浙江省金华市金东区学年九年级上学期期末数学试题及答案.docx
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浙江省金华市金东区学年九年级上学期期末数学试题及答案
浙江省金华市金东区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°
2．经过圆锥顶点的截面的形状可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是
A．点A在圆外B．点A在圆上
C．点A在圆内D．不能确定
4．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上，点A，B的度数分别为86°和30°，则∠ACB的度数为（ ）
A．28°B．30°C．43°D．56°
5．如图，一个斜坡长130
，坡顶离水平地面的距离为50
，那么这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6．正方形外接圆的半径为2，则其内切圆的半径为（ ）
A．
B．
C．1D．
7．如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2，sinA=
，则弦AB的长为（ ）
A．
B．
C．4D．
8．如图，将函数y＝
（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（ ）
A．y＝
（x﹣2）2-2B．y＝
（x﹣2）2+7
C．y＝
（x﹣2）2-5D．y＝
（x﹣2）2+4
9．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B,AD＝1，AC＝2,△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．二次函数
（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）
A．4ac＜b2B．abc＜0C．b+c＞3aD．a＜b
二、填空题
11．若
＝
，则
＝__________.
12．若二次函数
的图象与x轴只有一个公共点，则实数n=______．
13．在圆内接四边形ABCD中，
，则
的度数为______．
14．一个圆柱的底面直径为20，母线长为15，则这个圆柱的侧面积为______．
15．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则
的值______．
16．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，DE为以AB为直径的半圆的切线，切点为F，连结CF，则ED的长为______，CF的长为______．
三、解答题
17．计算：
sin30°•tan45°+sin260°﹣2cos60°．
18．已知抛物线
（b是常数）经过点
．求该抛物线的解析式和顶点坐标．
19．如图，已知AB是
的直径，点D为弦BC中点，过点C作
切线，交OD延长线于点E，连结BE，OC．
（1）求证：
EC＝EB．
（2）求证：
BE是⊙O的切线．
20．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧
用直尺和圆规作出
所在圆的圆心O；
要求保留作图痕迹，不写作法
若
的中点C到弦AB的距离为
，求
所在圆的半径．
21．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表．
实验种植数（粒）
1
5
50
100
200
500
1000
2000
3000
发芽频数
0
4
45
92
188
476
951
1900
2850
（1）估计该麦种的发芽概率．
（2）如果播种该种小麦每公顷所需麦苗数为4000000棵，种子发芽后的成秧率为80%，该麦种的千粒质量为50g．那么播种3公顷该种小麦，估计约需麦种多少千克（精确到1kg）？
22．已知如图，点C在线段AB上，过点B作直线
，点P为直线l上的一点，连结AP，点Q为AP中点，作
，垂足为R，连结CQ，
，
，
．
（1）求CR的长．
（2）求证：
△RCQ∽△QCA．
（3）求∠AQC的度数．
23．如图，已知AB是圆O直径，过圆上点C作
，垂足为点D．连结OC，过点B作
，交圆O于点E，连结AE，CE，
，
．
（1）求证：
△CDO∽△AEB．
（2）求sin∠ABE的值．
（3）求CE的长．
24．已知抛物线
与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
（1）当△ABC为直角三角形时，求△ABC的面积．
（2）如图，当AP
BC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长；
（3）当以点A，B，P为顶点的三角形和△ABC相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】
A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
2．B
【解析】
【详解】
试题解析：
经过圆锥顶点的截面的形状可能B中图形，
故选B．
3．C
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．
【详解】
解：
∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
∴d＜r，
∴点A与⊙O的位置关系是：
点A在圆内，
故选C．
4．A
【解析】
【分析】
设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB＝86°−30°＝56°，根据圆周角定理得∠ACB＝
∠AOB，即可得到∠ACB的大小．
【详解】
设半圆圆心为O，连OA，OB，如图，
∵∠ACB＝
∠AOB，
而∠AOB＝86°−30°＝56°，
∴∠ACB＝
×56°＝28°．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
5．C
【解析】
【分析】
如图（见解析），先利用勾股定理求出AC的长，再根据正切三角函数的定义即可得．
【详解】
如图，由题意得：
是斜坡与水平地面的夹角，
由勾股定理得：
，
则
，
即这个斜坡与水平地面夹角的正切值等于
，
故选：
C．
【点睛】
本题考查了勾股定理、正切，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键．
6．B
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，再由正方形及等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AE＝OE，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴OE＝AE，OE2＝AE2=OA2，即2OE2=OA2=4，
∴OE=
．
故选：
B．
【点睛】
本题考查的是正方形和圆、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意画出图形，利用勾股定理是解答此题的关键，属于中考常考题型．
7．D
【解析】
【详解】
试题分析：
延长AO交圆于点C，连接BC，则∠B=90°，sinA=
，AC=2AO=4，所以BC=
，根据勾股定理得AB=
．
故选D．
考点：
圆周角的性质；锐角三角形函数；勾股定理．
8．D
【解析】
【详解】
∵函数
的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m=
=
，n=
=3，
∴A（1，
），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，
），
∴AC=4﹣1=3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC•AA′=3AA′=9，
∴AA′=3，即将函数
的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是
．
故选D．
9．C
【解析】
【分析】
证明△ACD∽△ABC，由此得到
，求得
，即可求出答案.
