中考数学系统复习 第三单元 函数 第10讲 第2课时 一次函数的实际应用8年真题训练练习.docx
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中考数学系统复习第三单元函数第10讲第2课时一次函数的实际应用8年真题训练练习
第2课时 一次函数的实际应用
命题点 一次函数的实际应用
1．（2015·河北T23·10分）水平放置的容器内原有210毫米高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4毫米，每放入一个小球水面就上升3毫米，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y毫米．
（1）只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式（不必写出x大的范围）；
（2）仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．
①求y与x小的函数关系式（不必写出x小的范围）；
②限定水面高不超过260毫米，最多能放入几个小球？
解：
（1）y＝4x大＋210.
（2）①当x大＝6时，y＝4×6＋210＝234，
∴y＝3x小＋234.
②依题意，得3x小＋234≤260，解得x小≤8
.
∵x小为自然数，∴x小最大为8，即最多能放入8个小球．
2．（2016·河北T24·10分）某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具，调整后的单价y（元）与调整前的单价x（元）满足一次函数关系，如下表：
第1个
第2个
第3个
第4个
…
第n个
调整前的
单价x（元）
x1
x2＝6
x3＝72
x4
…
xn
调整后的
单价y（元）
y1
y2＝4
y3＝59
y4
…
yn
已知这n个玩具调整后的单价都大于2元．
（1）求y与x的函数关系式，并确定x的取值范围；
（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
（3）这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x，y，猜想y与x的关系式，并写出推导过程．
解：
（1）设y＝kx＋b，1分
依题意，得x＝6，y＝4；x＝72，y＝59.
∴
解得
∴y＝
x－1.3分
依题意，得
x－1＞2，解得x＞
.
∴x的取值范围为x＞
.5分
（2）将x＝108代入y＝
x－1，得
y＝
×108－1＝89，∴108－89＝19（元）.6分
∴顾客购买这个玩具省了19元.7分
（3）y＝
x－1.8分
推导过程如下：
由
（1），得y1＝
x1－1，y2＝
x2－1，…，yn＝
xn－1，
∴y＝
（y1＋y2＋…＋yn）＝
[（
x1－1）＋（
x2－1）＋…＋（
xn－1）]＝
[
（x1＋x2＋…＋xn）－n]＝
×
－1＝
x－1.10分
3．（2011·河北T24·9分）已知A，B两地的路程为240千米，某经销商每天都要用汽车或火车将x吨保鲜品一次性由A地运往B地，受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现在有货运收费项目及收费标准表，行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图1），上周货运量折线统计图（如图2）等信息如下：
货运收费项目及收费标准表
运输工具
运输费单价
元/（吨·千米）
冷藏单价
元/（吨·时）
固定费用
元/次
汽车
2
5
200
火车
1.6
5
2280
图1 图2
（1）汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时；
（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为y汽（元）和y火（元），分别求y汽，y火与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）及x为何值时，y汽＞y火；（总费用＝运输费＋冷藏费＋固定费用）
（3）你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？
解：
（2）依题意，得
y汽＝240×2x＋
×5x＋200＝500x＋200，
y火＝240×1.6x＋
×5x＋2280＝396x＋2280.若y汽>y火，则500x＋200>396x＋2280，∴x>20.
（3）上周货运量x＝（17＋20＋19＋22＋22＋23＋24）÷7＝21（吨）>20吨．
从平均数分析，建议预定火车费用较省．
从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预定火车费用较省.
