有理数教案.docx
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有理数教案
(第一、二课时)课题:
有理数
教学目标:
1.掌握正数和负数的概念,通过对数“零”的意义的探讨,进一步理解正数和负数的概念.
2.掌握有理数、数轴、相反数、绝对值的概念.
3.会正确画出数轴,能运用法则进行有理数乘法运算.
重点:
1.理解两种相反意义的量.
2.数轴的概念和用数轴上的点表示有理数.
3.相反数的概念、绝对值的概念以及近似数的求法.
难点:
1.正确区分两种不同意义的量,正确理解有理数的概念.
2.归纳相反数在数轴上表示的点的特征,两个负数大小的比较.
3.有理数的运算.
教学过程:
1、提出问题,创设情境
通过具体的例子,简要说明在前两个学段我们已经学过的数,并由此请学生思考:
生活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗?
以前学过的数,实际上主要有两大类,分别是整数和分数(包括小数).
在生活中,仅有整数和分数够用了吗?
看书(观察本节前面的几幅图中用到了什么数,让学生感受引入负数的必要性).
归纳:
以前学过的数已经不够用了,有时候需要一种前面带有“-”的新数.
2、正数和负数
1、理解
前面带有“-”号的新数我们应怎样命名它呢?
为什么要引人负数呢?
通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢?
强调:
用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量,而相反意义的量包含两个要素:
一是它们的意义相反,如向东与向西,收人与支出;二是它们都是数量,而且是同类的量.
2、举例
请举出用正数和负数表示的例子.
你是怎样理解“正整数”“负整数”“正分数”和“负分数”的呢?
请举例说明.
3、深化
上面我们知道了在实际生产和生活中存在着两种不同意义的量,为了区分这两种量,我们用正数表示其中一种意义的量,那么另一种意义的量就用负数来表示.这就是说:
数的范围扩大了(数有正数和负数之分).那么,有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
问题1:
有没有一种既不是正数又不是负数的数呢?
(数0既不是正数又不是负数,是正数和负数的分界,是基准.)
例题:
在温度的表示中,零上温度和零下温度是两种不同意义的量,通常规定零上温度用正数来表示,零下温度用负数来表示.那么某一天某地的最高温度是零上7℃,最低温度是零下5℃时,就应该表示为+7℃和-5℃,这里+7℃和-5℃就分别称为正数和负数.
那么当温度是零度时,我们应该怎样表示呢?
(表示为0℃),它是正数还是负数呢?
由于零度既不是零上温度也不是零下温度,所以,0既不是正数也不是负数.
问题2:
引入负数后,数按照“两种相反意义的量”来分,可以分成几类?
问题3:
教科书第4页例题
说明:
这是一个用正负数描述向指定方向变化情况的例子,通常向指定方向变化用正数表示;向指定方向的相反方向变化用负数表示.
归纳:
在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义.
思考:
水位上升-3m,实际表示什么意思呢?
收人增加-10%,实际表示什么意思呢?
三、有理数
1、探究
在前两个学段,我们已经学习了很多不同类型的数,通过上面的学习,又知道了现在的数包括了负数,现在在草稿纸上任意写出9个数.
问题1:
观察这些数,给它们进行分类.
例题:
对于数5,可这样问:
5和5.1有相同的类型吗?
5可以表示5个人,而5.1可以表示人数吗?
(不可以)所以它们是不同类型的数,数5是正数中整个的数,我们就称它为“正整数”,而5.1不是整个的数,称为“正分数”(由于小数可化为分数,以后把小数和分数都称为分数).
2、归纳
我们已经学过的5类不同的数,它们分别是“正整数、零、负整数、正分数、负分数”.
3、概念
按照书本的说法,得出“整数”“分数”和“有理数”的概念.
“统称”是指“合起来总的名称”的意思.
4、试一试
按照以上的分类,你能画出一张有理数的分类表吗?
你能说出以上有理数的分类是以什么为标准的吗?
(是按照整数和分数来划分的)
5、练习
(1)任意写出三个有理数,并说出是什么类型的数,与同伴进行交流.
(2)教科书第8页练习.
