全等三角形常见的几何模型正规版.docx

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全等三角形常见的几何模型正规版

1、绕点型（手拉手模型）

（1）自旋转：

（2）共旋转（典型的手拉手模型）

例1、在直线ABC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE与DC的夹角为60。

（4）△AGB≌△DFB

（5）△EGB≌△CFB

（6）BH平分∠AHC

（7）GF∥AC

变式练习1、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

变式练习2、如果两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，证明：

（1）△ABE≌△DBC

（2）AE=DC

（3）AE与DC的夹角为60。

（4）AE与DC的交点设为H,BH平分∠AHC

（1）如图1，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB的同侧作等边△ACM和△CBN，连接AN，BM．分别取BM，AN的中点E，F，连接CE，CF，EF．观察并猜想△CEF的形状，并说明理由．

（2）若将

（1）中的“以AC，BC为边作等边△ACM和△CBN”改为“以AC，BC为腰在AB的同侧作等腰△ACM和△CBN，”如图2，其他条件不变，那么

（1）中的结论还成立吗？

若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

例4、例题讲解：

1.已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B,C重合），以AD为边作菱形ADEF（按A,D,E,F逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF.

（1） 如图1，当点D在边BC上时，求证：

① BD=CF ‚ ②AC=CF+CD.

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？

若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由； 

（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系。

2、半角模型

说明：

旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

例1、如图，正方形ABCD的边长为1，AB,AD上各存在一点P、Q，若△APQ的周长为2，求

的度数。

例2、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD上移动，且满足MN=BM+DN，求证：

①∠MAN=45°；②

△CMN的周长=2AB；③AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM。

例3、在正方形ABCD中，已知∠MAN=45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动：

①试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系；②求证：

AB=AH.

例4、在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD且上，满足EF=BE+DF.求证：

。

《三角形的面积》说课稿

《三角形的面积》是《义务教育课程标准实验教科书》五年级上册第五单元的内容。

现在我将从教材、教学目标、教学重点难点、教法学法、教学过程以及板书设计六个方面来说明我的教学设计。

一、说教材

三角形面积的计算是第五单元“多边形面积的计算”中的内容。

这部分内容是在学生已经学习了平行四边形面积的基础上学习的，教材的编排是引导学生动手把两个完全一样的三角形拼摆成已经学过的图形----平行四边形，来求三角形的面积，培养学生的动手操作能力和思维能力。

教材中的插图给出了转化的操作过程，同时渗透了旋转和平移的思想，以便于学生理解公式的来源。

二、说教学目标

基于以上认识，按照新课程理念，我确定了以下教学目标：

1．知识与技能：

（1）使学生经历三角形面积计算公式的探索过程，理解三角形的面积计算公式。

（2）能灵活利用公式解决简单的实际问题。

（3）培养学生应用已有知识解决新问题的能力。

2．过程与方法：

使学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，通过图形的拼摆，渗透图形转化的数学思考方法，在探索学习活动和解决实际问题的过程中体验数学与生活的联系。

