高数总结.docx
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高数总结
一.函数的概念
1．用变上、下限积分表示的函数
考研数学知识点-高等数学
公式1．lim
x→0
sinx=1
n
x
x
（1）y=∫f（t）dt，其中f（t）连续，则dy=
f（x）
⎛1⎞
⎛1⎞
（2）y=
0
ϕ2（x）
∫ϕ（x）f
（t）dt，其中ϕ1
（x），ϕ2
dx
（x）可导，f（t）
公式2．lim⎜1+⎟
5
n→∞⎝n⎠
（）
=e；lim⎜1+⎟
u
n
u→∞⎝u⎠
=e；
1
连续，
lim1+vv=e
1
v→0
则dy=f[ϕ
dx2
（x）]ϕ2′（x）−f[ϕ1
（x）]ϕ1′（x）
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和
2．两个无穷小的比较
设limf（x）=0，limg（x）=0，且limf（x）=l
g（x）
数学二）
3
当x→0时，ex
2
=1+x+x+Λ
+x+0（xn）
（1）l=0，称f（x）是比g（x）高阶的无穷小，记以
=−x+x+
2!
+（−）n
n!
x2n+1
+（x2n+1）
f（x）=0[g（x）]，称g（x）是比f（x）低阶的无穷
sinxxΛ
3!
5!
1（2n
+1）!
0
3
x2x4
2n
x
n2n
小。
（2）l≠0，称f（x）与g（x）是同阶无穷小。
cosx=1−+
2
2!
4!
−Λ+（−1）（2n）!
+0（x）
（3）l=1，称f（x）与g（x）是等价无穷小，记以
ln（1+x）=x−x
+x−Λ
+（−1）
n+1xn
+0（xn）
f（x）~g（x）
arctan
23
3
5
x=x−x+x−Λ
+（−
1）n+1
n
x2n+1
n+
+0（x
2n+1）
3．常见的等价无穷小
当x→0时
3521
（1+x）α=1+αx+α（α−1）x2+Λ+α（α−1）Λ[α−（n−1）]xn+0（xn）
sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x
2!
n!
1−cosx~1x2，
2
（1+x）α−1~αx
二．求极限的方法
ex−1~x
，ln（1+x）~x，
6．洛必达法则
0
法则1．（型）设
（1）limf（x）=0，limg（x）=0
0
（2）x变化过程中，f′（x），g′（x）皆存在
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1．单调有界数列极限一定存在
（1）若xn+1≤xn（n为正整数）又xn≥m（n为正
f′（x）
（3）lim=A（或∞）
g′（x）
f（x）
整数），则limxn=A存在，且A≥m
n→∞
则lim
g（x）
=A（或∞）
（2）若xn+1≥xn（n为正整数）又xn≤M（n为正
整数），则limxn=A存在，且A≤M
n→∞
（注：
如果limf′（x）不存在且不是无穷大量情形，则
g′（x）
f（x）
准则2．（夹逼定理）设g（x）≤
f（x）≤h（x）
不能得出lim不存在且不是无穷大量情形）
（）
∞
gx
若limg（x）=A，limh（x）=A，则limf（x）=A
3．两个重要公式
1
法则2．（型）设
（1）limf（x）=∞，limg（x）=∞
∞
（2）x变化过程中，f′（x），g′（x）皆存在
Editedby杨凯钧2005年10月
f′（x）
（3）lim=A（或∞）
g′（x）
f（x）
考研数学知识点-高等数学
值，如果对于区间[a,b]上的任一点x，总有f（x）≤M，则称M为函数f（x）在[a,b]上的最大值。
同样可以定义最
则lim
g（x）
=A（或∞）
小值m。
定理3．（介值定理）如果函数f（x）在闭区间[a,b]上
7．利用导数定义求极限
f（x+∆x）−f（x）
00
基本公式：
lim=
f′（x0）
[如果
连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m
存在]
∆x→0∆x
和M之间的任何实数c，在[a,b]上至少存在一个ξ，使
得
8．利用定积分定义求极限
f（ξ）=c
1n⎛k⎞1
基本公式
limf⎜⎟=
∑∫
nn
f（x）dx
[如果存在]
推论：
如果函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（a）
n→∞
k=1⎝⎠0
三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：
（1）第一类间断点
与f（b）异号，则在（a,b）内至少存在一个点ξ，使得
f（ξ）=0
设x0是函数y=
f（x）的间断点。
如果f（x）在间断点
这个推论也称为零点定理五．导数与微分计算
x0处的左、右极限都存在，则称x0是f（x）的第一类间断