把一些数放在一起,就组成了一个数的集合,简称“数集”,所有有理数组成的数集叫做有理数集.类似地,所有整数组成的数集叫做整数集,所有负数组成的数集叫做负数集……;
数集一般用圆圈或大括号表示,因为集合中的数是无限的,而本题中只填了所给的几个数,所以应该加上省略号.
思考:
上面练习中的四个集合合并在一起就是全体有理数的集合吗?
6、探究
有理数可分为正数和负数两大类,对吗?
为什么?
正整数
正正分数
有理数零
负负整数
负分数
7、数轴
(1)引入
问题1:
温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具,你会读温度计吗?
请你尝试读出图中三个温度计所表示的温度?
问题2:
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
(2)探究
由上述两问题我们得到什么启发?
你能用一条直线上的点表示有理数吗?
归纳:
可以表示有理数的直线必须满足什么条件?
数轴的三要素:
原点、正方向、单位长度.
(3)找规律
①你能举出一些在现实生活中用直线表示数的实际例子吗?
②如果给你一些数,你能相应地在数轴上找出它们的准确位置吗?
如果给你数轴上的点,你能读出它所表示的数吗?
③哪些数在原点的左边,哪些数在原点的右边,由此你会发现什么规律?
④每个数到原点的距离是多少?
由此你会发现了什么规律?
8、相反数
(1)问题
请将下列4个数分成两类,并说出为什么要这样分类?
4,-2,-5,+2
思考结论:
教科书第10页的思考.
再换2个类似的数试一试.
归纳结论:
教科书第10页的归纳.
(2)定义
问题:
你怎样理解相反数定义中的“只有符号不同”和“互为”一词的含义?
零的相反数是什么?
为什么?
规律:
一般地,数a的相反数可以表示为-a.
思考:
数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系?
练一练:
教科书第11页第一个练习.
(3)解决问题
-(+5)和-(-5)分别表示什么意思?
你能化简它们吗?
分别表示+5和-5的相反数是-5和+5
练一练:
教科书第11页第二个练习.
9、绝对值
(1)内容
星期天黄老师从学校出发,开车去游玩,她先向东行20千米,到朱家尖,下午她又向西行30千米,回到家中(学校、朱家尖、家在同一直线上),如果规定向东为正,①用有理数表示黄老师两次所行的路程;②如果汽车每公里耗油0.15升,计算这天汽车共耗油多少升?
说明:
实际生活中有些问题只关注量的具体值,而与相反意义无关,即正负性无关,如汽车的耗油量我们只关心汽车行驶的距离和汽油的价格,而与行驶的方向无关.
观察并思考:
画一条数轴,原点表示学校,在数轴上画出表示朱家尖和黄老师家的点,观察图形,说出朱家尖黄老师家与学校的距离.
说明:
数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关,而与它所表示的数的正负性无关.
一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记做|a|.
例如:
上面的问题中|20|=20,|-10|=10显然,|0|=0.
(2)练习
求下列各数的绝对值,并归纳求有理数a的绝对值有什么规律?
-3,5,0,+58,0.6
教师引导学生利用绝对值的意义先求出答案,然后观察原数与它的绝对值这两个数据的特征,并结合相反数的意义,最后总结得出求绝对值法则(见教科书第12页).
一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
巩固练习:
教科书第12页练习.
其中第1题按法则直接写出答案,是求绝对值的基本训练;第2题是对相反数和绝对值概念进行辨别,对学生的分析、判断能力有较高要求,要注意思考的周密性,要让学生体会出不同说法之间的区别.
(3)联系实际
引导学生看教科书第12页的图,并回答相关问题:
①把14个气温从低到高排列;②把这14个数用数轴上的点表示出来.
观察并思考:
观察这些点在数轴上的位置,并思考它们与温度的高低之间的关系,由此你觉得两个有理数可以比较大小吗?
应怎样比较两个数的大小呢?
总结:
14个数从左到右的顺序就是温度从低到高的顺序:
在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数.
在上面14个数中,选两个数比较,再选两个数试试,通过比较,归纳得出有理数大小比较法则.
