高数总结.docx

1、高数总结一. 函数的概念1用变上、下限积分表示的函数考研数学知识点-高等数学公式 1 limx0sin x = 1nxx（1） y = f (t )dt ，其中 f (t ) 连续，则 dy =f (x) 1 1 （2）y =0 2 ( x ) ( x ) f(t )dt ，其中1(x) ， 2dx(x) 可导，f (t )公式 2 lim1 + 5n n ( )= e ； lim1 + unu u = e ；1连续，lim 1 + v v = e1v0则 dy = f dx 2(x) 2 (x) f 1(x)1 (x)4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数

2、学一和2两个无穷小的比较设 lim f (x) = 0 ， lim g (x) = 0 ，且 lim f (x) = lg (x)数学二）3当 x 0 时， e x2= 1 + x + x + + x + 0(x n )（1） l = 0 ，称 f (x) 是比 g (x) 高阶的无穷小，记以= x + x +2!+ ( )nn!x 2 n+1+ (x 2 n +1 )f (x) = 0g (x) ，称 g (x) 是比 f (x) 低阶的无穷sin x x 3! 5!1 (2n+ 1)! 03x 2 x 42 nxn 2 n小。（2） l 0 ，称 f (x) 与 g (x) 是同阶无穷小。

3、cos x = 1 +22!4! + ( 1) (2n)! + 0(x )（3 ） l = 1 ，称 f (x) 与 g (x) 是等价无穷小，记以ln(1 + x) = x x+ x + ( 1)n +1 x n+ 0(x n )f (x) g (x)arctan2 335x = x x + x + (1)n+1nx 2 n+1n + 0(x2 n +1 )3常见的等价无穷小当 x 0 时3 5 2 1(1+ x) =1+x + ( 1) x2 + + ( 1) (n 1) xn + 0(xn )sin x x ，tan x x ，arcsin x x ，arctan x x2! n!1 c

4、os x 1 x 2 ，2(1 + x) 1 x二求极限的方法e x 1 x， ln(1 + x) x ，6洛必达法则0法则 1（ 型）设（1）lim f (x) = 0 ，lim g (x) = 00（2） x 变化过程中， f (x) ， g (x) 皆存在1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则 1单调有界数列极限一定存在（1）若 xn +1 xn （ n 为正整数）又 xn m （ n 为正f (x)（3） lim = A （或 ）g (x)f (x)整数），则 lim xn = A 存在，且 A mn则 limg (x)= A （或 ）（2）若 xn +1 xn （ n 为

5、正整数）又 xn M （ n 为正整数），则 lim xn = A 存在，且 A Mn（注：如果 lim f (x) 不存在且不是无穷大量情形，则g (x)f (x)准则 2（夹逼定理）设 g (x) f (x) h(x)不能得出 lim 不存在且不是无穷大量情形）( )g x若 lim g (x) = A ， lim h(x) = A ，则 lim f (x) = A3两个重要公式1法则 2（ 型）设（1）lim f (x) = ，lim g (x) = （2） x 变化过程中， f (x) ， g (x) 皆存在Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月f (x)（3） lim =

6、 A （或 ）g (x)f (x)考研数学知识点-高等数学值，如果对于区间 a, b上的任一点 x ，总有 f (x) M ， 则称 M 为函数 f (x) 在 a, b上的最大值。同样可以定义最则 limg (x)= A （或 ）小值 m 。定理 3（介值定理）如果函数 f (x) 在闭区间 a, b上7利用导数定义求极限f (x + x) f (x )0 0基本公式： lim =f (x0 )如果连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m ，则对于介于 m存在x0 x和 M 之间的任何实数 c ，在 a, b上至少存在一个 ，使得8利用定积分定义求极限f ( ) = c1 n k 1基本公

7、式lim f = n nf (x)dx如果存在推论：如果函数 f (x) 在闭区间 a, b上连续，且 f (a)nk =1 0三函数的间断点的分类 函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点与 f (b) 异号，则在 (a, b) 内至少存在一个点 ，使得f ( ) = 0设 x0 是函数 y =f (x) 的间断点。如果 f (x) 在间断点这个推论也称为零点定理 五导数与微分计算x0 处的左、右极限都存在，则称 x0 是 f (x) 的第一类间断点。1导数与微分表第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。(c) = 0d (c) = 0（2）第二类间断点(x ) = x 1（ 实常数）d (

8、x ) = x 1 dx（ 实常数）第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。(sin x)= cos xd sin x = cos xdx常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。(cos x)= sin xd cos x = sin xdx四闭区间上连续函数的性质在闭区间 a, b上连续的函数 f (x) ，有以下几个基本(tan x) = sec 2 xa(cot x) = csc 2 xd tan x = sec 2 xdxd cot x = csc 2 xdx性质。这些性质以后都要用到。(sec x)= sec x tan xd sec x = sec x tan xdx定理

