全等三角形.docx

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全等三角形

三角形

一、三角形基本知识点

1、三角形的有关概念

（1）三角形的定义

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，它有三条边、三个内角和三个顶点，三角形可用符号“△”表示．

（2）三角形的角平分线：

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（3）三角形的中线：

在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线．

（4）三角形的高线：

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．

2、三角形的有关性质

（1）边的性质：

三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边．

（2）角的性质：

三角形的内角和为180°，一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，直角三角形的两个锐角互余．

（3）稳定性：

即三角形的三边的长度确定后，三角形的形状保持不变．

3、三角形的分类

（1）按边分

（2）按角分

4、全等三角形的有关概念和性质

（1）全等图形：

两个能够重合的图形称为全等图形．

全等图形的特征：

全等图形的形状和大小都相等．

全等三角形：

两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形，两个全等三角形重合时，互相重合的边叫做对应边，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的角叫做对应角．

（2）全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等．

5、全等三角形的判定条件

（1）一般三角形全等的判别方法有四种方法：

①边角边（SAS）；②角边角（ASA）;③角角边（AAS）;④边边边（SSS）.

（2）直角三角形的全等的条件:

:

除了使用SAS、ASA、AAS、SSS判别方法外，还有斜边、直角边（HL）判别方法.

6.判别两个三角形全等

1．已知两边

2．已知一边一角

3．已知两角

例　如图2，在△ABC与△DEF中，给出以下六个条件：

①AB=DE；②BC=EF；③AC=DF；④∠A=∠D；⑤∠B=∠E；⑥∠C=∠F，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC与△DEF全等的是（）．

A．①⑤②B．①②③

C．④⑥①D．②③④

二、应注意的问题

1.①三角形的角平分线不同于一个角的平分线，前者是一条线段，后者是一条射线．三角形的高线是线段，而线段的垂线是直线；

②锐角三角形的三夺高线都在三角形的内部，直角三角形中，有两条高线恰好是它的两条边，钝角三角形的三条高线中，有两条高线在三角形的外部，它们的垂足落在边的延长线上

③三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点，三角形的三条高所在的直线交于一点．

2、注意：

不能把“边边角”和“角角角”作为判定两个三角形全等的依据．

3．书写全等三角形时一般把对应顶点的字母放在对应的位置.

4、注意：

①在作三角形等几何作图中，作图痕迹务必保留，不能将作图痕迹抹掉

②在作符合某些条件的三角形时，它的作法可能不惟一，只要作法合理，都是正确的．

四、考点例析

考点一：

三角形三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．

例1在△ABC中，AB=9，BC=2，并且AC的长为奇数，那么△ABC的周长是多少？

练习1：

（1）（2005年昆明市中考题）以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（）．

A．4cm，5cm，6cmB．2cm，3cm，5cm

C．4cm，4cm，9cmD．12cm，5cm，6cm

（2）有长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm的线段，则以其中三条线段为边可构成_____个三角形．

考点二：

三角形的内角和

三角形三个内角的和等于

，直角三角形的两个锐角互余．

例2（2004年陕西中考题）如图，在锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=

，则∠BPC的度数是（）．

A．

B．

C．

D．

练习2：

（1）（2005年黑龙江中考题）已知BD、CE是△ABC的高，直线BD、CE相交所成的角中有一个角为

，则∠BAC等于_______．

（2）

一块模板如图所示，按规定AB、CD的延长线相交成

角，因交点不在模板上，不便测量，所以工人师傅连结AC，测得∠BAC=

，∠DCA=

，这时就可以知道，AB、CD的延长线相交所成的角不符合规定．请说明理由．

考点三三角形中的三条重要线段

在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．

例3如图，在△ABC中，分别画出它的中线AD和高AE，并回答下列问题：

（1）AE还是哪些三角形的高？

（2）△ABD与△ACD的面积有什么关系？

为什么？

练习3：

（1）三角形一边上的高 （）．

A．必在三角形内部　　　B．必在三角形外部

C．必在三角形的边上　　D．以上三种情况都有可能

（2）如图5，AE是△ABC的角平分线，则∠_______=∠_______=

∠_______；AD是△ABC的中线，则______=______=

BC．

（3）三角形的三条角平分线的交点和三条中线的交点，一定在三角形的（）．

A．内部B．外部C．边上D．不确定

考点五全等三角形的特征及三角形全等的条件

全等三角形的性质：

对应边相等，对应角相等．

三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．

例5如图，如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）．

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②去

练习5：

（1）（2005年临沂市中考题）如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长就等于内槽宽AB的长，那么△AOB≌△OA′B′的理由是（）．

A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边

（2）（2004年潍坊市中考题）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）

A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙

（3）如图，∠1=∠2，BC=EF，那么需要补充一个条件________（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF．

