初三数学圆经典例题.docx

1、初三数学圆经典例题一圆的定义及相关概念【考点速览】考点 1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点 2：确定圆的条件；圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点 3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为

2、两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法 ：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点 4：三角形的外接圆：1锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 , 钝角三角形的外心在 。考点 5点和圆的位置关系 设圆的半径为 r ，点到圆心的距离为 d，则点与圆的位置关系有三种。点在圆外 d r ；点在圆上 d=r ；点在圆内 d r ；【典型例题】例 1 在 ABC中， ACB=90 , AC=2, BC=4，CM是 AB边上的中线， 以点 C为圆心， 以 5 为半径作圆，试确定 A,B,M 三点分别与 C有怎样的位置关系，并说明你的

3、理由。AMBC例 2已知，如图， CD是直径，EOD 84 ，AE 交 O于 B，且 AB=OC，求 A 的度数。EBDAOC例 3 O 平面内一点 P 和 O 上一点的距离最小为 3cm，最大为 8cm，则这圆的半径是_cm 。例4 在半径为 5cm 的圆中，弦 AB CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则 AB 和 CD 的距离是多少？例 5 如图 , O的直径 AB 和弦 CD相交于点 E，已知 AE=6cm， EB=2cm, CEA 30 ，求 CD的长CEA BOD例 6. 已知： O的半径 0A=1，弦 AB、 AC的长分别为 2, 3 ，求 BAC 的度数2例 7. 如图，已

4、知在 ABC 中， A 90 ， AB=3cm， AC=4cm，以点 A 为圆心， AC长为半径画弧交 CB的延长线于点 D，求 CD的长CA BD例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB 16cm，拱高 CD 4cm，那么拱形的半径是 m。CAB. 思考题D如图所示 , 已知 O的半径为 10cm，P 是直径 AB上一点 , 弦 CD过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B 分别向 CD引垂线 AE和 BF, 求 AE-BF 的值 .CEAPBOF二垂径定理及其推论D【考点速览】考点 1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论 1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，

5、并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤3平分弦所对的一条孤的直径 ,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦 ( 不是直径 ) ；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】例 1 如图 AB、 CD是 O的弦， M、 N 分别是 AB、 CD的中点，且 AMN CNM 求证： AB=CDA CM NOB D例 2 已知，不过圆心的直线 l 交 O于 C、D两点， AB是 O的直径， AE l 于 E，BF l 于F。求证

6、： CE=DFBBOOAOBAElD F llE CHD FCHF DE CHA问题一图 1问题一图 2问题一图 3例 3 如图所示， O 的直径 AB 15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上滑动（点 C 与点 A ，点 D 与 B 不重合），且 CECD 交 AB 于 E， DF CD 交 AB 于 F。（1）求证： AE BF（2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证4FB明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例 4 如图，在 O 内，弦 CD与直径 AB交成 450 角，若弦 CD交直径 AB于点 P，且 O半径为

7、1，试问： PC 2PD 2 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.DAP。BOC例5. 如图所示， 在 O中，弦 AB AC，弦 BD BA，AC、BD交直径 MN于 E、F. 求证： ME=NF.MAECOBFDN例 6. （思考题）如图，o1 与o2 交于点 A， B，过 A 的直线分别交o1 ，o2 于 M,N，5 MC AC为 MN的中点， P 为 O1O 2 的中点，求证： PA=PC.三圆周角与圆心角【考点速览】考点 1圆心角 ：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角 ：顶点在圆周上，角两边和

8、圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由6考点 2定理 ：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。13.如图，已知 A、 B、 C、 D 是 O 上的四个点， AB BC，BD 交 AC 于点 E，连接 CD 、AD （1）求证： DB 平分 ADC ；（2）若 BE 3，ED 6，求 AB 的长 14. 如图所示，已知 AB 为 O 的直径， CD 是弦，且 AB CD 于点 E连接 AC、 OC、BC（1）求证：ACO= BCD （2）若 EB= 8cm ，CD= 24cm ，求 O 的直径AOEC DB7

9、15.如图，在 Rt ABC中， ACB 90， AC 5，CB 12， AD是 ABC的角平分线，过C、 D 三点的圆与斜边 AB交于点 E，连接 DE。（1）求证： AC AE；（2）求 ACD外接圆的半径。AEC DA、B16.已知： 如图等边 ABC 内接于 O，点 P 是劣弧 BC 上的一点 （端点除外），延长 BP至 D，使 BD AP，连结 CD（ 1）若 AP 过圆心 O ，如图，请你判断 PDC 是什么三角形？并说明理由（ 2）若 AP 不过圆心 O ，如图， PDC 又是什么三角形？为什么？A AOOBCCBPPD图D图四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角 ,