9、 1（有界定理）如果函数 f (x) 在闭区间 a, b上(csc x) = csc x cot xd csc x = csc x cot xdx连续，则 f (x) 必在 a, b上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函数 f (x) 在闭(log x) =d log a x =1x ln a dxx ln a(a 0, a 1)(a 0, a 1)区间 a, b上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和(ln x) = 1xd ln x = 1 dxx最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：(a x )= a xln a (a 0, a 1)定义 设 f (x0 )

10、= M 是区间 a, b上某点 x0 处的函数da x= a xln adx (a 0, a 1)2 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月(e x ) = e xde x = e x dx考研数学知识点-高等数学 (t ) 存在，且 (t ) 0 ，则(arcsin x) = 1d arcsin x =1 dxdy = (t )( (t ) 0)1 x 21 x 2dx (t ) 二阶导数(arccos x) = 11 x 2d arccos x = 1 dx1 x 2d 2 yd dy dx d dy dx 1 (t ) (t ) (t ) (t ) (arctan x) =1

11、1 + x 2d arctan x =1 dx1 + x 2=dx 2 =dx =dt dxdt (t )3(arc cot x) = 11 + x 2darc cot x = 1 dx1 + x 25反函数求导法则ln(x +d ln(x +x 2 + a 2 ) =x 2 + a 2 )=1x 2 + a 21 dxx 2 + a 2设 y =f (x) 0f (x) 的反 函数 x = g ( y ) ，两者 皆可导，且ln(x +x 2 a 2 ) =1x 2 a 2则 g ( y ) =1f (x) =1f g ( y )d( f (x) 0)1 d ln(x +x 2 a 2 )=

12、1 dx f (x)2四则运算法则 f (x) g (x) =x 2 a 2f (x) g (x)二阶导数 g ( y ) = d g ( y ) =dy 1dx dydx f (x) g (x) =f (x)g (x) + f (x)g (x)f (x)= f (x)3f g ( y )= f g ( y )3( f (x) 0) f (x) g (x) =f (x)g (x) f (x)g (x)g 2 (x)(g (x) 0)6隐函数运算法则 设 y = y(x) 是由方程 F (x, y ) = 0 所确定，求 y 的方3复合函数运算法则设 y =f (u ) ，u = (x) ，如果

13、 (x) 在 x 处可导，f (u )法如下：把 F (x, y ) = 0 两边的各项对 x 求导，把 y 看作中间变在对应点 u 处可导，则复合函数 y =且有f (x) 在 x 处可导，量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y 的表达式（允dy = dy du =f (x) (x)许出现 y 变量）dx du dx对应地 dy =f (u )du =f (x) (x)dx7对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导由于公式 dy =f (u )du 不管 u 是自变量或中间变量方法得出导数 y 。都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4由参数方程确定函数的运算法则对数求导

14、法主要用于：幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数设 x = (t ) ，y = (t ) 确定函数 y = y(x) ，其中 (t ) ，3关 于 幂指函 数y = f (x)g ( x ) 常用的 一 种方法 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-高等数学y = e g ( x ) ln f ( x ) 这样就可以直接用复合函数运算法则进行。（1）在闭区间 a, b上连续；8可微与可导的关系f (x) 在 x0 处可微 f (x) 在 x0 处可导。（2）在开区间 (a, b) 内可导；则存在 (a, b) ，使得9求 n 阶导数（ n 2 ，正整数）先求出

15、y, y , , 总结出规律性，然后写出 y (n ) ，最后用归纳法证明。f (b) f (a)=b af ( )有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式或写成 f (b) f (a ) =f ( )(b a )(a 0, a 1)y (n ) = a x (ln a )n(0 1)（3） y = sin xy (n ) = sin x +n 这里 x0 相当 a 或 b 都可以， x 可正可负。 2 推论 1若 f (x) 在 (a, b) 内可导，且 f (x) 0 ，则 f (x)（4） y = cos xy (n ) = x +n 2 在 (a, b) 内为常数。(5)y = ln x

16、y (n ) = ( 1)n 1 (n 1)! x n推论 2 若 f (x) ， g (x) 在 (a, b) 内皆可导，且 两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式cosnnku(x)v(x)(n ) = C k u (k ) (x)v (n k ) (x)=0n!f (x) g (x) ，则在 (a, b) 内 f (x) = g (x) + c ，其中 c 为一个常数。三柯西中值定理（数学四不要）设函数 f (x) 和 g (x) 满足：C其中 v (0 ) (x) = v(x)k = ，n k!(n k )!u (0 ) (x) = u(x) ，（1）在闭区间a, b 上皆连续；（2

