高考调研理科数学课时作业讲解课时作业16.docx

高考调研理科数学课时作业讲解课时作业16.docx

《高考调研理科数学课时作业讲解课时作业16.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考调研理科数学课时作业讲解课时作业16.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考调研理科数学课时作业讲解课时作业16

课时作业（十六）

1．当x>0时，f（x）＝x＋的单调减区间是（　　）

A．（2，＋∞）　　　　　　　　B．（0,2）

C．（，＋∞）D．（0，）

答案　B

解析　f′（x）＝1－＝<0，

又∵x>0，∴x∈（0,2），∴选B.

2．若函数y＝a（x3－x）的递减区间为（－，），则a的取值范围是（　　）

A．a＞0B．－1＜a＜0

C．a＞1D．0＜a＜1

答案　A

解析　y′＝a（3x2－1），

解3x2－1＜0，得－＜x＜.

∴f（x）＝x3－x在（－，）上为减函数．

又y＝a·（x3－x）的递减区间为（－，）．∴a＞0.

3．函数f（x）＝lnx－ax（a>0）的单调递增区间为（　　）

A．（0，）B．（，＋∞）

C．（－∞，）D．（－∞，a）

答案　A

解析　由f′（x）＝－a>0，得0

∴f（x）的单调递增区间为（0，）．

4．（2013·唐山一中）函数f（x）的导函数f′（x）的图像如图所示，那么函数f（x）的图像最有可能的是（　　）

答案　A

5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且当x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）<0，设a＝f（0），b＝f（），c＝f（3），则（　　）

A．a

C．c

答案　B

解析　由f（x）＝f（2－x）可得对称轴为x＝1，故f（3）＝f（1＋2）＝f（1－2）＝f（－1）．

又x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）<0，可知f′（x）>0.

即f（x）在（－∞，1）上单调递增，f（－1）

6．f（x）为定义在R上的可导函数，且f′（x）>f（x），对任意正实数a，则下列式子成立的是（　　）

A．f（a）eaf（0）

C．f（a）

答案　B

解析　令g（x）＝，

∴g′（x）＝＝>0.

∴g（x）在R上为增函数，又∵a>0，

∴g（a）>g（0）即>.

即f（a）>eaf（0）．

7．（2012·福建）已知f（x）＝x3－6x2＋9x－abc，a

①f（0）f

（1）>0；②f（0）f

（1）<0；③f（0）f（3）>0；④f（0）f（3）<0.

A．①③B．①④

C．②③D．②④

答案　C

解析　∵f（x）＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′（x）＝3x2－12x＋9＝3（x－1）（x－3），令f′（x）＝0，得x＝1或x＝3.依题意有，函数f（x）＝x3－6x2＋9x－abc的图像与x轴有三个不同的交点，故f

（1）f（3）<0，即（1－6＋9－abc）（33－6×32＋9×3－abc）<0.

∴0

（1）＝4－abc>0，f（3）＝－abc<0，故②③是对的，应选C.

8．（2012·冀州中学模拟）若函数f（x）的导函数f′（x）＝x2－4x＋3，则使函数f（x－1）单调递减的一个充分不必要条件是x∈（　　）

A．（0,1）B．[0,2]

C．（2,3）D．（2,4）

答案　C

解析　由f′（x）<0⇔x2－4x＋3<0，

即1

∴函数f（x－1）在（2,4）上递减．

故D为充要条件，C为充分不必要条件．

9．设曲线y＝x2＋1在其任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y＝g（x）·cosx的部分图像可以为（　　）

答案　A

解析　g（x）＝2x，

∴y＝2x·cosx此函数为奇函数，排除B、D.

当x∈（0，）时，y>0，排除C选A.

10．函数y＝x－2sinx在（0,2π）内的单调增区间为________．

答案　（，）

解析　∵y′＝1－2cosx，∴由

即得

∴函数y＝x－2sinx在（0,2π）内的增区间为（，）．

11．函数f（x）的定义域为R，且满足f

（2）＝2，f′（x）>1，则不等式f（x）－x>0的解集为________．

答案　（2，＋∞）

解析　令g（x）＝f（x）－x，

∴g′（x）＝f′（x）－1.