想象练习:
想象头脑中有一条数轴,其上有两个点,分别表示数一100和一90,体会这两个点到原点的距离(即它们的绝对值)以及这两个数的大小之间的关系.
4、有理数的加减法
1.问题
一位学生在一条东西向的跑道上,先走了20米,又走了30米,能否确定他现在位于原来位置的哪个方向,与原来位置相距多少米?
我们知道,求两次运动的总结果,可以用加法来解答,可是上述问题不能得到确定答案,因为运动的总结果与行走方向有关,请同学们先个人研究,后小组交流.
2、探究
全班交流:
将研究结果进行整理,得到以下几种情形.为了把这一问题说得明确些,现规定向东为正,向西为负.
(1)若两次都是向东走,则一共向东走了50米,他现在位于原来位置的东方50米处,写成算式就是
(+20)+(+30)=+50.
这一运算在数轴上可表示为如下图:
(2)若两次都是向西走,则他现在位于原来位置的西方50米处,写成算式就是
(-20)+(-30)=-50.
(3)若第一次向东走20米,第二次向西走30米,在数轴上表示如下图:
写成算式是(+20)+(-30)=-10.
我们可以看到,这位同学位于原来位置的西方10米处.
(4)若第一次向西走20米,第二次向东走30米,同样可结合数轴上表示可以看到,这位同学位于原来位置的东方10米处,写成算式是
(-20)+(+30)=+10.
小结指出:
后两种情形中两个加数符号不同,通常可称异号.
3、练习
试一试,把下列算式中的各个加数不妨仍可看作运动的方向和路程,完成下列填空:
(+5)+(-3)=( );(+4)+(-10)=( );
(-3)+(+8)=( );(-8)+3=( ).
你能发现得到的结果与两个加数的符号及绝对值之间有什么关系吗?
再看两种特殊情形:
(5)第一次向西走了20米,第二次向东走了20米,写成算式
(-20)+(+20)=( );
(6)第一次向西走了20米,第二次没有走,写成算式是
(-20)+0=( ).
从以上写出的算式
(1)~(6),你能探索总结出一些规律吗?
由此可推出如下有理数加法法则:
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
(2)绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
(3)互为相反数的两个数相加得零;
(4)一个数与零相加,仍得这个数.
4、实践应用
计算并注明相应的运算法则:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
5、加法运算定律
加法交换律:
两个数相加,交换加数的位置,和不变.
加法结合律:
三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
说明:
(1)上面式中字母a、b、c分别表示任意的一个有理数,在同一个式子中,相同字母只能表示同一个数;
(2)加法的运算律可以推广到三个以上有理数相加的情况.
6、探究
2001年4月9日刊登的全国主要城市天气预报幻灯片,从图中你能知道兰州的最高温度是3oC、最低温度-3oC。
这天兰州温差为多少?
7、尝试计算,概括法则
8、计算:
(1)50—20=,50+(-20)=
(2)50—10=,50+(-10)=
(3)50—0=,50+0=
(4)50—(-10)=,50+10=
(5)50—(-20)=,50+20=
现在比较每横行的两个算式,能得出什么结论?
9、讨论有理数的减法法则、运用时的注意事项及字母表示。
(1)法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
(2)运用时的注意事项:
①首先应弄清减数的符号(是“+”,还是“-”号);
②将有理数减法转化为加法时,要改变两个符号,一年是运算符号由“-”变为“+”;另一个是减压蒸馏数的性质符号;
③注意有理数与0的减法运算.
10、巩固法则,深化应用
计算下列各题:
(1)9-(-5);
(2)(-3)-1;(3)0-8;(4)(-5)-0;
五、有理数的乘除法
1、探索
探索1:
(1)商店降价销售某种产品,若每件降5元,售出60件,问与降价前比,销售额减少了多少?
(2)商店降价销售某种产品,若每件提价-5元,售出60件,与提价前比,销售额增加了多少?
(3)商店降价销售某种产品,若每件提价a元,售出60件,问与提价前比,销售额增加了多少?