重难点1 一次函数的图象信息题
（2018·咸宁）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟．在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：
①甲步行的速度为60米/分；
②乙走完全程用了32分钟；
③乙用16分钟追上甲；
④乙到达终点时，甲离终点还有300米．
其中正确的结论有（A）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路点拨】 首先注意，y表示的是两人之间的距离，从图象中，我们可以看到3个确定的点（0，0），（4，240），（16，0）．点（4，240）的实际意义就是，甲4分钟步行了240米；（16，0）的实际意义是甲步行16分钟时，两人距离为0，即乙追上了甲，所以乙12分钟追上甲；同时也说明甲步行16分钟的路程和乙步行12分钟的路程相等；乙走完全程时，甲走了34分钟，走了2040米，距离终点360米．
【变式训练1】 （2018·丽水）某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（D）
A．每月上网时间不足25h时，选择A方式最省钱
B．每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多
C．每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱 D．每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱
解答函数图象信息题要经历“信息提取，图象理解，问题解决”的过程．其中最重要的环节是利用数形结合思想解读函数图象，其方法是：
（1）明确“两坐标轴”所表示的意义；
（2）弄清图象上的转折点、最高（低）点与坐标轴的交点等特殊点所表示的意义；
（3）弄清上升线和下降线所表示的意义．
注意，y表示的是两人之间的距离．
重难点2 一次函数的实际应用
（2018·梧州）我市从2018年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．
（1）求A，B两种型号电动自行车的进货单价；
（2）若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；
（3）该商店如何进货才能获得最大利润？
此时最大利润是多少元？
【思路点拨】
（1）设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，（x＋500）元，构建分式方程即可解决问题；
（2）根据总利润＝A型的利润＋B型的利润，列出函数关系式即可；（3）利用一次函数的性质即可解决问题．
【自主解答】 解：
（1）设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元，（x＋500）元．由题意，得
＝
，解得x＝2500.
经检验，x＝2500是分式方程的解．
答：
A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元，3000元．
（2）y＝300m＋500（30－m）＝－200m＋15000.
（3）∵2500m＋3000（30－m）≤80000，∴m≥20.
∵m≤30，∴20≤m≤30.
y＝－200m＋15000，
∵－200＜0，20≤m≤30，
∴m＝20时，y有最大值，最大值为11000元．
【变式训练2】（2017·临沂改编）某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准，按照新标准，用户每月缴纳的水费y（元）与每月用水量x（m3）之间的关系如图所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）按照新标准，用户A一个月用水10m3，需缴纳水费多少元？
用户B一个月缴纳水费51元，用水量是多少？
（3）若某用户二、三月份共用水40m3（二月份用水量不超过25m3），缴纳水费79.8元，则该用户二、三月份的用水量各是多少？
解：
（1）当0≤x≤15时，设y与x的函数解析式为y＝kx，则
15k＝27，解得k＝1.8.
∴y＝1.8x.
当x＞15时，设y与x的函数解析式为y＝ax＋b，则
解得
∴y＝2.4x－9.
综上，y关于x的函数解析式为y＝
（2）当x＝10时，y＝1.8×10＝18.
由题意，得51＝2.4x－9，解得x＝25.
答：
用户A需缴纳水费18元，用户B的用水量是25m3.
（3）设二月份的用水量是xm3，
当15＜x≤25时，2.4x－9＋2.4（40－x）－9＝79.8， 方程无解．
当0＜x≤15时，1.8x＋2.4（40－x）－9＝79.8，解得x＝12.
∴40－x＝28.
答：
该用户二、三月份的用水量各是12m3，28m3.