点。
1．导数与微分表
′
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（c）=0
d（c）=0
（2）第二类间断点
（xα）′=αxα−1（α实常数）d（xα）=αxα−1dx（α实常数）
′
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断
点。
（sinx）
′
=cosx
dsinx=cosxdx
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。
（cosx）
=−sinx
dcosx=−sinxdx
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间[a,b]上连续的函数f（x），有以下几个基本
（tanx）′=sec2x
a
（cotx）′=−csc2x
′
dtanx=sec2xdx
dcotx=−csc2xdx
性质。
这些性质以后都要用到。
（secx）
=secxtanx
dsecx=secxtanxdx
定理1．（有界定理）如果函数f（x）在闭区间[a,b]上
（cscx）′=−cscxcotx
dcscx=−cscxcotxdx
连续，则f（x）必在[a,b]上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f（x）在闭
（logx）′=
dlogax=
1
xlnadx
xlna
（a>0,a≠1）
（a>0,a≠1）
区间[a,b]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M和
（lnx）′=1
x
dlnx=1dx
x
最小值m。
其中最大值M和最小值m的定义如下：
（ax）′
=ax
lna（a>0,a≠1）
定义设f（x0）=M是区间[a,b]上某点x0处的函数
dax
=ax
lnadx（a>0,a≠1）
2Editedby杨凯钧2005年10月
（ex）′=ex
dex=exdx
考研数学知识点-高等数学
ψ′（t）存在，且ϕ′（t）≠0，则
（arcsinx）′=1
darcsinx=
1dx
dy=ψ′（t）
（ϕ′（t）≠0）
1−x2
1−x2
dxϕ′（t）
二阶导数
（arccosx）′=−
1
1−x2
darccosx=−
1dx
1−x2
d2y
d⎡dy⎤
⎢dx⎥
d⎡dy⎤
⎢dx⎥1
ψ′（t）ϕ′（t）−ψ′（t）ϕ′（t）
（arctanx）′=
1
1+x2
darctanx=
1dx
1+x2
=
dx2
⎣⎦=
dx
⎣⎦⋅=
dtdx
dt
[ϕ′（t）]3
（arccotx）′=−
1
1+x2
darccotx=−
1dx
1+x2
5．反函数求导法则
[ln（x+
dln（x+
x2+a2）]′=
x2+a2）=
1
x2+a2
1dx
x2+a2
设y=
f′（x）≠0
f（x）的反函数x=g（y），两者皆可导，且
[ln（x+
x2−a2）]′=
1
x2−a2
则g′（y）=
1
f′（x）=
1
f′[g（y）]
⎡
d
（f′（x）≠0）
1⎤
dln（x+
x2−a2）=
1dx
⎢f′（x）⎥
2．四则运算法则
[f（x）±g（x）]′=
x2−a2
f′（x）±g′（x）
二阶导数g′（y）=d[g′（y）]=
dy
⎣⎦⋅1
dxdy
dx
[f（x）⋅g（x）]′=
f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
f′（x）
=−
[f′（x）]3
f′[g（y）]
=−
{f′[g（y）]}3
（f′（x）≠0）
⎡f（x）⎤′
⎢g（x）⎥=
f′（x）g（x）−f（x）g′（x）
g2（x）
（g（x）≠0）
6．隐函数运算法则
⎣⎦设y=y（x）是由方程F（x,y）=0所确定，求y′的方
3．复合函数运算法则
设y=
f（u），u=ϕ（x），如果ϕ（x）在x处可导，f（u）
法如下：
把F（x,y）=0两边的各项对x求导，把y看作中间变
在对应点u处可导，则复合函数y=
且有
f[ϕ（x）]在x处可导，
量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y′的表达式（允
dy=dydu=
f′[ϕ（x）]ϕ′（x）
许出现y变量）
dxdudx
对应地dy=
f′（u）du=
f′[ϕ（x）]ϕ′（x）dx
7．对数求导法则
先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导
由于公式dy=
f′（u）du不管u是自变量或中间变量
方法得出导数y′。
都成立。
因此称为一阶微分形式不变性。
4．由参数方程确定函数的运算法则