探索2:
(1)2×3=__;
(2)-2×3=__;(3)2×(-3)=___;
(4)(-2)×(-3)=____;(5)3×0=_____;(6)-3×0=_____.
2、法则归纳
两数相乘,同号得______,异号得_______,并把________相乘.
任何数同0相乘,都得______.
探索3:
在有理数范围内,我们仍然规定:
乘积是1的两个数互为倒数.
(1)-0.2的倒数是多少?
-7.29的倒数呢?
0的倒数________.
(2)__________的两个数互为相反数._______的两个数互为倒数.
(3)若a+b=0,则a、b互为_____数,若ab=1,则a、b互为_____数.
(4)(-6)×4=______=____.
(5)在数-5,1,-3,5,-2中任取3个相乘,哪3个数相乘的积最大?
哪3个数相乘的积最小?
3、思考归纳
几个不是0的数相乘,积的符号与负因数的个数之间有什么关系?
与两个有理数相乘一样,几个不等于0的有理数相乘,要先确定积的符号,再确定积的绝对值.
4、练习
(1)若a=3,a与2a哪个大?
若a=0呢?
又若a=-3呢?
(2)a与2a哪个大?
(3)判断:
9a一定大于2a;
(4)判断:
9a一定不小于2a.
(5)判断:
9a有可能小于2a.
(6)“几个数相乘,积的符号由负因数的个数决定”这句话错在哪里?
(7)若a>b,则ac>bc吗?
为什么?
请举例说明.
(8)若mn=0,那么一定有()
Am=n=0Bm=0,n≠0
Cm≠0,n=0Dm、n中至少有一个为0
5、探索运用乘法运算律简化运算
探索1:
你知道乘法的交换律和结合律吗?
你会用字母表示它们吗?
在有理数范围内,它们仍然成立吗?
探索2:
运用乘法交换律和结合律简化运算:
(用运算律为什么能简化运算?
)
25×2004×4;1999×125×8
探索3:
每千克大米1.60元,第一天购进3590千克,第二天又购进6410千克,两天一共要付多少钱?
你知道这道题有哪两种算法吗?
哪一种简便?
6、练习
运用分配律化简下列的式子:
(1)例3x+9x+x
(2)13x-20x+5x;
=(3+9+1)x
=13x;
(3)12π-18π-9π;(4)-z-7z-8z.
7、有理数的除法
(1)有埋数的倒数
0没有倒数.(0不能作除数,分母是0没有意义等概念在小学里是反复强调的.)
提问:
怎样求一个数的倒数?
答:
整数可以看成分母是1的分数,求分数的倒数是把这个数的分母与分子颠倒一下即可;求一个小数的倒数,可以先把这个小数化成分数再求倒数.
什么性质?
所以我们说:
乘积为1的两个数互为倒数,这个定义对有理数仍然适用.
这里a≠0,同小学一样,在有理数范围内,0不能作除数,或者说0为分母时分数无意义.
(2)有理数除法法则
利用有理数倒数的概念,我们进一步学习有理数除法.
因为(-2)×(-4)=8,所以8÷(-4)=-2.
由此,我们可以看出小学学过的除法法则仍适用于有理数除法,即
除以一个数等于乘以这个数的倒数.
0不能作除数.
8、有理数除法的符号法则
观察上面的练习,引导学生总结出有理数除法的商的符号法则:
两数相除,同号得正,异号得负.
掌握符号法则,有的题就不必再将除数化成倒数再去乘了,可以确定符号后直接相除.这就是第二个有理数除法法则:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.
0除以任何一个不为0的数,都得0.
6、有理数的乘方
1、提问
什么叫乘方?
求几个相同因数的积的运算叫做乘方.
2、概念
如几个相同的因数a相乘,记作
(
是有理数,n是正整数).
各部分名称:
底数
,指数n,乘方的结果叫做幂.读作
的n次方,或
的n次幂.
同样地:
×
×
×
×
=
;
=
特殊地,指数为1可省略,指数为2称平方,指数为3称立方.
