2）对一切（i，j）∈u-,有fij>0;则称u是一条关于{vs-vt}的增广链
新的流为：
6、答：
首先求出目标规划的最优先级目标解，然后把已经求得的优先级的目标最优解作为下一优先级目标规划的约束条件来求解，以此类推，逐级求得所有优先级的目标最优解。
7、答：
首先对于管理部门提出的每一个目标，由决策者确定一个具体的数量目标，并对每一个目标建立目标函数，然后寻求一个使目标函数和对应目标之间的偏差之和达到最小的解.
8、答：
无圈的、最小的、连通的生成子图；在连通图中逢圈去掉最大的边。
9、答：
具有表达对象之间特定关系的含义（如朋友关系，地点之间的通路关系）
10、答：
在给定的无向图G（V,E）中，保留G中所有的点，而删掉G的部分边剩下（或保留）部分边所得到的图称为图G的生成子图。
11、答：
在赋权有向图D（V,A）中指定了一个点（Vs），称为为发点,指定另一个点（Vt）为收点,其余的点为中间点，并把D中的每一条弧的赋权数Cij称之为弧（Vi,Vj）的容量,这样的赋权有向图D就称之为网络。
12、答：
看在单纯形方法的最优解中是否存在非基变量的检验数为零的情况。
如果存在，则存在最优解。
13、答：
看在运输问题的最优方案是否存在非基变量的检验数为零。
如果存在，则存在最优解。
二、判断下列说法的正确性（☆---对，¤---错）
1、线性规划问题可行解X为基可行解的充分必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的。
☆
2、线性规划模型的每一个基可行解对应可行域的一个顶点。
☆
3、如线性规划问题的标准型为型，则当检验数时，相应的基可行解是最优解。
☆
4、若原问题第i个约束条件为严格的不等式，则第i个对偶变量的最优值yi*=0。
☆
5、根据弱对偶定理，当x,y分别是和的可行解，则。
¤
6、若线性规划问题的原问题无可行解，则其对偶问题无可行解。
¤
7、若序列{Vs,V1,V2,……，Vn-1,Vn}是从Vs到Vn的最短路，则序列{Vs,V1,V2,……，Vn-1}必定是Vs到Vn-1的最短路。
☆
8、表上作业法实质上是单纯形法在求解运输问题的一种简化方法。
☆
9、整数规划的目标函数值一般优于相应的线性规划问题的目标函数值。
¤
10、目标规划问题中，当目标允许超额完成时（如利润、产值），则目标函数的表达式为。
¤
10-1目标规划问题中，当要求不低于目标值（如利润、产值）时，则目标函数的表达式为☆
11、在对需要引入人工变量构成原线性规划辅助问题的单纯形法求得的最优解中，若人工变量不等于零，则说明原问题没有可行解。
☆
12、如不按最小比值原则选取换出基变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负值。
☆
13、单纯法计算中，选取最大的正检验数б对应的变量作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长。
¤
14、若X、X分别是某一线性规划问题的最优解，λ、λ为任意实数，则X=λX+λX也是该问题的最优解。
¤
15、设，分别为标准形式为最大化的原问题与对偶问题的可行解，，分别是其最优解，则恒有
≥≥。
¤
16、已知是线性规划对偶问题的最优解，若〉0，说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽。
☆
16-1已知是线性规划对偶问题的最优解，若=0，说明在最优生产计划中第i种资源的消耗未超过界限值。
17、若线性规划问题中的，值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解。
¤
18、按表上作业法（最小元素法或左上角法）给出的初始基可行解，从每个空格出发可以找出而且仅能找出唯一的闭回路。
☆
18-1表上作业法（最小元素法或左上角法等）每次给出一个格点取值后，总是划去满足的一行或一列（若行与列同时满足则只划去其一），以保证所有填上数字（包括填上“0”）的格点（基变量所在的点）不形成闭回路。
19、当所有产地的产量和销地的销量均为整数时，运输问题的最优解也为整数。
☆
20、目标规划模型中，应同时包含绝对约束与目标约束。
¤
21、指派问题效率矩阵的每一个元素都乘上同一个常数k将不影响最优指派方案。
¤
22、若序列{Vs,V1,V2,……，Vn-1,Vn}是从Vs到Vn的最短路，则序列{V2,……，Vn}必定是V2到Vn的最短路。
22-1若序列{Vs,V1,V2,……，Vn-1,Vn}是从Vs到Vn的最短路，则序列{V1,……，Vn-1}必定是V1到Vn-1的最短路。
三、算法题
1、已知线性规划问题：
其最优解为x1=-5,x2=0,x3=-1
1）写出并求其对偶问题的最优解；2）求k的值。
、
1、答：
其对偶问题为：
由z*=w*可得
由对偶问题第三约束式得
解得
由互补松弛性可得，
并代入可得：
1、已知线性规划问题：
其最优解为x1=-5,x2=0,x3=-1
1）写出并求其对偶问题的最优解；2）求k的值。
、
1、答：
其对偶问题为：
由z*=w*可得
由互补松弛性可得
解得
代入可得：
2、设有LP问题：
其辅助问题的最优表的下半部分为：
X1
X2
X3
S1
R2
右端
1
−1/5
2/5
−1/5
8/5
1
7/5
1/5
2/5
9/5
其中，S1是第一个约束方程中的松弛变量，R2是第二个约束方程中的人工变量。
现问：
当原问题约束条件的右端由（52）T变为（310）T时，新的最优解是什么？
2、答：
首先写出两阶段法的辅助问题，计算出各个检验数，然后通过灵敏度分析判断出原问题无最优解。
3、在下面的运输问题中，假定B1、B2、B3的需求未被满足时，其单位惩罚成本分别是5、3和2，求最优解。
B1
B2
B3
供给量
A1
5
1
7
10
A2
6
4
6
80
A3
3
2
5
15
需求量
75
20
50
3、答：
用最小元素法或VOGEL法求初始解，通过位势法进行检验并获得最优解。
该问题的最小运费为595元。
4、求解下述最小支撑树问题：
v14v21v3
23
1 1 1
v84v04v4
5524 5
v73v62v5
4、答：
该问题的最小支撑树如下图所示。
W（T）=13
v1v21v3
2
1 1 1
v8v0v4
2
v73v62v5
5、设有线性规划问题及其最优单纯形表如下：
规划模型：
（1）
St：
3x+5x+x=15
（2）
2x+x+x=5（3）
2x+2x+x=11（4）
x、x、x、x、x≥0
最终单纯形表：
xxxxx
右端
比值
Z
-3/7-13/7
-110/7
x
x
x
12/7-3/7
1-1/75/7
-2/7-4/71
15/7
10/7
27/7
如约束条件
（2）中的b的系数由15变成为7，求变化后的最优基可行解。
5、答1：
St：
3x+5x+1·x=15+1·t=7
（2）
2x+x+x=5（3）
2x+2x+x=11（4）
由最终单纯形表：
xxxxx
右端
（变化前）
t=-8
右端（变化后）
Z
-3/7-13/7
-110/7
-3/7t=
-86/7
x
x
x
12/7-3/7
1
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