六年级数学最大公约数的专项练.docx

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六年级数学最大公约数的专项练

小升初数学试题最大公约数的专项练习

（1）列举约数法

例如，求24和36的最大公约数。

显然（24，36）=12。

（2）分解质因数法

就是先把要求最大公约数的那几个数分别分解质因数，然后把这几个数公有的质因数相乘，所得的积就是要求的最大公约数。

例如，求12、18和54的最大公约数。

所以（12，18，54）＝2×3＝6。

（3）除数相除法（短除法）

就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到所得的商只有公约数1为止，再把所有的除数连乘起来，乘得的积就是所求的最大公约数。

例如，求24、60和96的最大公约数。

所以（24、60、96）＝2

×2×3＝12。

（4）应用相除法

就是先用要求最大公约数的那几个数的公约数连续去除那几个数，一直除到商只有公约数1为止。

然后用被除数除以商。

例如，求36和54的最大公约数。

（5）辗转相除法

也称欧几里得除法。

就是用大数除以小数，如果能整除，小数就是所求的最大公约数；如果不能整除，再用小数除以第一个余数，如果能整除，第一余数就是所求的最大公约数；如果不能整除，再用第一个余数除以第二个余数，如果能整除，第二个余数就是所求的最大公约数，如果不能整除，再像上面那样继续除下去，直到余数为0为止，最后的那个除数就是所求的最大公约数。

