初三数学圆经典例题.docx
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初三数学圆经典例题
一．圆的定义及相关概念
【考点速览】
考点1：
圆的对称性：
圆既是轴对称图形又是中心对称图形。
经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
圆心是它的对称中心。
考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；
②不在同一条直线上的三点确定一个圆；
考点3：
弦：
连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最大的
弦。
弦心距：
圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：
圆上任意两点间的部分叫做弧。
弧分为半圆，优弧、劣弧三种。
（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）
弓形：
弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。
弓高：
弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。
如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
1
锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在,钝角三角形的外心在。
考点5
点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，
则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外d＞r；②点在圆上d=r；③点在圆内d＜r；
【典型例题】
例1在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与⊙C有怎样的位置关系，并说明你的理由。
A
M
B
C
例2．已知，如图，CD是直径，
EOD84，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数。
E
B
D
A
O
C
例3⊙O平面内一点P和⊙O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是
_________cm。
例4在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？
例5如图,⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,CEA30，
求CD的长．
C
E
A·B
O
D
例6.已知：
⊙O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为2,3，求BAC的度数．
2
例7.如图，已知在ABC中，A90，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半
径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长．
C
AB
D
例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB＝16cm，拱高CD＝4cm，那么拱形的半径是＿＿m。
C
A
B
.思考题
D
如图所示,已知⊙O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.
C
E
A
·
P
B
O
F
二．垂径定理及其推论
D
【考点速览】
考点1
垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤．
推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤．
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．
3
③平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤．
推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等．
垂径定理及推论1中的三条可概括为：
①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
【典型例题】
例1如图AB、CD是⊙O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且AMNCNM．
求证：
AB=CD．
AC
MN
·
O
BD
例2已知，不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F。
求证：
CE=DF．
B
B
O
O
A
O
B
A
E
l
DFl
l
ECH
DF
C
HFD
EC
H
A
问题一图1
问题一图2
问题一图3
例3如图所示，⊙O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。
（1）求证：
AE＝BF
（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？
若是定值，请给出证
4
FB
明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4如图，在⊙O内，弦CD与直径AB交成450角，若弦CD交直径AB于点P，且⊙O
半径为1，试问：
PC2
PD2是否为定值？
若是，求出定值；若不是，请说明理由.
D
A
P
。
B
O
C
例5.如图所示，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：
ME=NF.
M
A
E
C
·O
B
F
D
N
例6.（思考题）如图，
o1与
o2交于点A，B，过A的直线分别交
o1，
o2于M,N，
5M
CA
C为MN的中点，P为O1O2的中点，求证：
PA=PC.
三．圆周角与圆心角
【考点速览】
考点1
圆心角：
顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg:
判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：
顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。
两个条件缺一不可．
Eg:
判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
6
考点2
定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
Eg:
如下三图，请证明。
13.如图，已知A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD、
AD．
（1）求证：
DB平分∠ADC；
（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．
14.如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且ABCD于点E．连接AC、OC、
BC．
（1）求证：
ACO=BCD．
（2）若EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直径．
A
O
E
CD
B
7
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过
C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。
（1）求证：
AC＝AE；
（2）求△ACD外接圆的半径。
A
E
CD
A、
B
16.已知：
如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧BC上的一点（端点除外），延长BP
至D，使BDAP，连结CD．
（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？
并说明理由．
（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？
为什么？
AA
O
O
B
C
C
B
P
P
D
图①
D
图②
四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
【考点速览】
圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
8
推论：
在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量
相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（务必注意前提为：
在同圆或等圆中）
例1．如图所示，点O是∠EPF的平分线上一点，以
O为圆心的圆和角的两边分别交于
A、B和C、D，求证：
AB=CD．
E
B
A
P
1
O
2
C
D
F
例2、已知：
如图，EF为⊙O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且∠APF=∠CPF。
求证：
PA=PC。
9
例3．如图所示，在
ABC中，∠A=72
，⊙O截
ABC的三条边长所得的三条弦等长，
求∠BOC.
A
·O
BC
例4．如图，⊙O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE．求证：
AC=AE．
C
B
O·A
D
E
例5．如图所示，已知在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=120，OD⊥AB于D，OE⊥BC于E．求证：
ODE是等边三角形．
O
·
ADEC
B
例6.如图所示，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。
（1）试说明△ODE的形状；
10
（2）如图2，若∠A=60o，AB≠AC，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。
AA
D
DE
E
BOCBOC
例7弦DF∥AC，EF的延长线交BC的延长线于点G.
（1）求证：
△BEF是等边三角形；
（2）BA=4，CG=2，求BF的长.
