2）商店降价销售某种产品,若每件提价-5元,售出60件,与提价前比,销售额增加了多少?

（3）商店降价销售某种产品,若每件提价a元,售出60件,问与提价前比,销售额增加了多少?

探索2:

（1）2×3=__；

（2）-2×3=__；（3）2×（-3）=___；

（4）（-2）×（-3）=____；（5）3×0=_____；（6）-3×0=_____.

2、法则归纳

两数相乘,同号得______,异号得_______,并把________相乘.

任何数同0相乘,都得______.

探索3：

在有理数范围内,我们仍然规定:

乘积是1的两个数互为倒数.

（1）-0.2的倒数是多少?

-7.29的倒数呢?

0的倒数________.

（2）__________的两个数互为相反数._______的两个数互为倒数.

（3）若a+b=0,则a、b互为_____数,若ab=1,则a、b互为_____数.

（4）（-6）×4=______=____.

（5）在数-5,1,-3,5,-2中任取3个相乘,哪3个数相乘的积最大?

哪3个数相乘的积最小?

3、思考归纳

几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系?

与两个有理数相乘一样,几个不等于0的有理数相乘,要先确定积的符号,再确定积的绝对值.

4、练习

（1）若a=3,a与2a哪个大?

若a=0呢?

又若a=-3呢?

（2）a与2a哪个大?

（3）判断:

9a一定大于2a;

（4）判断:

9a一定不小于2a.

（5）判断:

9a有可能小于2a.

（6）“几个数相乘,积的符号由负因数的个数决定”这句话错在哪里?

（7）若a>b,则ac>bc吗?

为什么?

请举例说明.

（8）若mn=0,那么一定有（）

Am=n=0Bm=0,n≠0

Cm≠0,n=0Dm、n中至少有一个为0 

5、探索运用乘法运算律简化运算

探索1：

你知道乘法的交换律和结合律吗?

你会用字母表示它们吗?

在有理数范围内,它们仍然成立吗?

探索2：

运用乘法交换律和结合律简化运算:

（用运算律为什么能简化运算?

）

25×2004×4；1999×125×8

探索3：

每千克大米1.60元,第一天购进3590千克,第二天又购进6410千克,两天一共要付多少钱?

你知道这道题有哪两种算法吗?

哪一种简便?

6、练习

运用分配律化简下列的式子:

（1）例3x+9x+x

（2）13x-20x+5x;

=（3+9+1）x

=13x;

（3）12π-18π-9π;（4）-z-7z-8z.

7、有理数的除法

（1）有埋数的倒数

0没有倒数.（0不能作除数，分母是0没有意义等概念在小学里是反复强调的．）

提问：

怎样求一个数的倒数？

答：

整数可以看成分母是1的分数，求分数的倒数是把这个数的分母与分子颠倒一下即可；求一个小数的倒数，可以先把这个小数化成分数再求倒数．

什么性质?

所以我们说：

乘积为1的两个数互为倒数，这个定义对有理数仍然适用．

这里a≠0，同小学一样，在有理数范围内，0不能作除数，或者说0为分母时分数无意义．

（2）有理数除法法则

利用有理数倒数的概念，我们进一步学习有理数除法．

因为（-2）×（-4）=8，所以8÷（-4）=-2．

由此，我们可以看出小学学过的除法法则仍适用于有理数除法，即

除以一个数等于乘以这个数的倒数．

0不能作除数．

8、有理数除法的符号法则

观察上面的练习，引导学生总结出有理数除法的商的符号法则：

两数相除，同号得正，异号得负．

掌握符号法则，有的题就不必再将除数化成倒数再去乘了，可以确定符号后直接相除.这就是第二个有理数除法法则：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．

0除以任何一个不为0的数，都得0．

6、有理数的乘方

1、提问

什么叫乘方？

求几个相同因数的积的运算叫做乘方．

2、概念

如几个相同的因数a相乘，记作

（

是有理数，n是正整数）.