17、）在开区间 (a, b) 内皆可导；且 g (x) 0假设 u(x)和 v(x) 都是 n 阶可导。微分中值定理则存在 (a, b) 使得一罗尔定理设函数 f (x) 满足f (b) f (a )g (b) g (a ) =f ( )g ( )(a b)（1）在闭区间 a, b上连续；（2）在开区间 (a, b) 内可导；（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形 g (x) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）（3） f (a) =f (b)四泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）则存在 (a, b) ，使得 f ( ) = 0二拉格朗日中值定理设函数 f (x) 满足

18、定理 1（皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式）f ( ) (x ) ( )n设 f (x) 在 x0 处有 n 阶导数，则有公式f (x) = f (x0 ) +f (x0 ) (x x ) +1! 0f (x0 ) (x x )22! 0+ +n0 x xn! 0+ Rn (x)4 Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月(x x0 )考研数学知识点-高等数学的一个极小值，称 x0 为函数 f (x) 的一个极小值点。其中 Rn余项。(x) = 0(x x0 )n (x x0) 称为皮亚诺函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值 点统称极值点。2必要条件（可导情形）)x limRn

19、 (x)= 0 x x 0(x n 设函数 f (x) 在 x0 处可导，且 x0 为 f (x) 的一个极值0前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的 n ，所以对常用的初等函数如 e x , sin x, cos x, ln(1 + x) 和 (1 + x) （ 为实常数）等的 n点，则 f (x0) = 0 。阶泰勒公式都要熟记。定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式）设 f (x) 在包含 x0 的区间 (a, b) 内有 n + 1 阶导数，在a, b上有 n 阶连续导数，则对 x a, b，有公式我们称 x 满足 f (x0 ) = 0 的 x0 为 f (x

20、) 的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点 中进一步去判断。3第一充分条件( ) ( )f (x ) ( )f (x ) ( )f ( ) (x ) ( )n ( )f x =f x0 +0 x x +1! 00 x x2! 02 + +n0 x xn! 0+ Rn x设 f (x) 在 x0 处连续，在 0 x x0 0 ，而在 (x0, x0+ ) 内的任一点 x 处，有x0 = 0 时，也称为 n 阶麦克劳林公式。如果 lim Rn (x) = 0 ，那么泰勒公式就转化为泰勒级nf (x) 0 ，则 f (x0 ) 为极大值， x0 为

21、极大值点；2 如果在 (x0 , x0 ) 内的任一点 x 处，有数，这在后面无穷级数中再讨论。f (x) 0 ，则 f (x0) 为极小值， x0 为极小值点；1定义设函数 f (x) 在 (a, b) 内有定义， x0 是 (a, b) 内的某一3 如果在 (x0 , x0) 内与 (x0, x0+ ) 内的任一点点，则如果点 x0 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x 处， f (x) 的符号相同，那么 f (x0 ) 不是极值， x0 不是极值点。4第二充分条件x(x x0 ) ，总有 f (x) f (x0 ) ，则称 f (x0 ) 为函数 f (x)设函数f (x) 在 x0

22、处有二阶导数，且f (x0 ) = 0 ，的一个极大值，称 x0 为函数 f (x) 的一个极大值点；如果点 x0 存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点f (x0 ) 0 ，则当 f (x0 ) f (x0 )，则称 f (x0 ) 为函数 f (x)5当 f (x0 ) 0 时， f (x0 ) 为极小值， x0 为极小值点。Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学知识点-高等数学二函数的最大值和最小值y = f (x) 在 (a, b) 内是凸的。1求函数 f (x) 在 a, b上的最大值和最小值的方法求曲线 y =f (x) 的拐点的方法步骤是：首先，求出 f (x)

23、 在 (a, b) 内所有驻点和不可导点 x1 , , xk ，其次计算 f (x1 ), , f (xk ), f (a ), f (b) 。最后，比较 f (x1 ), , f (xk ), f (a ), f (b) ，其中最大者就是 f (x) 在 a, b上的最大值 M ；其中最小者就是 f (x) 在 a, b上的最小值 m 。2最大（小）值的应用问题第一步：求出二阶导数 f (x) ；第二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点 x1 、 x2 、 xk ； 第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。四

24、渐近线的求法1垂直渐近线首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间， 然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。若 limxa +f (x) = 或 limxa f (x) = 三凹凸性与拐点1凹凸的定义则 x = a 为曲线 y =2水平渐近线f (x) 的一条垂直渐近线。设 f (x) 在区间 I 上连续，若对任意不同的两点 x1 , x2 ，恒有若 limx+f (x) = b ，或 limxf (x) = b则 y = b 是曲线 y =f (x) 的一条水平渐近线。 x1 + x2 1 x1 + x2 13斜渐近线f f (x1 ) + f (x2 ) f f (x1 ) + f (x2 )f (x) 2 2 2 2 若 limf (x)x+ x= a 0 ， lim f (x) ax = bx+则称 f (x) 在 I 上是凸（凹）的。或 lim= a 0 ， lim f (x) ax = bx