1．根据实际问题列一次函数解析式时，其呈现方式主要有文字描述、图象信息、表格信息等方式，本题是文字描述，关键是利用采购费用间的关系得出函数解析式．
2．一次函数、不等式的综合运用的最优问题，一般思路是先求出一次函数关系式，再由不等式确定一次函数自变量的取值范围，最后根据一次函数的增减性确定最值．
1．解分式方程注意要检验．
2．注意“某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆”，是用来求自变量取值范围的．
1．若弹簧的总长度y（cm）是所挂重物x（千克）的一次函数图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是（B）
A．5cmB．8cmC．9cmD．10cm
2．（2017·德州）公式L＝L0＋KP表示当重力为P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm）表示，K表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（A）
A．L＝10＋0.5PB．L＝10＋5P
C．L＝80＋0.5PD．L＝80＋5P
3．（2018·河北二模）超市有A，B两种型号的瓶子，其容量和价格如表，小张买瓶子用来分装15升油（瓶子都装满，且无剩油）；当日促销活动：
购买A型瓶3个或以上，一次性返还现金5元．设购买A型瓶x（个），所需总费用为y（元），则下列说法不一定成立的是（C）
型号
A
B
单个瓶子容量（升）
2
3
单价（元）
5
6
A.购买B型瓶的个数是（5－
x）为正整数时的值
B．购买A型瓶最多为6个
C．y与x之间的函数关系式为y＝x＋30
D．小张买瓶子的最少费用是28元
4．（2017·唐山路北区模拟）甲、乙两支清雪队同时开始清理某路段积雪，一段时间后，乙队被调往别处，甲队又用了3小时完成了剩余的清雪任务，已知甲队每小时的清雪量保持不变，乙队每小时清雪50吨，甲、乙两队在此路段的清雪总量y（吨）与清雪时间x（时）之间的函数图象如图所示．
（1）乙队调离时，甲、乙两队已完成的清雪总量为270吨；
（2）求此次任务的清雪总量m；
（3）求乙队调离后y与x之间的函数关系式．
解：
（2）乙队调离之前，甲、乙两队每小时的清雪总量为
＝90（吨），
乙队每小时清雪50吨，
∴甲队每小时清雪量为90－50＝40（吨）．
∴m＝270＋40×3＝390.
∴此次任务的清雪总量为390吨．
（3）由
（2）可知，点B的坐标为（6，390），
设乙队调离后y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）．
∵图象经过点A（3，270），B（6，390），
∴
解得
∴乙队调离后y与x之间的函数关系式为y＝40x＋150.
5．（2018·河北模拟）石家庄市为积极响应中央文明办关于创建全国文明城市的通知，积极组织运输队清理城市垃圾．某运输公司承担了某标段的垃圾运输任务，派出大、小两种型号的垃圾运输车，已知1辆大型垃圾运输车和2辆小型垃圾运输车每次共运20吨，2辆大型垃圾运输车和5辆小型垃圾运输车每次共运45吨．
（1）1辆大型垃圾运输车和1辆小型垃圾运输车每次各运输垃圾多少吨？
（2）该垃圾运输公司决定派出大、小两种型号垃圾运输车共30辆参与垃圾运输任务，已知1辆大型垃圾运输车运输花费是500元/次，1辆小型垃圾运输车运输花费是300元/次．若每次运输垃圾总量不少于199吨，则每次运输的运费最少是多少？
解：
（1）设1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾x吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾y吨，根据题意，得
解得
答：
1辆大型垃圾运输车每次运输垃圾10吨，1辆小型垃圾运输车每次运输垃圾5吨．
（2）设派出大型垃圾运输车a辆，则派出小型垃圾运输车（30－a）辆，根据题意，可得
10a＋5（30－a）≥199，解得a≥9.8.
设运输总花费为W元，则W＝500a＋300（30－a）＝200a＋9000.
∵200>0，∴W随a的增大而增大．
又∵a≥9.8，且a为整数，
∴当a＝10时，W取得最小值，最小值为200×10＋9000＝11000（元）．
答：
每次运输的运费最少是11000元．
6．（2018·唐山乐亭县二模）某新建小区要修一条1050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程，经了解得到下表所示信息：
工程队
每天修路的
长度（米）
单独完成所需
天数（天）
每天所需
费用（元）
甲队
30
n
600
乙队
m
n－14
1160
（1）甲队单独完成这项工程所需天数n＝35天，乙队每天修路的长度m＝50米；
（2）甲队先修了x米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y天完成这项工程（其中x，y为正整数）．
①当x＝90时，求出乙队修路的天数；
②求y与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）；
③若总费用不超过22800元，求甲队至少先修了多少米？
解：
（2）①乙队修路的天数为
＝12（天）．
②由题意，得x＋（30＋50）y＝1050.
