运筹学习题答案注释第3章.docx
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运筹学习题答案注释第3章
第3章运输问题
注意：
本章习题解法不唯一，有的题目，最优解也可能不唯一。
3.8表3-32和表3-33分别给出了各产地和各销地的产量和销量，以及各产地至各销地的单位运价，试用表上作业法求最优解。
表3-32
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
解：
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解，其过程如下：
表3.8-1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
8
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
3
20
由于0为最小，所以，取3与8的最小值放在x24位置上，划去B4列，得表3.8-2
表3.8-2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
5
3
A3
3
7
5
1
4
销量
6
5
6
0
在没画线的表格中，由于1最小，所以取6与5的最小值放在x21位置上，划去A2行，得表3.8-3
在表3.8-3中的没画线的表格中，由于1最小，所以取8与5的最小值放在x12位置上，划去B2列，得表3.8-4
在表3.8-4中没画线的表格中，由于3最小，所以取4与1的最小值放在x31位置上，划去B1列，得表3.8-5
表3.8-3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
4
销量
1
5
6
0
表3.8-4
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
3
5
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
4
销量
1
0
6
0
表3.8-5
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
3
5
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
3
1
销量
0
0
6
0
在表3.8-5中没画线的表格中，由于4最小，所以取3与6的最小值放在x13位置上，划去A1行，得表3.8-6
在表3.8-6中没画线的表格中，由于5最小，所以取3与3的最小值放在x33位置上，划去A3行和B3列，得表3.8-7，这样就得到了一个初始基可行解，如表3.8-8所示。
在表3.8-8中，使用闭回路法计算非基变量的检验数（括弧内的数），得表3.8-9：
σ11=c11-c13+c33-c31=4-4+5-3=2
σ14=c14-c13+c33-c31+c21-c24=6-4+5-3+1-0=5
得表3.8-6
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
3
5
3
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
3
1
销量
0
0
3
0
表3.8-7
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
0
5
3
A2
1
2
5
0
0
5
3
A3
3
7
5
1
0
1
3
销量
0
0
0
0
表3.8-8
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
5
3
A2
1
2
5
0
8
5
3
A3
3
7
5
1
4
1
3
销量
6
5
6
3
20
σ22=c22-c12+c13-c33+c31-c21=2-1+4-5+3-1=2
σ23=c23-c33+c31-c21=5-5+3-1=2
σ32=c32-c33+c13–c12=7-5+4-1=5
σ34=c34-c24+c21–c13=1-0+1-3=-1
在表3.8-9中，由于检验数σ34=-1≤0，所以表3.8-9中的解不是最优解。
选x34为换入变量，找到闭回路为：
x34x24x21x31，由于3与1的最小数为1，故调整量为1，选x31为换出变量，调整后的解如表3.8-10所示
表3.8-9
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
（2）
5
3
（5）
A2
1
2
5
0
8
5
（2）
（2）
3
A3
3
7
5
1
4
1
（5）
3
（-1）
销量
6
5
6
3
20
表3.8-10
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
5
3
A2
1
2
5
0
8
6
2
A3
3
7
5
1
4
3
1
销量
6
5
6
3
20
在表3.8-10中，使用闭回路法计算各非基变量的检验数，得表3.8-11：
表3.8-11
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
（3）
5
3
（6）
A2
1
2
5
0
8
6
（1）
（1）
2
A3
3
7
5
1
4
