break;
end
w0=w;
end
lambda=sum（ww./w0）/n;
☆
（2）用幂法函数求A的最大特征根和特征向量。
调用及运行结果（见[264]）：
（3）和法（见[264]）
A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：
a.将A的每一列向量归一化得
；
b.对
按行求和得
；
c.将
归一化
即为近似特征向量；
d.计算
，作为最大特征根的近似值。
函数式m文件如下：
function[lambdaw]=p264HE（A）
%和法——求正互反阵最大特征根和特征向量
%A正互反方阵
%lambda最大特征根
%w归一化特征列向量
AA=A/diag（sum（A））;%a.将A的每一列向量归一化
ww=sum（AA,2）;%b.对AA按行求和，ww为列向量
w=ww./sum（ww）;%c.归一化，得w为近似特征列向量
lambda=sum（A*w./w）/length（A）;%d.计算最大特征根的近似值λ
☆（3）用和法函数求A的最大特征根和特征向量。
调用及运行结果（见[264]）：
（4）根法（见[264]）
A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下：
a.将A的每一列向量归一化得
；
b.对
按行求积并开n次方得
；
c.将
归一化
即为近似特征向量；
d.计算
，作为最大特征根的近似值。
★（4）编写根法函数，用该函数求A的最大特征根和特征向量。
[提示：
sum,prod,diag]
对矩阵A按行求和的调用为sum（A,2）。
对矩阵A按行求积的调用为prod（A,2）。
diag（V），用向量V构造对角矩阵。
nargin，存放函数输入自变量的数目。
编写的程序和调用及运行结果（见[264]）：
function[lambdaw]=p264GEN（A）
%根法——求正互反阵最大特征根和特征向量
%A正互反方阵
%lambda最大特征根
%w归一化特征列向量
n=length（A）;
AA=A/diag（sum（A））;%a.将A的每一列向量归一化
ww=（prod（AA,2））.^（1/n）;%b.对AA按行求积并开n次方，ww为列向量
w=ww./sum（ww）;%c.归一化，得w为近似特征列向量
lambda=sum（A*w./w）/n;%d.计算最大特征根的近似值λ
1.2（验证，编程）旅游决策问题p250~256
在下面程序中，脚本式m文件p250.m调用函数式m文件p250fun.m（求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR），p250fun.m中调用另一个函数式m文件p264HE.m（求A的最大特征根及归一化特征列向量）。
（1）脚本式m文件如下：
%旅游决策问题
%文件名：
p250.m
clear;clc;formatcompact;
%层次分析法的基本步骤：
%1.建立层次结构模型
%见p250图1选择旅游地的层次结构
%2.构造成对比较阵
%第2层为准则层：
景色、费用、居住、饮食和旅途5个准则
A=[11/2433;...
21755;...
1/41/711/21/3;...
1/31/5211;
1/31/5311];
%第3层为方案层：
P1、P2和P3等3个供选择地点
B1=[125;1/212;1/51/21];
B2=[11/31/8;311/3;831];
B3=[113;113;1/31/31];
B4=[134;1/311;1/411];
B5=[111/4;111/4;441];
B=['B1';'B2';'B3';'B4';'B5'];
%3.计算权向量并做一致性检查
%第2层
[lambda2w2CI2CR2]=p250fun（A）;
ifCR2>=0.1%成对比较阵A的一致性检验
disp（['CR2=',num2str（CR2）,'>0.1,A没有通过一致性检查！
']）
return;
end
%第3层
lambda3=zeros（1,5）;w3k=zeros（3,5）;CI3k=zeros（1,5）;CR3k=zeros（1,5）;
fork=1:
5
[lambda3（k）w3k（:
k）CI3k（k）CR3k（k）]=p250fun（eval（B（k,:
）））;
ifCR3k（k）>0.1%成对比较阵B1的一致性检验
disp（['CR3k（k）=',num2str（CR3k（k））,'>0.1,B',num2str（k）,'没有通过一致性检查！
']）
return;
end
end
%4.计算组合权向量并做组合一致性检验
w3=w3k*w2;%最下层（第3层）对目标（第1层）的组合权向量