考点七：

全等三角形的应用

例7．公园里有一条“Z”字型道路ABCD，如图11，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只石凳E、M、F，M恰为BC的中点，且E、F、M在同一直线上，在BE道路中停放着一排小汽车，从而无法直接测量B、E之间的距离，你能想出解决的方法吗？

请说明其中的道理．

练习7：

（2004年福州中考题）三月三，放风筝，如图12，是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH，请你用所学的知识给予说明．

三角形练习题

一、选择题

1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在（　）

A．三角形内部B．三角形的一边上C．三角形外部D．三角形的某个顶点上

2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（　　）

A．4、5、6B．6、8、15C．5、7、12D．3、9、13

3．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是（　　）

A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜90°C．60°＜α＜180°D．60°≤α＜90°

4．下列判断正确的是（　　）

A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等

C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等

D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等

5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是（　　）

A．x＜6B．6＜x＜12C．0＜x＜12D．x＞12

6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形（　　）

A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°

C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形

7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（　　）

A．三条中线交点B．三条角平分线交点

C．三条高线交点D．三条高线所在直线交点

8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（　　）

A．30°B．75°C．105°D．30°或75°

9．如图5—124，直线

、

、

表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　）

A．一处B．二处C．三处D．四处

10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．根本无法确定

11.在△ABC和△A’B’C’中,AB=A’B’,∠B=∠B’,补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’,则补充的这个条件是

A.BC=B’C’B.∠A=∠A’C.AC=A’C’D.∠C=∠C’

12.下列说法正确的是

A.有两边和一个角相等的两个三角形全等

B.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等

C.三角形的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等

D.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等

13.下列说法错误的是

A.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

B.全等三角形对应的角平分线相等

C.斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形全等

D.在△ABC和△A’B’C’中,若AB=BC=CA,A’B’=B’C’=C’A’,则△ABC≌△A’B’C’

14.在下列各组的条件中,不能判定△ABC和△DEF全等的是

A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠FB.AC=DF,BC=DE,∠C=∠D

C.AB=EF,∠A=∠E,∠B=∠FD.∠A=∠F,∠B=∠E,AC=DE

15.根据下列各组的条件,能判定△ABC≌△A’B’C’的是

A.AB=A’B’,BC=B’C’,∠A=∠A’B.∠A=∠A’,∠C=∠C’,AC=A’C’

C.AB=A’B’,S△ABC=S△A’B’C’D.∠A=∠A’,∠B=∠B’,∠C=∠C’

16.△ABC中,AC=5,中线AD=7,则AB边的取值范围是

A.1

18.下列条件中不能作出惟一直角三角形的是

A.已知两个锐角B.已知一条直角边和一个锐角C.已知两条直角边D.已知一条直角边和斜边

二、填空题

1．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________．

2．四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形．

3．过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是____________．

4．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝______．

5．如图5—125，∠A＝∠D，AC＝DF，那么需要补充一个直接条件________（写出一个即可），才能使△ABC≌△DEF．

6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．

7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________．

8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE的度数是______．

9．已知：

如图5—127，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为______．

10．每一个多边形都可以按图5—128的方法割成若干个三角形．而每一个三角形的三个内角的和是180°．按图5—127的方法，十二边形的内角和是__________度．

三、解答题

1、如图,已知:

AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:

BE∥CF．

2、已知：

点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：

△ABE≌△CDF．

3、已知：

如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，

．求证：

．

4、如图：

AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。

求证：

AM是△ABC的中线。

5、如图：

在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：

BD⊥AC。

6、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：

BF=CF

7、如图：

AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：

AF=DE。

8、如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA

9、如图有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系?

10、如图,AB=12,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动,每分钟走1m,Q点从B向D运动,每分钟走2m,P、Q两点同时出发,运动几分钟后△CAP≌△PQB?

试说明理由.

11、如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

五、提高题

1，已知：

如图5—129，△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D，过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N，求证：

BM＋CN＝MN

2．已知：

如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：

∠BCD＝1：

2，那么CE是AB边上的中线对吗?

说明理由．

3．已知：

如图5—131，在△ABC中有D、E两点，求证：

BD＋DE＋EC＜AB＋AC．

4．已知：

如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：

PQ∥AB．

5如图,已知:

等腰Rt△OAB中,∠AOB=900,等腰Rt△EOF中,∠EOF=900,连结AE、BF.求证:

（1）AE=BF;

（2）AE⊥BF.

6.如图

（1）,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

（图1）（图2）（图3）

（1）试说明:

BD=DE+CE.

（2）若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD

不需说明.

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?

请直接写出结果,不需说明.

7.如图,O为□ABCD的对角线AC的中点,过点O作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线MN上,且OE=OF.

（1）图中共有几对全等三角形?

请把它们都写出来;

（2）求证:

∠MAE=∠NCF.