【详解】
解：
∵
，
，
，
，
，
，
∴
．
故选：
C．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质：
相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
10．D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与性质逐一判断即可求出答案．
【详解】
由图象可知：
△＞0，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，
故A正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的负半轴，
∴c＜0，
∵抛物线对称轴为x=
＜0，
∴b＜0，
∴abc＜0，
故B正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＞0，
∵4a＜0，
∴a+b+c＞4a，
∴b+c＞3a，
故C正确；
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，
∴a﹣b+c＞c，
∴a﹣b＞0，
∴a＞b，
故D错误；
故选D．
考点：
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程、不等式之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11．
【解析】
【分析】
由比例的性质即可解答此题.
【详解】
∵
，
∴a=
b，
∴
=
，
故答案为
【点睛】
此题考查了比例的基本性质，熟练掌握这个性质是解答此题的关键.
12．4．
【解析】
【详解】
】解：
y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n，b2﹣4ac=16﹣4n=0，解得n=4．故答案为4．
13．110°##110度
【解析】
【分析】
根据圆内接四边形对角互补，得∠D+∠B=180°，结合已知求解即可．
【详解】
∵圆内接四边形对角互补，
∴∠D+∠B=180°，
∵
∴∠D=110°，
故答案为：
110°．
【点睛】
本题考查了圆内接四边形互补的性质，熟练掌握并运用性质是解题的关键．
14．300π
【解析】
【分析】
根据圆柱侧面积=底面周长×高即可求得侧面积．
【详解】
圆柱的侧面展开图的面积是：
π×20×15=300π，
故答案为：
300π．
【点睛】
本题考查了圆柱的计算，解题的关键是弄清圆柱的侧面积的计算方法，圆柱的侧面积=底面圆的周长×高．
15．3
【解析】
【分析】
连接BE，OE=
=
，BE=
=3
，BO=
，
根据勾股定理的逆定理判定△OBE是直角三角形，从而计算正切值即可．
【详解】
∵连接BE，OE=
=
，BE=
=3
，BO=
，
∴
，
∴△OBE是直角三角形，
∴
=tan∠BOE=
=3，
故答案为：
3．
【点睛】
本题考查了网格上的三角函数的正切计算，熟练运用勾股定理，勾股定理的逆定理，正切的定义即对边与邻边的比值，是解题的关键．
16． 5
##
【解析】
【分析】
先证明BE、AD也是半圆的切线，即可根据切线长定理得到EB=EF、DA=DF，再在△DCE中即可求出DE的值；过F作FG⊥DC于G，根据相似求出FG、CG的长，最后根据勾股定理即可求出CF的值．
【详解】
∵正方形ABCD
∴CD=AD=BC=4，CE⊥AB，DA⊥AB
∵以AB为直径的半圆
∴BE、AD也是半圆的切线
∵DE为以AB为直径的半圆的切线，
∴EB=EF、DA=DF=4
∴EC=BC-BE=4-EF，DE=DF+EF=4+EF
在Rt△DCE中，
∴
解得
∴DE=DF+EF=4+EF=5
过F作FG⊥DC于G，如图
∴
∴
∴
解得
∴
∴在Rt△CFG中，
故答案为：
5，
【点睛】
本题考查切割线定理、相似三角形的性质与判定，解题的关键是能看出有多条切线．
17．
【解析】
【分析】
将特殊角的三角形函数值代入计算即可
【详解】
原式
【点睛】
本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．
18．抛物线解析式为：
，抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
【解析】
【分析】
根据抛物线经过点A，利用待定系数法求解析式，将点A坐标代入解析式，解方程求出抛物线解析式，然后配方为顶点式即可
【详解】
解：
∵抛物线
（b是常数）经过点
，
∴把点A坐标代入解析式得
，
解得：
b=-2，
∴抛物线解析式为：
，
把抛物线配方得
，
抛物线的顶点坐标为（1，-4）．
【点睛】
本题考查待定系数法求抛物线解析式，解一元一次方程，将抛物线配方为顶点式，确定顶点坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，解一元一次方程，将抛物线配方为顶点式，确定顶点坐标是解题关键．
19．
（1）见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由垂径定理可得OD⊥BC、CD=DB、∠CDE=∠BDE，然后说明Rt△CDE≌Rt△BDE，最后运用全等三角形的性质即可证明；
（2）由等腰三角形的性质可得∠ECB=∠EBC、∠OCB=∠OBC,再根据CE是
切线得到∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°，进而说明BE⊥AB即可证明．
（1）
证明：
∵点D为弦BC中点
∴OD⊥BC,CD=DB
∴∠CDE=∠BDE
在Rt△CDE和Rt△BDE
CD=BD,∠CDE=∠BDE,DE=DE
∴Rt△CDE≌Rt△BDE
∴EC=EB．
（2）
证明：
∵EC=EB，OC=OB
∴∠ECB=∠EBC,∠OCB=∠OBC,
∵CE是
切线
∴∠OCE=90°，即∠OCB+∠BCE=90°
∴∠OBC+∠EBC=90°，即BE⊥AB
∴BE是
的切线．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、切线的证明、等腰三角形的性质等知识点，掌握垂径定理是解答本题的关键．
20．
（1）见解析；
（2）50m
【解析】
【分析】
连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
连接
交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为
的中点得到
，则
，设
的半径为r，在
中利用勾股定理得到
，然后解方程即可．
【详解】
解：
如图1，
点O为所求；
连接
交AB于D，如图2，
为
的中点，
，