（1）
（5）
3
1
销量
6
5
6
3
20
在表3.8-11中，由于所有检验数均大于等于0，所以表3.8-11中的解就是最优解，其最小运价为39。
解：
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解，如下表3.8-21：
在表3.8-21中，使用闭回路法计算非基变量的检验数（括号内的数），得表3.8-22：
在表3.8-22中，由于所有检验数均大于等于0，所以表3.8-22中的解就是最优解，其最小运价为31。
表3-33
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
A2
4
9
4
5
3
A3
5
7
6
2
5
销量
1
3
2
5
11
表3.8-21
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
3
A2
4
9
4
5
3
1
2
A3
5
7
6
2
5
0
0
5
销量
1
3
2
5
11
表3.8-22
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
9
3
8
7
3
（8）
3
（7）
（2）
A2
4
9
4
5
3
1
（3）
2
（4）
A3
5
7
6
2
5
0
0
（1）
5
销量
1
3
2
5
11
3.9试求表3-34给出的产销不平衡运输问题的最优解。
表3-34
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
7
6
4
5
A2
2
4
3
2
2
A3
4
3
8
5
6
销量
3
3
2
2
解：
由于该运输问题的产量大于销量，产销不平衡，可增加一个假想的销地B5，其销量为:
（5+2+6）-（3+3+2+2）=3,运费为0，使之变为产销平衡问题，如表3.9-1所示：
表3.9-1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
A2
2
4
3
2
0
2
A3
4
3
8
5
0
6
销量
3
3
2
2
3
13
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解，如下表3.9-2。
表3.9-2
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
0
2
A2
2
4
3
2
0
2
0
2
A3
4
3
8
5
0
6
3
3
销量
3
3
2
2
3
13
表3.9-3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
0
2
（1）
（-4）
A2
2
4
3
2
0
2
0
（-2）
（-2）
2
（-3）
A3
4
3
8
5
0
6
（5）
3
（6）
（6）
3
销量
3
3
2
2
3
13
在表3.9-2中，使用闭回路法计算非基变量的检验数（括号内的数），得表3.9-3。
在表3.9-3中，由于有多个检验数均小于0，选最小的检验数σ15=-4，其位置上的变量x15为换入变量，找到闭回路为：
x15x35x32x12，由于3与0的最小数为0，故调整量为0，选x12为换出变量，调整后的解如表3.9-4所示。
在表3.9-4中，使用闭回路法计算各非基变量的检验数（括号内的数）。
在表3.9-4中，只有检验数σ23小于0，选其位置上的变量x23为换入变量，找闭回路为：
x23x13x11x21，由于2与0的最小数为0，故调整量为0，选x21为换出变量，调整后的解如表3.9-5所示，使用闭回路法计算各非基变量的检验数（括号内的数）。
表3.9-4
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
（4）
2
（1）
0
A2
2
4
3
2
0
2
0
（2）
（-2）
2
（1）
A3
4
3
8
5
0
6
（1）
3
（2）
（2）
3
销量
3
3
2
2
3
13
表3.9-5
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
（4）
2
（-1）
0
A2
2
4
3
2
0
2
（2）
（4）
0
2
（3）
A3
4
3
8
5
0
6
（1）
3
（2）
（0）
3
销量
3
3
2
2
3
13
在表3.9-5中，由于只有检验数σ14小于0，选其位置上的变量x14为换入变量，找到闭回路为：
x14x24x23x13，由于2与2的最小数为2，故调整量为2，选x13为换出变量，调整后的解如表3.9-6所示。
在表3.9-6中，使用闭回路法计算各非基变量的检验数（括号内的数）。
表3.9-6
销地
产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量
A1
3
7
6
4
0
5
3
（4）
（1）
2
0
A2
2
4
3
2
0
2
（2）
（3）
2
0
（2）
A3
4
3
8
5
0
6
（1）
3
（3）
（1）
3
销量
3
3
2
2
3
13
在表3.9-6中，由于所有检验数均大于等于0，所以表3.9-6中的解就是最优解，其最小运价为32。
3.10某市有三个面粉厂，它们供给三个面食加工厂所需面粉。
各面粉厂的产量、各面食加工厂加工面粉的能力、各面食加工厂和各面粉厂之间的单位运价，均示于表3-35中。