∴y与x之间的函数关系式为y＝－
＋
.
③由题意，得600×
＋（600＋1160）y≤22800.
∴20x＋1760×
≤22800，解得x≥150.
又∵y为正整数，∴x至少取170米．
答：
若总费用不超过22800元，则甲队至少先修了170米．
7．（2018·南京）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第tmin时的速度为vm/min，离家的距离为sm，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．
（1）小明出发第2min时离家的距离为200m；
（2）当2＜t≤5时，求s与t之间的函数解析式；
（3）画出s与t之间的函数图象．
解：
（2）当2＜t≤5时，s＝100×2＋160（t－2）＝160t－120.
∴s与t之间的函数解析式为s＝160t－120.
（3）s与t之间的函数关系式为
s＝
如图所示：
8．（2018·重庆A卷）A，B两地相距的路程为240千米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发．途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/小时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地．甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距B地还有90千米．
9．（2018·广西）某公司在甲、乙仓库共存放某种原料450吨，如果运出甲仓库所存原料的60%，乙仓库所存原料的40%，那么乙仓库剩余的原料比甲仓库剩余的原料多30吨．
（1）求甲、乙两仓库各存放原料多少吨？
（2）现公司需将300吨原料运往工厂，从甲、乙两个仓库到工厂的运价分别为120元/吨和100元/吨．经协商，从甲仓库到工厂的运价可优惠a元/吨（10≤a≤30），从乙仓库到工厂的运价不变，设从甲仓库运m吨原料到工厂，请求出总运费W关于m的函数解析式（不要求写出m的取值范围）；
（3）在
（2）的条件下，请根据函数的性质说明：
随着m的增大，W的变化情况．
解：
（1）设甲仓库存放原料x吨，乙仓库存放原料y吨，由题意，得
解得
答：
甲仓库存放原料240吨，乙仓库存放原料210吨．
（2）由题意，从甲仓库运m吨原料到工厂，则从乙仓库运（300－m）吨原料到工厂，
总运费W＝（120－a）m＋100（300－m）＝（20－a）m＋30000.
（3）①当10≤a＜20时，20－a＞0，由一次函数的性质，得W随m的增大而增大；
②当a＝20时，20－a＝0，W随m的增大没变化；
③当2010．甲、乙两地之间有一条笔直的公路L，小明从甲地出发沿公路L步行前往乙地，同时小亮从乙地出发沿公路L骑自行车前往甲地，小亮到达甲地停留一段时间，按原路原速返回，追上小明后两人一起步行到乙地，设小明与甲地的距离为y1米，小亮与甲地的距离为y2米，小明与小亮之间的距离为s米，小明行走的时间为x分钟，y1，y2与x之间的函数图象如图1所示，s与x之间的函数图象（部分）如图2所示．
（1）求小亮从乙地到甲地过程中y2（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（2）求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中s（米）与x（分钟）之间的函数关系式；
（3）在图2中，补全整个过程中s（米）与x（分钟）之间的函数图象，并确定a的值．
图1 图2
解：
（1）设小亮从乙地到甲地过程中y2与x的函数关系式为y2＝kx＋b，由图象，得
解得
∴y2＝－200x＋2000.
（2）由题意得，小明的速度为2000÷40＝50（米/分），小亮的速度为2000÷10＝200（米/分）．
∴小亮从甲地出发追上小明用时为24×50÷（200－50）＝8（分钟）．
∴24分钟两人距离为24×50＝1200（米），相遇时间为24＋8＝32（分），s＝0，设s＝k′x＋b′，则
解得
∴s＝－150x＋4800.
（3）如图所示，
当0≤x≤10时，y1＝50x，y2＝－200x＋2000，
令y1＝y2，解得x＝8.
∴a的值为8.
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