3．情感、态度与价值观：

让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习数学的兴趣。

三、说教学重点、难点

重点是理解三角形面积计算公式的推导过程，会根据公式进行计算。

难点是理解三角形的面积计算公式中为什么要除以2。

四、说教法学法

“动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

”因此，在本课的教学采用

（１）实验法。

根据学生心理发展的规律，学生通过自己动手操作学习新知识，比听教师讲解新知识记忆更加深刻，兴趣更加浓厚。

因此，在教学三角形面积计算公式推导过程时，让学生动手操作、讨论，体现了以学生为主体，老师为主导的教学原则。

（２）课件演示配合讲解。

学生观看课件演示，教师配合讲解，使学生加强理解。

五、说教学过程

针对以上内容的需要，我设计了如下的教学程序：

（一）、情景导入、揭示课题

向学生展示一组学校优美的图片，学生在欣赏的同时，提出问题：

现在学校要开辟一块长10米，宽4米的空地做花坛，准备将它平均分成两部分，你觉得可以怎样平均分开呢？

学生思考后回答，根据学生的回答，课件出示三种分法，明确学校采用了第三种分法。

然后引出本节课所要学习的内容。

（设计意图：

结合学生熟悉的花坛建设创设教学情景，将课内学习与实际问题结合起来，使学生感受到三角形面积的实际意义，明确本课学习目的。

）

（二）、探索新知

《数学课程标准》提倡“自主探索、合作交流、亲身实践”学习方式，这种学习方式使学生真正成为学习的主人。

因此，我打算按以下几个步骤进行探索三角形面积计算公式：

（1）看课件：

出示三种形状的三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形）。

（2）摆一摆，拼一拼：

（学生用自己准备的三种三角形各两个，分组拼摆。

）

（3）交流自已怎么拼，拼成什么图形

（4）课件演示：

课件演示直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的拼、移过程，

（5）引导学生分析每一组拼成的平行四边形的底和高，与所拼的三角形的底和高有什么关系？

面积又有什么关系？

（6）归纳三角形的面积计算公式。

（设计意图：

探索三角形面积计算公式，是本课的重点。

着重让学生通过拼摆、分组讨论的方式去学习，清晰地弄清将两个完全一样的三角形转化成平行四边形后，找出它们之间的关系，多角度来强化“÷2”的理由。

同时又渗透了转化的数学思想方法，这些知识是本节课的关键。

引导学生有效地参与，强化操作意识，注重学生的亲身感悟，感悟到科学的研究方法，培养学生的抽象概括能力。

）

（三）、引导应用

让学生明确要求卫生流动红旗的面积，必须要知道哪些条件。

然后让学生自己尝试解答。

（设计意图：

充分挖掘生活中的实践因素，将枯燥的技能训练转化为解决问题的过程，培养学生的应用意识。

）

（四）、深化理解、应用拓展

本课的练习分两个层次，第一层基本练习。

即出示几个三角形直接利用公式进行计算，旨在巩固，熟练公式；第二层是拓展练习。

让学生观察图，得出等底等高三角形面积相等的道理。

（五）、全课总结

让学生说一说“这节课学会了什么”，再次把学习的主动权交给学生，培养学生的综合概括能力和口头表达能力。

让学生在今后的学习中能应用这些方法去研究解决问题。

六、说板书设计

三角形的面积

        三角形的面积=底×高÷2

               S=ah÷2

（设计意图：

这样的板书设计简洁、明了，对教材的内容进行了高度的概括，使学生明显地理解三角形面积公式的推导过程，体现“转化”的数学思想。

）

总之，本节课引导学生有效参与，强化操作意识，实现了知识的再创造。

我相信这样的设计，有利于学生的思维由直观走向抽象，使学生在发现知识的同时感悟了科学的研究方法。

三角形中的常用辅助线

课程解读

一、学习目标：

归纳、掌握三角形中的常见辅助线

二、重点、难点：

1、全等三角形的常见辅助线的添加方法。

2、掌握全等三角形的辅助线的添加方法并提高解决实际问题的能力。

三、考点分析：

全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。

判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。

一些较难的证明题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。

典型例题

人说几何很困难，难点就在辅助线。

辅助线，如何添？

把握定理和概念。

还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。

全等三角形辅助线                                   

找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；

（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；

（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形中常见辅助线的作法：

①延长中线构造全等三角形；

②利用翻折，构造全等三角形；

③引平行线构造全等三角形；

④作连线构造等腰三角形。

常见辅助线的作法有以下几种：

（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

例1：

如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。

求证：

BD=2CE。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用

2）解题思路：

要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。

解答过程：

证明：

延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，

∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，

∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

解题后的思考：

等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。

（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

例2：

如图，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。

求证：

ΔABC是等腰三角形。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查全等三角形常见辅助线的知识。

2）解题思路：

在证明三角形的问题中特别要注意题目中出现的中点、中线、中位线等条件，一般这些条件都是解题的突破口，本题给出了AD又是BC边上的中线这一条件，而且要求证AB=AC，可倍长AD得全等三角形，从而问题得证。

解答过程：

证明：

延长AD到E，使DE=AD，连接BE。

又因为AD是BC边上的中线，∴BD=DC

又∠BDE=∠CDA

ΔBED≌ΔCAD，

故EB=AC，∠E=∠2，

∵AD是∠BAC的平分线

∴∠1=∠2，

∴∠1=∠E，

∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

解题后的思考：

题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。

（3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。

例3：

已知，如图，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。

求证：

∠B+∠ADC=180°。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查角平分线定理的应用。

2）解题思路：

因为AC是∠BAD的平分线，所以可过点C作∠BAD的两边的垂线，构造直角三角形，通过证明三角形全等解决问题。

解答过程：

证明：

作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。

∵AC平分∠BAD，

∴CE=CF。

在Rt△CBE和Rt△CDF中，

∵CE=CF，CB=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CDF，

∴∠B=∠CDF，

∵∠CDF+∠ADC=180°，

∴∠B+∠ADC=180°。

解题后的思考：

①关于角平行线的问题，常用两种辅助线；

②见中点即联想到中位线。

（4）过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

例4：

如图，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，连EF交BC于D，若EB=CF。

  求证：

DE=DF。

思路分析：

1）题意分析：

 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：

作平行线。

2）解题思路：

因为DE、DF所在的两个三角形ΔDEB与ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通过添加辅助线进行相等线段的等量代换：