如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质数。

例如，求621和851的最大公约数。

则（621，851）＝23。

（6）辗转相减法

在求几个数的最大公约数时，可从任一大数中减去任意小数的任意倍数，同时作几个减法。

理论根据：

定理1：

如果甲、乙二数的差是乙数，那么甲、乙二数的最大公约数就是乙数。

即：

如果a－b＝b，那么（a，b）＝b。

（本文字母都是自然数）

证明：

∵a－b＝b，

∴a＝2b，即b｜2b→b｜a。

又∵b｜b，∴（a，b）＝b。

定理2：

如果两个数的差不等于零，那么这两个数的最大公约数就是减数与差数的最大公约数。

即：

如果a－b＝c（a＞b），

那么（a，b）＝（b，c）。

可理解为差与小数成倍数关系，差就是所求的最大公约数；如果差与小数不成倍数关系，差与小数的最大公约数就是所求的最大公约数。

∵a－b＝c，

因此t是b、c的公约数。

又设（p2，p1－p2）=m（m＞1），则

故（P2，P1－P2）＝m不能成立，只能是：

（P2，P1－P2）＝1。

说明t不但是b、c的公约数，而且是最大公约数。

即：

（b，c）＝t，

∴（a，b）＝（b，c）。

例如，429－143＝286，

∴（429，143）＝（143，286）。

又∵143｜286，

∴（143，286）＝143。

因此（429，143）＝143。

根据上面的两个定理求（a，b）。

设a＞b，

①当b｜a时，则（a，b）＝b。

②当b

a时，则a－b＝p1，即（a，b）＝（b，P1）。

其中当P1｜b时，则（b，P1）＝P1。

当P1

b时，则b－P1＝P2，即（b，P1）＝（P1，P2）。

……

照此依次减下去，被减数、减数在逐渐减小，差也随着相对减小，最后必能得到一个ppn=0。

这时pn-1＝pn-2，所以（pn-2，pn-1）=pn-1。

由此得出：

（a，b）＝（b，p1）＝（p1，p2）＝（p2，p3）＝……＝（pn-2，pn-1）＝pn-1。

这种方法称辗转相减法。

实例说明：

如21和12。

21可以看成是3的7倍，12可看成3的4倍；用3的7倍减去3的4倍一定还是3的倍数，得3的3倍，然后用3的4倍减去3的3倍结果是3的1倍。

因此（21，12）＝3。

应用中贵在灵活。

求解过程中，可随时截取判断。

例1求1105和1547的最大公约数。

1547－1105＝422，

（1）

1105－422×2＝211，

（2）

422－221＝211，（3）

211－211＝0。

（4）

没必要辗转相减到最后，由式子

（2）知221与442成倍数关系，则（1105，1547）＝221。

例2求971和601的最大公约数。

∵971－601＝370，

（1）

601－370＝231，

（2）

370－231＝139，（3）

231－139＝92，（4）

139－92＝47，（5）

……

1－1＝0，

∴（971，601）＝1。

由（5）式可知（92，47）＝1，便可断定

（971，601）=1。

例3求27090、21672、11352和8127的最大公约数。

用这种方法约简分数、判断互质数等。

例略。

（7）小数缩倍法

就是求两个数的最大公约数时，如果这两个数不成倍数关系，就把小数依次除以2、3、4……，直到除得的商是较大数的约数为止，那个商就是所求的最大约数。

例如，求45和75的最大公约数。

45÷3＝15，15｜75，则（45，75）＝15。

（8）差除法

如果两个数的差能整除较小的数，那么这个差就是这两个数的最大公约数。

已知a－b＝c，且c｜b（a＞b）。

求证（a，b）＝c。

证明：

由c｜b，设b＝cq。

于是a＝b＋c＝cq＋c＝c（q＋1）。

在a＝c（q＋1）和b＝cq中，

因为（q＋1，q）＝1，

所以（a，b）＝c。

例如，求91和98的最大公约数。

∵98－91＝7，7｜91，

∴（91，98）＝7。

（9）倍差除法

当出现找出的差不能整除小数时，把小数再扩大几倍，使之略超过大数，用新得的数减去大数的差去除小数。

例4求112与420的最大公约数。

112×4＝448，448－420＝28，

28｜112，

则（11，420）＝28。

例5求168与630的最大公约数。

168×4=672，672－630＝42，

42｜168，

则（168，630）＝42。

能够这样解的依据是什么呢？

现证明如下（字母均为自然数）。

如果nb－a＝c，c＜b＜a，且c｜b，

那么（a，b）＝c。

证明：

设t是a，b的公约数，则t｜a，t｜b，

∴nb－a＝c，且c＜b＜a，

∵t｜nb，t｜c，

因此，a，b的公约数一定是b、c的公约数。

同理也可证明b、c的公约数一定是a、b的公约数。

所以a、b的最大公约数等于b、c的最大公约数。

即：

（a，b）=（b，c）。

又∵c｜b，

∴（a，b）＝（b，c）＝c。

或用差的从大到小的因数试除。

例6求161和115的最大公约数。

161－115＝46。

∵46

115，

而23｜115，

∴（161，115）＝23。

例7求95和152的最大公约数。

∵95×2－152＝38，

且38

95，

但19｜95，

∴（95，152）＝19。

这种方法，也适用于求三个以上数的最大公约数。

例8求217，62和93的最大公约数，

因为217－62－93＝62，

且31｜62、31｜93，

所以（217，62，93）=31。

例9求418、494和589的最大公约数。

因为494－418＝76，76

418，

418－（76×5）＝38，38｜76，

则（418，494）＝38。

而589－（38×15）＝19，19｜38，

所以（418，494，589）＝19。

例10判断255和182是否互质。

255－182＝73，73

182，

182－（73×2）＝36，36

73，

而73－（36×2）＝1，

所以（255，182）＝1，即为互质数。

4862－2618＝2244，

2618－2244＝374，374｜2244，

（10）分数法

把求最大公约数的两个数，写为真分数，逐次约成最简分数。

原分数的分子（或分母）除以最简分数的分子（或分母），商就是最大公约数。

例如，求24、30和36的最大公约数。

则（2430）＝6。

则（6，36）＝6。

所以（24，30，36）＝6。

（11）用商法

例如，求64与48的最大公约数。

先把两个数写成除法的形式，大数作被除数，小数作除数（除数为大于1的自然数）。

所得的商写成最简分数。

这两个数的最大公约数等于除数除以商的分母。

即：

48÷3＝16，∴（64，48）＝16。

如果，两个数相除，商为整数，那么，这两个数的最大公约数是除数。

这种方法也适用于求两个以上的数的最大公约数。

例如，求36、30和20的最大公约数。

所以（36，30，20）＝2。

（12）利用等式关系

利用（am，bm）＝m（a，b）。

例如，求36与54的最大公约数。

（36，54）＝（18×2，18×3）

＝18（2，3）＝18。

利用（an，bn）＝（a，b）n。

例如，求64与216的最大公约数。

（64，216）＝（43，63）

＝（4，6）3=23=8。

利用若（a，b）＝1，则（ac，b）＝（c，b）。

例1求46与253的最大公约数。

（46，253）＝（46，11×23）

＝（46，23）＝23。

例2求12，286的最大公约数。

（12，286）＝2（6，143）

＝2（6，11×13）＝2（6，13）＝2。

例3求245、315和560的最大公约数。

（245，315，560）＝5（49，63，112）

＝5（49，63，28×4）＝5（49，63，28）

＝5×7（7，9，4）＝35。

（13）口诀查找法

就是用乘法口诀对照求最大公约数的那几个数，看哪个因数是求最大公约数的那几个数的约数，再进一步判断那个公约数是不是所求的最大公约数。

例如，求56和72的最大公约数。

看56与72，立即想到乘法口诀“七八五十六”与“八九七十二”。

8是56与72的公约数，56的另一个约数7与72的另一个约数9成互质数，所以公约数8就是56与72的最大公约数。

（14）特征心算法

根据求最大公约数的那几个数所具有的能被某些数整除的特征确定。

例如，求24和30的最大公约数。

根据24和30能同时被2整除的特征，记下2；

再根据24和30还能同时被3整除，记下3；

由2乘3得6，24与30分别除以6的商分别是4与5，4与5互质，则（24，30）＝6。