对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数
②多个函数连乘除或开方求导数
设x=ϕ（t），y=ψ（t）确定函数y=y（x），其中ϕ′（t），
3
关于幂指函数
y=[f（x）]g（x）常用的一种方法
Editedby杨凯钧2005年10月
考研数学知识点-高等数学
y=eg（x）lnf（x）这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
（1）在闭区间[a,b]上连续；
8．可微与可导的关系
f（x）在x0处可微⇔
f（x）在x0处可导。
（2）在开区间（a,b）内可导；
则存在ξ∈（a,b），使得
9．求n阶导数（n≥2，正整数）
先求出y′,y′,Λ,总结出规律性，然后写出y（n），最后
用归纳法证明。
f（b）−f（a）
=
b−a
f′（ξ）
有一些常用的初等函数的n阶导数公式
或写成f（b）−f（a）=
f′（ξ）（b−a）
（a<ξ（1）y=ex
y（n）=ex
有时也写成f（x0
+∆x）−f（x0）=
f′（x0
+θ∆x）⋅∆x
（2）y=ax（a>0,a≠1）
y（n）=ax（lna）n
（0<θ<1）
（3）y=sinx
y（n）=sin⎛x+
nπ⎞
⎟
这里x0相当a或b都可以，∆x可正可负。
⎜
⎝2⎠
推论1．若f（x）在（a,b）内可导，且f′（x）≡0，则f（x）
（4）y=cosx
y（n）=⎛x+
nπ⎞
⎟
⎝2⎠
在（a,b）内为常数。
（5）
y=lnx
y（n）=（−1）n−1（n−1）!
x−n
推论2．若f（x），g（x）在（a,b）内皆可导，且
两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式
cos⎜
n
n
k
[u（x）v（x）]（n）=∑Cku（k）（x）v（n−k）（x）
=0
n!
f′（x）≡g′（x），则在（a,b）内f（x）=g（x）+c，其中c为
一个常数。
三．柯西中值定理（数学四不要）
设函数f（x）和g（x）满足：
C
其中
v（0）（x）=v（x）
k=，
nk!
（n−k）!
u（0）（x）=u（x），
（1）在闭区间[a,b]上皆连续；
（2）在开区间（a,b）内皆可导；且g′（x）≠0
假设u（x）和v（x）都是n阶可导。
微分中值定理
则存在ξ∈（a,b）使得
一．罗尔定理
设函数f（x）满足
f（b）−f（a）
g（b）−g（a）=
f′（ξ）
g′（ξ）
（a<ξ（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间（a,b）内可导；
（注：
柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特
殊情形g（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定
理。
）
（3）f（a）=
f（b）
四．泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）
则存在ξ∈（a,b），使得f′（ξ）=0
二．拉格朗日中值定理
设函数f（x）满足
定理1．（皮亚诺余项的n阶泰勒公式）
f（）（x）（）n
设f（x）在x0处有n阶导数，则有公式
f（x）=f（x0）+
f′（x0）（x−x）+
1!
0
f′′（x0）（x−x）2
2!
0
+Λ+
n
0x−x
n!
0
+Rn（x）
4Editedby杨凯钧2005年10月
（x→x0）
考研数学知识点-高等数学
的一个极小值，称x0为函数f（x）的一个极小值点。
其中Rn
余项。
⎛
（x）=0[（x−x
0⎠
⎞
）n]
（x→x0
）称为皮亚诺
函数的极大值与极小值统称极值。
极大值点与极小值点统称极值点。
2．必要条件（可导情形）
）
x
⎜lim
Rn（x）
=0⎟
⎜x→x
⎝0
（x−n⎟
设函数f（x）在x0处可导，且x0为f（x）的一个极值
0
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不
同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如
ex,sinx,cosx,ln（1+x）和（1+x）α（α为实常数）等的n
点，则f′（x0
）=0。
阶泰勒公式都要熟记。
定理2（拉格朗日余项的n阶泰勒公式）
设f（x）在包含x0的区间（a,b）内有n+1阶导数，在
[a,b]上有n阶连续导数，则对x∈[a,b]，有公式
我们称x满足f′（x0）=0的x0为f（x）的驻点可导函
数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
3．第一充分条件
（）（）
f′（x）（）
f′（x）（）
f（）（x）（）n（）
fx=
fx0+
0x−x+
1!