各部分名称：

底数

，指数n，乘方的结果叫做幂．读作

的n次方，或

的n次幂．

同样地：

×

×

×

×

=

；

=

特殊地，指数为1可省略，指数为2称平方，指数为3称立方．

3、练习

（1）把下列各式写成乘方运算的形式：

⑴8×8×8⑵（-3）（-3）（-3）（3）（-3）×3×3×（-3）×（-3）

（2）把下列各式写成乘法运算的形式

⑴

⑵

注：

⑴负数和分数的乘方必须加括号，⑵乘方是乘法的特例.

（3）说出

表示的意义．

（4）32与3×2，23的区别（读法上，形式上，计算结果上）.

（5）读出下列各数，指出其底数、指数，再计算它的结果．

①122，②132，③

，④1.1252，⑤

4、归纳

有理数乘方的符号法则：

⑴正数的任何次幂是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．

⑵0的任何次幂等于0，1的任何次幂等于1，

5、巩固

己知a=-2,b=3,求下列代数式的值．

⑴

⑵

⑶

6、科学计数法

（1）练习：

地球上的陆地面积约为149000000平方公里；地球上的海洋面积约为361000000平方公里；我国森林覆盖面积为1336320平方公里；水星的半径为2440000米；北京故宫的占地面积为720000平方公里.

这么大的数有简单的表示方法吗？

插入印度古传说（棋盘上的数学）让学生感受简单的幂可以表示很大的数.

（2）表示方法

观察1000、10000、1000000、100000000这些大数的特点，怎样表示比较简单？

发现这些大数可用10的正整数次幂表示，1后面有几个0，10的指数就是几.

对于一般的大数是不是也可以这样表示呢？

如：

光速约为300000000米/秒300000000=3×100000000=3×108

太阳半径696000千米696000=6.96×100000=6.96×105

中国人口约为1300000000人1300000000=1.3×1000000000=1.3×109

这种表示数的方法就是科学计数法.

（3）定义

科学记数法：

把一个大于10的数表示成a×10N形式，其中a是整数位只有一位的数，n是正整数，使用的是科学记数法.

（4）用科学记数法表示下列各数：

100000057000000123000000000

解：

1000000=10×10657000000=5.7×107123000000000=1.23×1011

（5）巩固

10的指数怎样确定，左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？

10的指数比整数的位数少1.

如果一个数是6位整数，用科学计数法表示时，10的指数是多少？

如果一个数是9位整数呢？

用科学计数法表示一个N位整数时，其中10的指数是N-1.

7、近似数

（1）感受

上海浦东磁悬浮铁路全长30千米，磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为3.75×103米/分,因此,单程运行的时间约为8分钟。

据新浪网消息，截止到10月28日下午2点，25日晚发生在甘肃省民乐、山丹间的6.1级、5.8级地震造成9人死亡，43人受伤，其中重伤6人，轻伤37人.房屋倒塌1.2万多间，超过5万人受灾.

（2）探索：

猜谜语：

爷爷参加百米赛跑（打一中国古代数学家）.

祖冲之在数学史上有一项伟大的发现，那就是圆周率

在3.1415926到3.1415927.这项发现比西方早了700多年，我们的祖先多么伟大啊！

通常计算中我们需对π取近似数，一方面完全精确有时办不到，另一方面也没有必要完全精确.

如果结果只取整数，那么四舍五入法的法则应为3，就叫做精确到个位；如果结果取1位小数，那么应为3.1，就叫做精确到十分位（或叫精确到0.1）；如果结果取2位小数，那么应为3.14，就叫做精确到百分位（或叫精确到0.01）；

……

（3）概括

①精确度：

一般地,一个近似数,四舍五入到某一位,就说这个近似数精确到那一位。

②有效数字：

此时,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.

（4）应用：

下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?

有几个有效数字?

132.40.0572

用四舍五入法,按括号中的要求对下列各数取近似数.

①0.3482（精确到千分位）；②64.8（精确到个位）；③1.5046（精确到0.01）

④0.0692（保留2个有效数字）；⑤30542（保留3个有效数字）.

7、小结

正数和负数的意义

有理数的意义有理数极其分类

数集

有理数的意义及相关概念几个主要概念

数轴法

有理数有理数的大小比较代数法

基本运算

有理数的运算运算律

八、作业