%第3层组合一致性检验（从第3层开始）
CI3=CI3k*w2;
%随机一致性指标RI的数值（下标对应成对比较方阵的阶数）：
RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];
RI3=RI（[3,3,3,3,3]）*w2;%标量
CR3=CI3/RI3;
ifCR3>0.1
disp（['CR3=',num2str（CR3）,'>0.1,第3层没有通过组合一致性检查！
']）
return;
end
%最下层（第3层）对第1层的组合一致性比率为
CR=CR2+CR3;
ifCR>0.1
disp（['CR=',num2str（CR）,'>0.1,没有通过组合一致性检查！
']）
return;
end
%添加命令用于显示有关结果:
（2）函数式m文件如下：
function[lamdawCICR]=p250fun（A）
%求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR
%A成对比较阵（正互反方阵）
%lamda最大特征根值
%wA的归一化特征列向量（权向量）
%CI一致性指标值
%CR一致性比率值
[lamdaw]=p264HE（A）;%求A的最大特征根及归一化特征列向量
%随机一致性指标RI的数值（下标对应成对比较方阵的阶数）：
RI=[000.580.901.121.241.321.411.451.491.51];
n=length（A）;
CI=（lamda-n）/（n-1）;%一致性指标，CI=0时A为一致阵；CI越大A的不一致程度越严重
CR=CI/RI（n）;%一致性比率，CR<0.1时认为A的不一致程度在容许范围之内
要求：
请仔细阅读以上程序，完成以下实验：
在脚本式m文件后面添加命令，使
★①显示第2层的数据。
包括：
最大特征根λ；特征向量（权向量）w；一致性指标CI；一致性比率CR。
添加的命令和运行结果（见[254]）：
lambda2,w2,CI2,CR2
★②显示第3层的数据。
包括：
特征向量（权向量）w；最大特征根λ；一致性指标CI。
添加的命令和运行结果（见[255]表3）：
w3k,lambda3,CI3k
★③显示最下层（第3层）对目标（第1层）的组合权向量。
添加的命令和运行结果（见[255]）：
w3
★④显示第2层和第3层的组合一致性比率，以及最下层对第1层的组合一致性比率。
添加的命令和运行结果（见[256]）：
CR2,CR3,CR
2.循环比赛的名次
2.1（编程，验证）双向连通竞赛图（4顶点）的名次排序p270,271~272
4个顶点的竞赛图（教材p270中图3（4））如下：
4个队得分（获胜场数）为（2，2，1，1）由得分排名为{（1，2），（3，4）}，该竞赛图是双向连通图，属于第2种类型，可通过以下方法给出名次排序。
该图的邻接矩阵为：
★
（1）编写一个程序，求出1~8级得分向量，并依据8级得分向量给出排名。
给出程序和运行结果（比较[272]）：
clear;clc;formatcompact;formatshortg;
A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵
n=length（A）;%方阵A的阶数
s=A*ones（n,1）;disp（s'）;
fork=2:
8
s=A*s;disp（s'）;
end
[~,k]=sort（s,'descend'）;%降序
k'%排名
（2）求元素互不相等的得分向量法
得分向量为
s=A*ones
其中，
记s
（1）=s
s（k）=A*s（k-1）=Ak*ones,k=2,3,…（s（k）称为k级得分向量）
程序如下：
%双向连通竞赛图的名次排序（求元素不等的得分向量）
%文件名：
p272_1.m
clear;clc;formatcompact;formatshortg;
A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵
n=length（A）;%方阵A的阶数
s=A*ones（n,1）;k=1;
whilelength（unique（s））s=A*s;k=k+1;
end
k%k级得分向量
s'%元素不等的得分列向量
[~,kk]=sort（s,'descend'）;%降序
kk'%排名
☆
（2）运行求元素互不相等的得分向量法程序。
运行结果（比较[272]）：
（3）特征根法
对于n≥4个顶点的双向连通竞赛图，其邻接矩阵A为素阵（存在正整数r，使Ar>0），且有
其中，1为全1列向量，λ为最大实特征根且为正，s为其特征列向量。
%双向连通竞赛图的名次排序（特征根法）
%文件名：