由题意知g′（x）>0，∴g（x）为增函数．

∵g

（2）＝f

（2）－2＝0，

∴g（x）>0的解集为（2，＋∞）．

12．已知函数f（x）＝xsinx，x∈R，f（－4），f（），f（－）的大小关系为______（用“<”连接）．

答案　f（）

解析　f′（x）＝sinx＋xcosx，当x∈[，]时，sinx<0，cosx<0.

∴f′（x）＝sinx＋xcosx<0，则函数f（x）在x∈[，]时为减函数．

∴f（）

∴f（）

13．已知函数f（x）＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．

答案　[1，＋∞）

解析　f′（x）＝mx＋－2≥0对一切x>0恒成立．

m≥－2＋，令g（x）＝－2＋，则当＝1时，

函数g（x）取得最大值1，故m≥1.

14．求函数f（x）＝x（ex－1）－的单调区间．

答案　在（－∞，－1]，[0，＋∞）上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

解析　f（x）＝x（ex－1）－x2，

f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．

当x∈（－∞，－1）时，f′（x）>0；

当x∈（－1,0）时，f′（x）<0；当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0.

故f（x）在（－∞，－1]，[0，＋∞）上单调递增，在[－1,0]上单调递减．

15．设函数f（x）＝x2－1＋cosx（a>0）．

（1）当a＝1时，证明：

函数y＝f（x）在（0，＋∞）上是增函数；

（2）若y＝f（x）在（0，＋∞）上是单调增函数，求正数a的范围．

答案　

（1）略　

（2）a≥1

解析　

（1）证明：

当a＝1时，f（x）＝x2－1＋cosx.

令g（x）＝f′（x）＝x－sinx，

g′（x）＝1－cosx≥0，∀x∈（0，＋∞）恒成立．

∴y＝g（x）在（0，＋∞）上是增函数．

∴g（x）>g（0）＝0.

∴f′（x）>0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）为增函数．

（2）f（x）＝x2－1＋cosx，

令h（x）＝f′（x）＝ax－sinx.

∵y＝f（x）在（0，＋∞）上单调递增，

∴ax－sinx>0恒成立．

当a≥1时，∀x∈（0，＋∞），

恒有ax≥x>sinx，满足条件．

当0

令h′（x）＝0，得cosx＝a，在（0，）内存在x0，使得cosx0＝a.

当x∈（0，x0）时，h′（x）<0.

∴h（x）

与∀x∈（0，＋∞），f′（x）>0恒成立矛盾．∴a≥1.

16．（2012·北京）已知函数f（x）＝ax2＋1（a>0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2＝4b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间，并求其在区间（－∞，－1]上的最大值．

解析　

（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b.

因为曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，所以f

（1）＝g

（1），且f′

（1）＝g′

（1）．

即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.

解得a＝3，b＝3.

（2）记h（x）＝f（x）＋g（x）．当b＝a2时，

h（x）＝x3＋ax2＋a2x＋1，

h′（x）＝3x2＋2ax＋a2.

令h′（x）＝0，得x1＝－，x2＝－.

当a>0时，h（x）与h′（x）的情况如下：

x

－

－

h′（x）

＋

0

－

0

＋

h（x）

所以函数h（x）的单调递增区间为和；单调递减区间为.

当－≥－1，即0

函数h（x）在区间（－∞，－1]上单调递增，h（x）在区间（－∞，－1]上的最大值为h（－1）＝a－a2.

当－<－1，且－≥－1，即2

函数h（x）在区间内单调递增，在区间上单调递减，h（x）在区间（－∞，－1]上的最大值为h＝1.

当－<－1，即a>6时，函数h（x）在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增．

又因h（－）－h（－1）＝1－a＋a2＝2>1，

所以h（x）在区间（－∞，－1]上的最大值为h（－）＝1.

17．已知函数f（x）＝lnx－ax＋－1（a∈R）．

（1）当a＝－1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程；

（2）当a≤时，讨论f（x）的单调性．

解析　

（1）当a＝－1时，f（x）＝lnx＋x＋－1，x∈（0，＋∞）．

∴f′（x）＝＋1－，∴f

（2）＝ln2＋2，f′

（2）＝1.

∴曲线y＝f（x）在点（2，f

（2））处的切线方程为y＝x＋ln2.