10、 弧 ,弦 ,弦心距之间的关系定理 :在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等8推论： 在同圆或等圆中 ,如果两个圆心角 ,两条弧 ,两条弦 ,两条弦心距中 ,有一组量相等 ,那么它们所对应的其余各组量都分别相等 .（务必注意前提为：在同圆或等圆中）例 1如图所示，点 O 是 EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、 B 和 C、 D，求证： AB=CD EBAP1O2CDF例2、已知：如图， EF为 O的直径，过 EF上一点 P作弦 AB、CD，且 APF= CPF。求证： PA=PC。9例 3如图所示，在ABC 中， A=72，

11、O截ABC 的三条边长所得的三条弦等长，求 BOC.A OB C例 4如图， O的弦 CB、 ED的延长线交于点 A，且 BC=DE求证： AC=AECBO ADE例5如图所示，已知在 O中，弦 AB=CB， ABC=120 ， OD AB于 D， OEBC于 E求证： ODE 是等边三角形OA D E CB例6. 如图所示，已知 ABC是等边三角形，以 BC为直径的 O分别交 AB、AC于点 D、E。（ 1）试说明 ODE的形状；10（ 2）如图 2，若 A=60o， ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。A ADD EEB O C B O C例 7 弦 DF AC， EF的延长线交

12、 BC的延长线于点 G.（ 1）求证： BEF是等边三角形；（ 2） BA=4， CG=2，求 BF 的长 .E DAO FB C G例8已知：如图， AOB=90 ， C、 D是弧 AB 的三等分点， AB 分别交 OC、OD于点 E、F。求证： AE=BF=CD 。六会用切线，能证切线考点速览：考点 1直线与圆的位置关系11图形 公共点个数 d 与 r 的关系 直线与圆的位置关系0 dr 相离1 d=r 相切2 dr 相交考点 2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言OA l 于 A ， OA 为半径 l 为 O 的切线OA l考点 3判断直线是圆的切线的方法：与圆

13、只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点 4切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）1、如图，在矩形 ABCD中，点 O在对角线 AC上，以 OA的长为半径的圆 O与AD、AC分别交于点 E、F，且 ACB=DCE(1)判断直线 CE与 O的位置关系，并证明你的结论；(2)若 AB=

14、3,BC=4,DE=DC，求 O的半径12D CE FOA B2.如图， AB 是半圆 O 的直径，过点 O 作弦 AD 的垂线交半圆O于点E，交AC于点C， BEDC使（1）判断直线 AC 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论；CA3.如图，已知 R t ABC， ABC 90，以直角边 AB 为直径作 O，交斜边 AC于点 D，连结 BD（1）取 BC的中点 E，连结 ED，试证明 ED与 O相切（2）在（ 1）的条件下，若 AB3，AC5，求 DE的长；ADOE DO BB E C4.如图，已知 AB是 O的直径，点 C在 O上，过点 C的直线与 AB的延长线交于点 P，AC=PC， C

15、OB=2PCB.（1）求证： PC是 O的切线；131（2）求证： BC=2 AB；5.如图，在 ABC中， AB=AC，D 是 BC中点， AE平分 BAD交 BC于点 E，点 O是 AB上一点， O过 A、E 两点 , 交 AD于点 G，交 AB于点 F（1）求证： BC与 O相切；C（2）当 BAC=120时，求 EFG的度数DG EA O F B6.如图，四边形 ABCD是平行四边形，以 AB 为直径的 O 经过点 D，E 是 O 上一点，（1）若 AED 45o试判断 CD与 O的关系，并说明理由（2）若 AED=60o,AD=4，求 O半径。ADCO BE7.在 RtACB中， C

16、=90， AC=3cm，BC=4cm，以 BC为直径作 O交 AB于点D.（1）求线段 AD的长度；14（2）点 E 是线段 AC上的一点，试问当点 E 在什么位置时，直线 ED与 O 相切？请说明理由 .ADC BO8. 如图，已知 ABC内接于 O，AC是 O的直径， D是AB 的中点，过点 D 作直线 BC的垂线，分别交 CB、CA的延长线 E、F（1）求证： EF是 O的切线；（2）若 AB8，EB 2，求 O的半径EB DC O A F如图，已知 O 是 ABC 的外接圆， AB 为直径，若 PA AB ，PO 过 AC 的中点 M，求证： PC 是 O 的切线。1520.已知： A