p272_2.m
clear;clc;formatcompact;formatshortg;
A=[0110;0011;0001;1000];%邻接矩阵
[V,D]=eig（A）;%返回A的特征值和特征向量。
%其中D为A的特征值构成的对角阵，每个特征值
%对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。
D=diag（D）;%返回矩阵D的对角线元素构成列向量。
D=D.*（imag（D）==0）;%复数特征值用0代替，实数的则不变
[lamda,k]=max（D）;
lamda
s=V（:
k）/sum（V（:
k））;%最大特征根对应的特征列向量（归一化）
[~,k]=sort（s,'descend'）;%降序
s',k'
☆（3）运行特征根法程序。
给出运行结果（比较[272]）：
2.2（验证）双向连通竞赛图（6顶点）的名次排序p270,272~273
6个顶点的竞赛图（教材p270中图1）如下：
该图的邻接矩阵为：
要求：
使用上题的程序。
☆
（1）求出1~4级得分向量，并依据4级得分向量给出排名。
运行结果（比较[272]）：
☆
（2）运行求元素互不相等的得分向量法程序。
运行结果：
☆（3）运行特征根法程序。
运行结果（比较[273]）：
3.公平的席位分配
3.1（验证）参照惯例的席位分配方法p278~279
某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。
（1）有20个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。
（2）有21个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。
下面是参照惯例的席位分配方法的求解函数：
function[qi,ni]=p278fun（p,n）
%p各单位人数（列向量）
%n总席位（标量）
%qi按比例分配的席位（列向量）
%ni参照惯例的结果（列向量）
qi=n*p/sum（p）;%按比例各单位所得席位（可能含小数）
ni=fix（qi）;%各单位所得席位取整
m=n-sum（ni）;%可能有没分配完的席位
ifm>0%席位没分完
[~,k]=sort（qi-ni,'descend'）;%按降序排序（缺省为升序）
ni（k（1:
m））=ni（k（1:
m））+1;%排在前m个，加1
end
要求：
①在命令窗口分别调用以上函数求解（使用最佳定点或浮点格式（5位数字）控制命令formatshortg）。
②两个结果比较，合理吗？
☆题
（1）（20个代表席位）的调用及结果（比较[279]表1）。
☆题
（2）（21个代表席位）的调用及结果（比较[279]表1）。
3.2（验证）Q值方法p280~281
（教材：
8.4公平的席位分配）
某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。
（1）有20个代表席位，采用Q值法分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。
（2）有21个代表席位，采用Q值法分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。
下面是Q值法的求解函数：
function[qi,ni]=p280fun（p,n）
%p各单位人数（列向量）
%n总席位（标量）
%qi按比例分配的席位（列向量）
%ni参照惯例的结果（列向量）
qi=n*p/sum（p）;
ni=fix（qi）;
whilesum（ni）Qi=p.^2./（ni.*（ni+1））;%ni>0
[~,i]=max（Qi）;%求最大值元素及下标
ni（i）=ni（i）+1;
end
要求：
①在命令窗口分别调用以上函数求解（使用最佳定点或浮点格式（5位数字）控制命令formatshortg）。
②两个结果比较，合理吗？
☆题
（1）（20个代表席位）的调用及结果（见[281]）。
☆题
（2）（21个代表席位）的调用及结果（见[281]）。
附1：
实验提示
附2：
第8章离散模型
[249]8.1层次分析模型
[254]题1.2①答案
[255]题1.2②③答案
[256]题1.2④答案
[263]题1.1
（2）幂法
[264]题1.1（3）（4）和法、根法，答案
[269]8.2循环比赛的名次
[272]题2.1、2.2
（1）答案
[273]题2.2（3）答案****本节完****
[278]8.4公平的席位分配
[279]题3.1答案
[281]题3.2答案
[286]****本节完****
升级会员 