计数原理排列组合.docx

计数原理排列组合.docx

《计数原理排列组合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计数原理排列组合.docx（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

计数原理排列组合

计数原理（排列组合）

类型一：

分类记数原理

　　1．某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（）

　　A.5　　　B.6　　C.7　　　D.8

　　【变式1】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?

　　【变式2】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

　　【变式3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。

　　【变式4】在11名工人中，有5人只能当钳工，4人只能当车工，另外2人能当钳工也能当车工。

现从11人中选出4人当钳工，4人当车工，问共有多少种不同的选法?

类型二：

分步记数原理

　　2．

（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？

（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？

　　解析：

（1）共有4×4×4=64种不同结果.

（2）共有3×3×3×3=81种不同结果.

　　【变式1】从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）

　　【答案】18，6；

　【变式2】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?

【答案】32；

类型三：

解排列（组合）数形式的方程

　　3．一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n≥1，n∈N*）个车站，因而增加了58种车票（起点站与终点站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?

现在又有几个车站?

　　解析：

由题设

，即

.

（1）若n=1，则2m－1+n=58，m=29；

（2）若n=2，则2m－1+n=29，m=14；

　　　　　（3）若n=58，则2m－1+n=1，m=－28，不合题意，舍去.

　　　　　（4）若n=29，则2m－1+n=2，m=－13，不合题意，舍去；

　　　所以原有14个车站，现有16个车站；或者原有29个车站，现有30个车站.

【变式1】解方程：

（1）

；

（2）

.

类型四：

排列组合常见问题及基本方法

1．明确任务，分析是分类还是分步，是排列还是组合

　　4．从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，求这样的不同等差数列有多少个。

　　解析：

设a，b，c成等差，则2b=a+c，可知b由a，c决定，又∵2b是偶数，∴a，c同奇或同偶，即从1，3，5，……，19或2，4，6，……，20这十个数中选出两个数进行排列，就可确定等差数列，因而不同等差数列有

（个）

　5．用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：

（1）奇数；

（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。

　　【变式1】从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有____。

　　（A）240　　　（B）180　　　（C）120　　（D）60

　　【答案】

（一）从6双中选出一双同色的手套，有

种方法；

（二）从剩下的十只手套中任选一只，有

种方法；（三）从除前所涉及的两双手套之外的八只手套中任选一只，有

种方法；（四）由于选取与顺序无关，因而

（二）（三）中的选法重复一次；因而共

　　【变式2】身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为.

　　【答案】每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，从而有

。

2．特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑

　　6．六人站成一排，求

（1）甲不在排头，乙不在排尾的排列数

（2）甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数

解析：

（1）先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类。

第一类：

乙在排头，有

种站法；

第二类：

乙不在排头，当然他也不能在排尾，有

种站法共

种站法。

（2）第一类：

甲在排尾，乙在排头，有

种方法；第二类：

甲在排尾，乙不在排头，有

种方法；

第三类：

甲不在排尾，乙在排头，有

种方法；第四类：

甲不在排尾，乙不在排头，有

种方法；

共

种。

举一反三：

【变式1】对某件产品的6件不同正品和4件不同次品进行一一测试，至区分出所有次品为止。

若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？

　　【答案】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，分步完成。

第一步：

第五次测试的次品有

种可能；第二步：

前四次有一件正品有

种可能；第三步：

前四次有

种可能；∴共有

种可能。

3．捆绑与插空

　　7．共8人排成一队

（1）甲乙必须相邻；

（2）甲乙不相邻；（3）甲乙必须相邻且与丙不相邻；（4）甲乙必须相邻，丙丁必须相邻；（5）甲乙不相邻，丙丁不相邻

4．间接计数法

　　8．从10人中选4人参加一个会议，其中甲、乙、丙三人中至少有1人参加的与会方法有多少种？

　　解析：

有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。

　　方法一：

排除法

　　　　从10人中任选4人参加会议的方法有

种,其中甲、乙、丙都不参加会议的方法有

种，

　　　　故甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有

（种）。

　　　　方法二：

分类法

　　　　甲、乙、丙三人中至少有1人参加会议可分为三类：

　　　三人中只有1人参加会议，只有二人参加会议、三人都参加会议三类情况，

　　　　而每一类中情况还需分步，先取三人中参加会议的人，再从其余7人中取参加会议的人选，

　　　　因此甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有

（种）。

　　举一反三：

【变式1】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少四面体？

　　【答案】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，∴共

5．挡板法

　　9．10个名额分配到八个班，每班至少一个名额，问有多少种不同的分配方法？

　　解析：

把10个名额看成十个元素，在这十个元素之间形成的九个空中，选出七个位置放置档板，

　　　　　则每一种放置方式就相当于一种分配方式。

因而共

　　【变式】15个相同的球，放入标有1，2，3，4的四个盒子内，求分别满足下列条件的放法种数：

（1）每个盒子放入的球数不小于盒子的号码；

（2）15个球随意放入四个盒，使得每个盒子不空。

　　【答案】

（1）先在2号盒子放入1球，在3号盒子放入2球，在4号盒子放入3球，共用去6个球，

　　　还剩下9个球，相同的球，可以用挡板法，在8个空中插入3块挡板，共有

；

（2）

6．顺序问题

　　10．六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相邻），共有多少种不同的方法？

如果要求甲乙丙按从左到右依次排列呢？

　　解析：

（1）实际上，甲在乙的前面和甲在乙的后面两种情况对称，具有相同的排法数。

因而有

；

（2）先考虑六人全排列

；其次甲乙丙三人实际上只能按照一种顺序位站，

　　　　由于三人所占位置相同的情况下，共有

种变化，∴

　　【变式1】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法？

　　【答案】男生从左至右按从高到矮的顺序，有

若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。

【变式2】有4名男生、5名女生，全体排成一行，甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定，有多少种不同的排法?

【答案】共有

种排法.

7．排列组合综合应用

　11．从0，1，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数？

　解析：

先选后排。

另外还要考虑特殊元素0的选取。

（1）两个选出的偶数含0，则有

种；

（2）两个选出的偶数字不含0，则有

种，因而共

【变式1】电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法？

　【答案】

（1）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有

种；

（2）选择10层中的四层下楼有

，∴共

种

　【变式2】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数。

（1）可组成多少个不同的四位数？

（2）可组成多少个不同的四位偶数？

　　（3）可组成多少个能被3整除的四位数？

　　（4）将

（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？