3、练习
(1)把下列各式写成乘方运算的形式:
⑴8×8×8⑵(-3)(-3)(-3)(3)(-3)×3×3×(-3)×(-3)
(2)把下列各式写成乘法运算的形式
⑴
⑵
注:
⑴负数和分数的乘方必须加括号,⑵乘方是乘法的特例.
(3)说出
表示的意义.
(4)32与3×2,23的区别(读法上,形式上,计算结果上).
(5)读出下列各数,指出其底数、指数,再计算它的结果.
①122,②132,③
,④1.1252,⑤
4、归纳
有理数乘方的符号法则:
⑴正数的任何次幂是正数,负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.
⑵0的任何次幂等于0,1的任何次幂等于1,
5、巩固
己知a=-2,b=3,求下列代数式的值.
⑴
⑵
⑶
6、科学计数法
(1)练习:
地球上的陆地面积约为149000000平方公里;地球上的海洋面积约为361000000平方公里;我国森林覆盖面积为1336320平方公里;水星的半径为2440000米;北京故宫的占地面积为720000平方公里.
这么大的数有简单的表示方法吗?
插入印度古传说(棋盘上的数学)让学生感受简单的幂可以表示很大的数.
(2)表示方法
观察1000、10000、1000000、100000000这些大数的特点,怎样表示比较简单?
发现这些大数可用10的正整数次幂表示,1后面有几个0,10的指数就是几.
对于一般的大数是不是也可以这样表示呢?
如:
光速约为300000000米/秒300000000=3×100000000=3×108
太阳半径696000千米696000=6.96×100000=6.96×105
中国人口约为1300000000人1300000000=1.3×1000000000=1.3×109
这种表示数的方法就是科学计数法.
(3)定义
科学记数法:
把一个大于10的数表示成a×10N形式,其中a是整数位只有一位的数,n是正整数,使用的是科学记数法.
(4)用科学记数法表示下列各数:
100000057000000123000000000
解:
1000000=10×10657000000=5.7×107123000000000=1.23×1011
(5)巩固
10的指数怎样确定,左边整数的位数与右边10的指数有什么关系?
10的指数比整数的位数少1.
如果一个数是6位整数,用科学计数法表示时,10的指数是多少?
如果一个数是9位整数呢?
用科学计数法表示一个N位整数时,其中10的指数是N-1.
7、近似数
(1)感受
上海浦东磁悬浮铁路全长30千米,磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约为3.75×103米/分,因此,单程运行的时间约为8分钟。
据新浪网消息,截止到10月28日下午2点,25日晚发生在甘肃省民乐、山丹间的6.1级、5.8级地震造成9人死亡,43人受伤,其中重伤6人,轻伤37人.房屋倒塌1.2万多间,超过5万人受灾.
(2)探索:
猜谜语:
爷爷参加百米赛跑(打一中国古代数学家).
祖冲之在数学史上有一项伟大的发现,那就是圆周率
在3.1415926到3.1415927.这项发现比西方早了700多年,我们的祖先多么伟大啊!
通常计算中我们需对π取近似数,一方面完全精确有时办不到,另一方面也没有必要完全精确.
如果结果只取整数,那么四舍五入法的法则应为3,就叫做精确到个位;如果结果取1位小数,那么应为3.1,就叫做精确到十分位(或叫精确到0.1);如果结果取2位小数,那么应为3.14,就叫做精确到百分位(或叫精确到0.01);
……
(3)概括
①精确度:
一般地,一个近似数,四舍五入到某一位,就说这个近似数精确到那一位。
②有效数字:
此时,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字为止,所有的数字都叫做这个数的有效数字.
(4)应用:
下列由四舍五入法得到的近似数,各精确到哪一位?
有几个有效数字?
132.40.0572
用四舍五入法,按括号中的要求对下列各数取近似数.
①0.3482(精确到千分位);②64.8(精确到个位);③1.5046(精确到0.01)
④0.0692(保留2个有效数字);⑤30542(保留3个有效数字).
7、小结
正数和负数的意义
有理数的意义有理数极其分类
数集
有理数的意义及相关概念几个主要概念
数轴法
有理数有理数的大小比较代数法
基本运算
有理数的运算运算律
八、作业