（2）因为f（x）＝lnx－ax＋－1，

所以f′（x）＝－a＋＝－，x∈（0，＋∞）．

令g（x）＝ax2－x＋1－a，x∈（0，＋∞），

①当a＝0时，g（x）＝－x＋1，x∈（0，＋∞）．

所以当x∈（0,1）时g（x）>0，此时f′（x）<0，函数f（x）单调递减，当x∈（1，＋∞）时g（x）<0，此时f′（x）>0，函数f（x）单调递增．

②当a≠0时，由f′（x）＝0，解得x1＝1，x2＝－1.

（ⅰ）若a＝时，f′（x）<0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减．

（ⅱ）若0－1，所以函数f（x）在（0,1），单调递减，在上单调递增．

（ⅲ）当a<0时，由于－1<0，由f′（x）<0，得0

∴x∈（0,1）时，函数f（x）递减；x∈（1，＋∞）时，函数f（x）递增．

综上所述：

当a≤0时，函数f（x）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增；

当a＝时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减；

当0

1．若函数f（x）＝（x2－2x）ex在（a，b）上单调递减，则b－a的最大值为（　　）

A．2　　　　　　　　　　　B.

C．4D．2

答案　D

解析　f′（x）＝（2x－2）ex＋（x2－2x）ex＝（x2－2）ex.

令f′（x）<0.∴－

即函数f（x）的递减区间为（－，）．

∴b－a的最大值为2.

2．已知函数y＝xf′（x）的图像如图所示．下面四个图像中y＝f（x）的图像大致是（　　）

答案　C

解析　由题意知，x∈（0,1）时，f′（x）<0，f（x）为减函数．

x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，f（x）为增函数．

x∈（－1,0）时，f′（x）<0，f（x）为减函数．

3．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－a）f′（x）≥0，则必有（　　）

A．f（x）≥f（a）B．f（x）≤f（a）

C．f（x）>f（a）D．f（x）

答案　A

解析　由题意知，x>a时，f′（x）≥0，x

∴函数在（－∞，a）上递减，（a，＋∞）上递增，∴f（x）≥f（a）．

4．函数f（x）的定义域为R，f（－1）＝2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x＋4的解集为（　　）

A．（－1,1）B．（－1，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（－∞，＋∞）

答案　B

解析　设g（x）＝f（x）－2x－4，则g′（x）＝f′（x）－2.

∵f′（x）>2，∴g′（x）>0.

∴g（x）在R上是增函数．

又∵g（－1）＝f（－1）－2（－1）－4＝0，

∴g（x）>g（－1）＝0，∴x>－1.

5．若f（x）＝，e

A．f（a）>f（b）B．f（a）＝f（b）

C．f（a）1

答案　A

解析　f′（x）＝，当x>e时，f′（x）<0，

则f（x）在（e，＋∞）上为减函数，f（a）>f（b），故选A.

6．若a>2，则函数f（x）＝x3－ax2＋1在区间（0,2）上恰好有（　　）

A．0个零点B．1个零点

C．2个零点D．3个零点

答案　B

解析　∵f′（x）＝x2－2ax，且a>2，

∴当x∈（0,2）时，f′（x）<0，

即f（x）在（0,2）上是单调减函数．

又∵f（0）＝1>0，f

（2）＝－4a<0，

∴f（x）在（0,2）上恰好有1个零点．故选B.

7．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）·g（x）＋f（x）·g′（x）＞0，且f（－3）·g（－3）＝0，则不等式f（x）·g（x）＜0的解集是（　　）

A．（－3,0）∪（3，＋∞）B．（－3,0）∪（0,3）

C．（－∞，－3）∪（3，＋∞）D．（－∞，－3）∪（0,3）

答案　D

解析　f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

∴f（x）·g（x）为奇函数．

当x＜0时，f′（x）·g（x）＋f（x）g′（x）＞0.

即x＜0时，[f（x）·g（x）]′＞0.

∴f（x）·g（x）为增函数，且f（－3）·g（－3）＝0.