17、B 是 O 的弦， OD AB 于 M 交 O 于点 D， CB AB 交 AD 的延长线于 C（1）求证： AD DC ；（2）过 D 作 O 的切线交 BC 于 E，若 DE 2， CE= 1，求 O 的半径1620在 Rt AFD中， F=90，点 B、C分别在 AD、FD上，以 AB为直径的半圆 O 过点 C，联结 AC，将 AFC 沿 AC翻折得，且点 E恰好落在直径 AB上 .FAECC（ 1）判断：直线 FC与半圆 O的位置关系是 _ ；并证明你的结论 .（ 2）若 OB=BD=2, 求 CE的长AOEBD20如图所示， AB 是 O 的直径， OD弦 BC 于点 F，且交 O

18、于点 E，若 AEC= ODB （1）判断直线 BD 和 O 的位置关系，并给出证明；（2）当 AB=10， BC=8 时，求 BD 的长CEDAFBO20已知：如图，在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 BC、AC 于点 D、E，（ 20题图）联结EB交OD于点F（1）求证： OD BE ；（2）若 DE= 5 ， AB=5 ，求 AE 的长1720. 如图， AB 是 O 的直径，BAC 30 ， M是 OA上一点，过M作 AB的垂线交 AC于点 N, 交 BC的延长线于点E,直线 CF 交 EN于点 F, 且 ECFE.（ 1）证明 CF 是 O 的切线E(2)

19、 设 O的半径为 1且 AC=CE,求 MO的长 .FCNABMO21. 如图， AB BC CD分别与圆 O切于 E F G 且 AB/CD，连接 OB OC，延长 CO交圆 O于点M，过点 M作 MN/OB 交 CD于 N求证 MN 是圆 O切线当OB=6cm， OC=8cm时，求圆 O的半径及 MN的长七切线长定理考点速览：考点 1切线长概念：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长和切线的区别18切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量考点 2A切线长定理： PO C D从圆外一点引圆的两条切线，它

20、们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角B要注意：此定理包含两个结论，如图， PA、 PB切O于 A、 B 两点， PA=PB PO平分 APB 考点 3两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例 1 已知 PA、PB、DE分别切 O于 A、B、C 三点，若 PO=13， PED 的周长为 24 ，求： O的半径；若 APB 40 ， EOD 的度数AECOPDB例 2 如图，O分别切 ABC 的三边 AB、BC、CA于点 D、E、F，若 BC a, AC b, AB c （ 1）求 AD、 BE、 CF的长；（2）当 C 90 ，求内切圆半径

21、 r AADFDOFO19例 3如图，一圆内切四边形 ABCD，且 AB=16， CD=10，则四边形的周长为？例 4如图甲， 直线33 与xm, n 是第xAyBCy轴相交于点轴相交于点4，与，点二象限内任意一点，以点C为圆心与圆与x 轴相切于点 E，与直线 AB相切于点 F.（1）当四边形 OBCE是矩形时，求点 C 的坐标；（2）如图乙，若 C 与 y 轴相切于点 D，求 C的半径 r ；（3）求 m与 n 之间的函数关系式；（ 4）在 C 的移动过程中，能否使 OEF 是等边三角形（只回答“能”或“不能” ）？20八三角形内切圆考点速览考点 1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内

22、切圆 ，内切圆的圆心叫做三角形的内心 ，这个三角形叫做 圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做 圆的外切多边形 考点 2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形三角形三边（ 1） OA=OB=OC；外接圆的圆中垂线的交（ 2）外心不一定在三角心）点形的内部（ 1）到三边的距离相等；内心（三角形三角形三条（ 2） OA、 OB、 OC分别平内切圆的圆角平分线的分 BAC、 ABC、 ACB；心） 交点（ 3）内心在三角形内部考点 3A求三角形的内切圆的半径cba bcOE1、直角三角形 ABC内切圆 O的半径为 r.2Ba DC2、一般

23、三角形A已知三边，求 ABC内切圆 O的半径 r.F O2SEra b cBDC（海伦公式 S ， 其中 s=s(s a)(sb)(s c)a b c2例 1如图， ABC中， A=m21（1）如图（ 1），当 O是 ABC的内心时，求 BOC的度数；（2）如图（ 2），当 O是 ABC的外心时，求 BOC的度数；（3）如图（ 3），当 O是高线 BD与 CE的交点时，求 BOC的度数例2如图， Rt ABC中， AC=8， BC=6， C=90， I 分别切 AC，BC， AB于 D， E，F，求Rt ABC的内心 I 与外心 O之间的距离考点速练 21如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，?然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n