0
0x−x
2!
0
2+Λ+
n
0x−x
n!
0
+Rnx
设f（x）在x0处连续，在0<
x−x0
<δ内可导，
其中Rn（x）=
f（n+1）（ξ）
（n+1）!
（x−x0）
n+1
，（ξ在x0与x之
f′（x0
）不存在，或f′（x0
）=0。
1°如果在
间）
（x0−δ,x0）内的任一点x处，有
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。
当
f′（x）>0，而在（x0
x0
+δ）内的任一点x处，有
x0=0时，也称为n阶麦克劳林公式。
如果limRn（x）=0，那么泰勒公式就转化为泰勒级
n→∞
f′（x）<0，则f（x0）为极大值，x0为极大值点；
2°如果在（x0−δ,x0）内的任一点x处，有
数，这在后面无穷级数中再讨论。
f′（x）<0，而在（x0,x0+δ）内的任一点x处，有
导数的应用：
一．基本知识
f′（x）>0，则f（x0
）为极小值，x0为极小值点；
1．定义
设函数f（x）在（a,b）内有定义，x0是（a,b）内的某一
3°如果在（x0
−δ,x0
）内与（x0
x0
+δ）内的任一点
点，则
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
x处，f′（x）的符号相同，那么f（x0）不是极值，x0不是
极值点。
4．第二充分条件
x（x≠x0），总有f（x）<
f（x0），则称f（x0）为函数f（x）
设函数
f（x）在x0处有二阶导数，且
f′（x0）=0，
的一个极大值，称x0为函数f（x）的一个极大值点；
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点
f′（x0）≠0，则
当f′（x0）<0时，f（x0）为极大值，x0为极大值点。
x（x≠x0），总有f（x）>
f（x0），则称f（x0）为函数f（x）
5
当f′（x0）>0时，f（x0）为极小值，x0为极小值点。
Editedby杨凯钧2005年10月
考研数学知识点-高等数学
二．函数的最大值和最小值
y=f（x）在（a,b）内是凸的。
1．求函数f（x）在[a,b]上的最大值和最小值的方法
求曲线y=
f（x）的拐点的方法步骤是：
首先，求出f（x）在（a,b）内所有驻点和不可导点
x1,Λ,xk，其次计算f（x1）,Λ,f（xk）,f（a）,f（b）。
最后，比较f（x1）,Λ,f（xk）,f（a）,f（b），
其中最大者就是f（x）在[a,b]上的最大值M；其中最
小者就是f（x）在[a,b]上的最小值m。
2．最大（小）值的应用问题
第一步：
求出二阶导数f′（x）；
第二步：
求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的
点x1、x2、…、xk；第三步：
对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数
的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；
第四步：
求出拐点的纵坐标。
四．渐近线的求法
1．垂直渐近线
首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。
若lim
x→a+
f（x）=∞或lim
x→a−
f（x）=∞
三．凹凸性与拐点
1．凹凸的定义
则x=a为曲线y=
2．水平渐近线
f（x）的一条垂直渐近线。
设f（x）在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，
恒有
若lim
x→+∞
f（x）=b，或lim
x→−∞
f（x）=b
则y=b是曲线y=
f（x）的一条水平渐近线。
⎛x1+x2⎞1
⎛⎛x1+x2⎞1
3．斜渐近线
⎞
f⎜⎟>
[f（x1）+f（x2）]⎜f⎜
⎟<[f（x1）+f（x2）]⎟
f（x）
⎝2⎠2
⎝⎝2⎠2
⎠若lim
f（x）
x→+∞x
=a≠0，lim[f（x）−ax]=b
x→+∞
则称f（x）在I上是凸（凹）的。
或lim
=a≠0，lim[f（x）−ax]=b
x→−∞
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