ED
A
·
OF
BCG
例8已知：
如图，∠AOB=90°，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。
求证：
AE=BF=CD。
六．会用切线，能证切线
考点速览：
考点1
直线与圆的位置关系
11
图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系
0d>r相离
1d=r相切
2d
考点2
切线：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言
∵OA⊥l于A，OA为半径∴l为⊙O的切线
O
Al
考点3
判断直线是圆的切线的方法：
①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（请务必记住证明切线方法：
有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法：
见切线就要连圆心和切点得到垂直）
1、如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AB=3,BC=4,DE=DC，求⊙O的半径．
12
DC
EF
O
AB
2.如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半
圆
O
于点E，交
AC
于点
C，BED
C
．
使
（1）判断直线AC与圆O的位置关系，并证明你的结论；
C
A
3.如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
（1）取BC的中点E，连结ED，试证明ED与⊙O相切．
（2）在
（1）的条件下，若AB＝3，AC＝5，求DE的长；
A
D
O·
ED
OB
BEC
4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
（1）求证：
PC是⊙O的切线；
13
1
（2）求证：
BC=2AB；
5.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O
是AB上一点，⊙O过A、E两点,交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：
BC与⊙O相切；
C
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数
D
GE
AOFB
6.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，
（1）若∠AED＝45o．试判断CD与⊙O的关系，并说明理由．
（2）若∠AED=60o,AD=4，求⊙O半径。
A
D
C
OB
E
7.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点
D.
（1）求线段AD的长度；
14
（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？
请说明理由.
A
D
CB
O
⌒
8.如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是AB的中点，过点D作
直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F
（1）求证：
EF⊙是O的切线；
（2）若AB＝8，EB＝2，求⊙O的半径．
E
BD
C·
OAF
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：
PC是⊙O的切线。
15
20.已知：
AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于点D，CB⊥AB交AD的延长线于C．
（1）求证：
AD＝DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝2，CE=1，
求⊙O的半径．
16
20．在Rt
△AFD
中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联
结AC，将△AFC沿AC翻折得
，且点E恰好落在直径AB上.
F
△AEC
C
（1）判断：
直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并
证明你的结论.
（2）若OB=BD=2,求CE的长．
A
OEB
D
20．如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．
C
E
D
A
F
B
O
20．已知：
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别
交BC、AC于点D、E，
（20
题图）
联结EB交OD于点F．
（1）求证：
OD⊥BE；
（2）若DE=5，AB=5，求AE的长．
17
20.如图，AB是O的直径，
BAC30，M是OA上一点，过
M作AB的垂线交AC于
点N,交BC的延长线于点
E,直线CF交EN于点F,且ECF
E.
（1）证明CF是O的切线
E
（2）设⊙O的半径为1．且AC=CE,求MO的长.
F
C
N
A
B
M
O
21.如图，ABBCCD分别与圆O切于EFG且AB//CD，连接OBOC，延长CO交圆O于点M，过点M作MN//OB交CD于N
求证MN是圆O切线
当OB=6cm，OC=8cm时，求圆O的半径及MN的长
七．切线长定理
考点速览：
考点1
切线长概念：
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
切线长和切线的区别
18
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点
之间的距离，可以度量．
考点2
A
切线长定理：
P
O·CD
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相
等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
B
要注意：
此定理包含两个结论，如图，PA、PB
切⊙O于A、B两点，
①PA=PB②PO平分APB．
考点3
两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．
经典例题：
例1已知PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、C三点，若PO=13㎝，PED的周长为24㎝，
求：
①⊙O的半径；②若APB40，EOD的度数．
A
E
C
·O
P
D
B
例2如图，⊙O分别切ABC的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BCa,ACb,ABc．
（1）求AD、BE、CF的长；
（2）当C90，求内切圆半径r．
A
A
D
F
D
·O
F
·O
19
例3．如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？
例4
如图甲，直线
3
3与
x
m,n是第
x
A
y
B
C
y
轴相交于点
轴相交于点
4
，与
，点
二象限内任意一点，以点
C为圆心与圆与
x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.
（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；
（2）如图乙，若⊙C与y轴相切于点D，求⊙C的半径r；
（3）求m与n之间的函数关系式；
（4）在⊙C的移动过程中，能否使OEF是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？
20
八．三角形内切圆
考点速览
考点1
概念：
和三角形各边都相切的圆叫做
三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
内心，
这个三角形叫做圆的外切三角形．
概念推广：
和多边形各边都相切的圆叫做
多边形的内切圆
，这个多边形叫做圆的外切多
边形．
考点2
三角形外接圆与内切圆比较：
名称
确定方法
图形
性质
外心（三角形
三角形三边
（1）OA=OB=OC；
外接圆的圆
中垂线的交
（2）外心不一定在三角
心）
点
形的内部．
（1）到三边的距离相等；
内心（三角形
三角形三条
（2）OA、OB、OC分别平
内切圆的圆
角平分线的
分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
心）交点
（3）内心在三角形内部．
考点3
A
求三角形的内切圆的半径
c
b
ab
c
O
E
1、直角三角形△ABC内切圆⊙O的半径为r
.
2
B
aD
C
2、一般三角形
A
①已知三边，求△ABC内切圆⊙O的半径r.
FO
2S
E
r
abc
B
D
C
（海伦公式S＝
，其中s=
s（sa）（s
b）（sc）
）
△
abc
2
例1．如图，△ABC中，∠A=m°．
21
（1）如图
（1），当O是△ABC的内心时，求∠BOC的度数；
（2）如图
（2），当O是△ABC的外心时，求∠BOC的度数；
（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求∠BOC的度数．
例2．如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，
求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．
考点速练2
1．如图，在半径为
R的圆内作一个内接正方形，
?
然后作这个正方形的内切圆，又在这
个内切圆中作内接正方形，依此作到第
n
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