假定在第1，2和3面食加工厂制作单位面粉食品的利润分别为12元、16元和11元，试确定使总效益最大的面粉分配计划（假定面粉厂和面食加工厂都属于同一个主管单位）。
表3-35
食品厂
面粉厂
1
2
3
面粉厂产量
Ⅰ
3
10
2
20
Ⅱ
4
11
8
30
Ⅲ
8
11
4
20
食品厂需量
15
25
20
解：
由题意知：
该问题为产量大于需量的不平衡问题，可以假想一个虚拟的面食加工厂4，其需量为（20+30+20）-（15+25+20）=10，从而变为平衡问题。
又该题求总效益最大的面粉分配方案，可以转化为下面运输问题，运往虚拟的面食加工厂4的运费为0，如下表。
表3.10-1
食品厂
面粉厂
1
2
3
4
面粉厂产量
Ⅰ
-9
-6
-9
0
20
Ⅱ
-8
-5
-3
0
30
Ⅲ
-4
-5
-7
0
20
食品厂需量
15
25
20
10
70
则容易得知，其总效益就是总运费的相反数。
由最小元素法求得上述运输问题的初始基可行解，并使用闭回路法计算非基变量的检验数（括号内），得表3.10-2。
表3.10-2
食品厂
面粉厂
1
2
3
4
面粉厂产量
Ⅰ
-9
-6
-9
0
20
0
（0）
20
（1）
Ⅱ
-8
-5
-3
0
30
15
15
（5）
（0）
Ⅲ
-4
-5
-7
0
20
（4）
10
（1）
10
食品厂需量
15
25
20
10
70
在表3.10-2中，由于所有检验数均大于等于0，所以表3.10-2中的解就是最优解，其最小运费为425。
即面粉分配计划为：
面粉厂Ⅰ的面粉20单位运往面食加工厂3，面粉厂Ⅱ的面粉15单位运往面食加工厂1，面粉厂Ⅱ的面粉15单位运往面食加工厂2，面粉厂Ⅲ的面粉10单位运往面食加工厂2，面粉厂Ⅲ的面粉10单位不向外运输，其总效益最大，为425元。
3.11在表3-36示出一个运输问题及它的一个解，试问：
（1）表中给出的解是否为最优解？
请用位势法进行检验。
（2）若价值系数c24由1变为3，所给的解是否仍为最优解？
若不是，请求出最优解。
（3）若所有价值系数均增加1，最优解是否改变？
为什么？
（4）若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？
为什么？
（5）写出该运输问题的对偶问题，并给出其对偶问题的最优解。
表3-36
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
5
3
A2
1
2
6
1
10
8
2
A3
3
7
5
1
4
3
1
销量
8
5
6
3
22
解：
（1）设i行的位势ui，第i列的位势vi，则可以得到下列方程组：
令u1=0，得：
v2=1，v3=4，u3=1，v4=0，u2=1，v1=0。
由公式σij=cij–（ui+vj）,可以计算出各非基变量的检验数（括号内）。
如表3.11-1：
表3.11-1
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
（4）
5
3
（6）
A2
1
2
6
1
10
8
（0）
（1）
2
A3
3
7
5
1
4
（2）
（5）
3
1
销量
8
5
6
3
22
在表3.11-1中，由于所有检验数均大于等于0，所以表3.11-1中的解是最优解，其目标函数值（最小运价）为43
（2）若价值系数c24由1变为3，并使用闭回路法计算非基变量的检验数（括号内），得表3.11-2。
在表3.11-2中，由于有多个检验数小于0，所以该解不是最优解。
选最小的检验数σ22=-2，其位置上的变量x22为换入变量，找到闭回路为：
x22x24x34x33x13x12，由于2、3与5的最小数为2，故调整量为2，选x24为换出变量，调整后的解如表3.11-3所示。
在表3.11-3中，使用闭回路法计算各非基变量的检验数（括号内）。
表3.11-3
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4
1
4
6
8
（4）
3
5
（6）
A2
1
2
6
3
10
8
2
（1）
（2）
A3
3
7
5
1
4
（1）
（5）
1
3
销量
8
5
6
3
22
在表3.11-3中，由于所有检验数均大于等于0，所以表3.11-3中的解是最优解。
（3）若所有价值系数均增加1，最优解是否改变？
为什么？
若所有价值系数均增加1，最优解不改变。
因为若所有价值系数均增加1，使用闭回路法计算检验数时，在计算式子中，其偶数顶点增加的价值系数恰好被奇数顶点增加的价值系数抵消，因而检验数不变，故最优解不变。
（4）若所有价值系数均乘以2，最优解是否改变？
为什么？
若所有价值系数均乘以2，最优解不改变。
因为若所有价值系数均乘以2，使用闭回路法计算检验数时，在计算式子中，其偶数顶点的价值系数、奇数顶点增加的价值系数均乘以2，因而检验数变为原来的2倍，但检验数的正负没有变，故最优解不变。
（5）写出该运输问题的对偶问题，并给出其对偶问题的最优解。
该运输问题的对偶问题为：
max
st.
其对偶问题的最优解为：
（0，1，1，0，1，4，0），其目标函数值为43。
u1+v2=1
u1+v3=4
u2+v1=1
u2+v4=1
u3+v3=5
u3+v4=1
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