，
设
的半径为r，则
，
在
中，
，
，解得
，
即
所在圆的半径是50m．
【点睛】
本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．
21．
（1）该麦种的发芽概率约为95%；
（2）约需麦种790千克
【解析】
【分析】
（1）利用频率估计麦种的发芽率，大数次实验，当频率固定到一个稳定值时，可根据频率公式=频数÷总数计算即可；
（2）设约需麦种x千克，根据x千克转化为克×1000，再转为颗粒÷50×1000，根据发芽率再×95%，根据芽转苗再×80%，等于三公顷地需要的苗总数，例方程x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，解方程即可
（1）
解：
根据实验数量变大，发芽数也在增大，2850÷3000×100%=95%，
故该麦种的发芽概率约为95%；
（2）
解：
设约需麦种x千克，
x×1000÷50×1000×95%×80%=4000000×3，
化简得15200x=12000000，
解得x=789
，
答：
约需麦种790千克
【点睛】
本题考查用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题，掌握用频率估计发芽率，一元一次方程解应用题的方法与步骤是解题关键．
22．
（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】
（1）根据QR∥BP即可求出AR的值，根据CR=AC-AR计算即可；
（2）根据
证明即可；
（3）由
（2）的相似可得
（1）
∵
，
∴QR∥BP
∴
∵点Q为AP中点，
∴
∵
，
，
∴AB=3
∴
∴
（2）
∵
∴
∵
∴
（3）
∵
∴
【点睛】
本题考查相似三角形性质与判定，熟练证明相似是解题的关键．
23．
（1）见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】
（1）由题意和垂径定理可得∠AEB=∠ODC=90°，再由
得到∠BOC=∠ABE即可证明结论；
（2）先根据题意求得OA、OB、OCOD、CD、AC的长，然后根据正弦的定义求得sin∠BOC，然后再根据∠BOC=∠ABE即可解答；
（3）连接OE并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC,即EF=AB=6，然后根据平行线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质证得△ADC∽△ECF，最后运用相似三角形的性质解答即可．
（1）
证明：
∵AB是圆O直径
∴∠AEB=90°
∵
∴∠ODC=90°
∴∠AEB=∠ODC=90°
∵
∴∠BOC=∠ABE
∴
．
（2）
解：
∵
∴OA=OB=OC=3
∵
，
∴OD=OB-BD=3-1=2,AD=AB-BD=5
∴CD=
，
∴sin∠BOC=
∵∠BOC=∠ABE
∴
=sin∠BOC=
．
（3）
解：
连接EO并延长交圆O于点F，然后连接FC、AC、BC，即EF=AB=6
∴∠ECF=90°,∠CAB=∠CEB
∴∠ADC=∠ECF=90°，
∴
，
∵
∴∠OCE=∠CEB
∴∠CAB=∠OCE
∵OE=OC
∴∠OEC=∠OCE
∴∠CAB=∠OEC
∴△ADC∽△ECF
∴
即
，解得：
EC=
．
【点睛】
本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
24．
（1）4
（2）2
（3）
或
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
（1）
解：
由抛物线
开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则
，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=（-2-0）2+[0-（-2）]2=8,BC2=（m-0）2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当
为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2=AC2+BC2，即（m+2）2=8+m2+4，解得m=2
∴AB=m+2=4
∴
的面积为：
·AB·OC=
×4×2=4．
（2）
解：
设BC所在直线的解析式为：
y=kx+b
则
，解得
∴BC所在直线的解析式为y=
x-2
设直线AP的解析式为y=
x+c
则有：
0=
×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=
x+
联立
解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，
）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB=m+2-m=2．
（3）
解：
∵点P为抛物线
上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，
）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和
相似时，有三种情况：
①（ⅰ）若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△CAB，
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：
m=
或m=
（舍去）
∴m=
；
②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
（ⅰ）若△ABP∽△ABC,则
点C与点P重合，不合题意；
（ⅰⅰ）若△ABP∽△ACB,则
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：
m=
（舍去）或m=
∴m=
；
③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
ⅰ）过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；
ⅱ）取点C关于x轴的对称点
，连接并延长
交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；
综上，m的值为m=
或m=
．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
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