根据函数性质可知，f（x）·g（x）＜0的解集为

（－∞，－3）∪（0,3）．

8．若函数f（x）的导函数f′（x）＝x2－4x＋3，则函数f（x＋1）的单调递减区间是（　　）

A．（2,4）B．（－3，－1）

C．（1,3）D．（0,2）

答案　D

解析　由f′（x）＝x2－4x＋3＝（x－1）（x－3）知，当x∈（1,3）时，f′（x）<0.函数f（x）在（1,3）上为减函数，函数f（x＋1）的图像是由函数y＝f（x）图像向左平移1个单位长度得到的，所以（0,2）为函数y＝f（x＋1）的单调减区间．

9．（2012·丹东四校联考）已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（－∞，0）时，恒有xf′（x）F（2x－1）的实数x的取值范围是（　　）

A．（－1,2）B．（－1，）

C．（，2）D．（－2,1）

答案　A

解析　f（x）是奇函数，且x∈（－∞，0]时，xf′（x）

∴xf′（x）<－f（x），即xf′（x）＋f（x）<0.

又F（x）＝xf（x），∴F′（x）＝f（x）＋xf′（x）<0.

∴F（x）在（－∞，0]上是减函数．

又F（－x）＝－xf（－x）＝－x[－f（x）]＝xf（x）＝F（x），

∴F（x）是偶函数．

∴F（x）在[0，＋∞）上增函数．

由F（3）>F（2x－1），得F（3）>F（|2x－1|）．

∴3>|2x－1|即－1

10．（2013·皖南八校）已知函数f（x）＝alnx－ax－3（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）函数y＝f（x）的图像在x＝4处的切线的斜率为，若函数g（x）＝x3＋x2[f′（x）＋]在区间（1,3）上不是单调函数，求m的取值范围．

解析　

（1）f′（x）＝（x>0），

当a>0时，f（x）的单调递增区间为（0,1]，单调递减区间为[1，＋∞）；

当a<0时，f（x）的单调递增区间为[1，＋∞），单调递减区间为（0,1]；

当a＝0时，f（x）不是单调函数．

（2）由f′（4）＝－＝，得a＝－2，则f（x）＝－2lnx＋2x－3.

∴g（x）＝x3＋（＋2）x2－2x.

∴g′（x）＝x2＋（m＋4）x－2.

∵g（x）在区间（1,3）上不是单调函数，且g′（0）＝－2<0，

∴∴

故m的取值范围是（－，－3）．

11．已知函数f（x）＝ln（ex＋a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）＝λf（x）＋sinx是区间[－1,1]上的减函数．求实数λ取值的集合A.

解析　∵f（－x）＝－f（x），

∴ln（e－x＋a）＝－ln（ex＋a）．

∴e－x＋a＝.

∴a（e－x＋ex＋a）＝0.∴a＝0.

∴f（x）＝x，且g（x）＝λx＋sinx在[－1,1]上单调递减．

∴g′（x）＝λ＋cosx≤0在x∈[－1,1]上恒成立．

∴λ≤－cosx，∴λ≤－1，即A＝（－∞，－1]．

12．（2012·新课标全国文）设函数f（x）＝ex－ax－2.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若a＝1，k为整数，且当x>0时，（x－k）f′（x）＋x＋1>0，求k的最大值．

解析　

（1）f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f′（x）＝ex－a.

若a≤0，则f′（x）>0，所以f（x）在（－∞，＋∞）上单调递增．

若a>0，则当x∈（－∞，lna）时，f′（x）<0；当x∈（lna，＋∞）时，f′（x）>0，所以，f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增．

（2）由于a＝1，所以（x－k）f′（x）＋x＋1＝（x－k）（ex－1）＋x＋1.

故当x>0时，（x－k）f′（x）＋x＋1>0等价于

k<＋x（x>0）．①

令g（x）＝＋x，则g′（x）＝＋1＝.

由

（1）知，函数h（x）＝ex－x－2在（0，＋∞）上单调递增．而h

（1）<0，h

（2）>0，所以h（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点．故g′（x）在（0，＋∞）上存在唯一的零点．设此零点为α，则α∈（1,2）．

当x∈（0，α）时，g′（x）<0；当x∈（α，＋∞）时，g′（x）>0.所以g（x）在（0，＋∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）＝0，可得eα＝α＋2，所以g（α）＝α＋1∈（2,3）．

由于①式等价于k