过E作EG//CF，构造中心对称型全等三角形，再利用等腰三角形的性质，使问题得以解决。

解答过程：

证明：

过E作EG//AC交BC于G，

　　则∠EGB=∠ACB，

　　又AB=AC，∴∠B=∠ACB，

　　∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，

　　∴EB=EG=CF，

　　∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，

∴DE=DF。

解题后的思考：

此题的辅助线还可以有以下几种作法：

例5：

△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q，求证：

AB+BP=BQ+AQ。

思路分析：

1）题意分析：

本题考查全等三角形常见辅助线的知识：

作平行线。

2）解题思路：

本题要证明的是AB+BP=BQ+AQ。

形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。

可过O作BC的平行线。

得△ADO≌△AQO。

得到OD=OQ，AD=AQ，只要再证出BD=OD就可以了。

解答过程：

证明：

如图

（1），过O作OD∥BC交AB于D，

∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°，

又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，

    ∴∠ADO=∠AQO，

    又∵∠DAO=∠QAO，OA=AO，

    ∴△ADO≌△AQO，

    ∴OD=OQ，AD=AQ，

    又∵OD∥BP，

    ∴∠PBO=∠DOB，

    又∵∠PBO=∠DBO，

    ∴∠DBO=∠DOB，

∴BD=OD，

又∵∠BPA=∠C+∠PAC=70°，

    ∠BOP=∠OBA+∠BAO=70°，

∴∠BOP=∠BPO，

∴BP=OB，

    ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。

解题后的思考：

（1）本题也可以在AB上截取AD=AQ，连OD，构造全等三角形，即“截长法”。

（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：

①如图

（2），过O作OD∥BC交AC于D，则△ADO≌△ABO从而得以解决。

④如图（5），过P作PD∥BQ交AC于D，则△ABP≌△ADP从而得以解决。

小结：

通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。

而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。

从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

（5）截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。

这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例6：

如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。

求证：

CD=AD+BC。

思路分析：

1）题意分析：

 本题考查全等三角形常见辅助线的知识：

截长法或补短法。

2）解题思路：

结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：

在CD上截取CF=BC，如图乙

∴△FCE≌△BCE（SAS），

∴∠2=∠1。

又∵AD∥BC，

∴∠ADC+∠BCD=180°，

∴∠DCE+∠CDE=90°，

∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4。

在△FDE与△ADE中，

∴△FDE≌△ADE（ASA），

∴DF=DA，

∵CD=DF+CF，

∴CD=AD+BC。

解题后的思考：

遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：

截长：

在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：

将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

小结：

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角形。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

预习导学

下一讲我们就要进入八下的学习了，八下的第一章是分式。

    请同学们预习课本，并思考以下问题。

1、分式的概念是什么？

2、分式的乘除法的运算法则是什么？

同步练习

（答题时间：

90分钟）

这几道题一定要认真思考啊，都是要添加辅助线的，开动脑筋好好想一想吧！

加油！

你一定行！

1、已知，如图1，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC。

求证：

∠BAD+∠BCD=180°。

2、已知，如图2，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD。

求证：

∠BAP+∠BCP=180°。

3、已知，如图3，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。

求证：

AB=AC+CD。

试题答案

1、分析：

因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长法或补短法”来实现。

证明：

过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DF⊥BC于点F，如图1-2

∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），

∴∠DAE=∠DCF。

又∠BAD+∠DAE=180°，

∴∠BAD+∠DCF=180°，

即∠BAD+∠BCD=180°

2、分析：

与1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们成为邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造。

证明：

过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图2-2

∴Rt△APE≌Rt△CPD（SAS），

∴∠PAE=∠PCD

又∵∠BAP+∠PAE=180°。

∴∠BAP+∠BCP=180°

3、分析：

从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC。

证明：

方法一（补短法）

延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图3-2

∴△AFD≌△ACD（SAS），

∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD。

又∵∠ACB＝2∠B，

∴∠FDB＝∠B，

∴FD=FB。

∵AB=AF+FB=AC+FD，

∴AB=AC+CD。

4、证明：

（方法一）

将DE两边延长分别交AB、AC于M、N，

在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE；     ①

在△BDM中，MB+MD>BD；           ②

在△CEN中，CN+NE>CE；           ③

由①+②+③得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC

（方法二：

图4-2）

延长BD交AC于F，延长CE交BF于G，在△ABF、△GFC和△GDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF         ①

GF+FC>GE+CE            ②

DG+GE>DE               ③

由①+②+③得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

5、分析：

要证AB+AC>2AD，由图想到：

AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形对应边相等）

∵在△ABE中有：

AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）

∴AB+AC>2AD。

6、分析：

欲证AC=BF，只需证AC、BF所在两个三角形全等，显然图中没有含有AC、BF的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC、BF的全等三角形也并不容易。

这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线段，所对的角相等即可。

　　思路一、以三角形ADC为基础三角形，转移线段AC，使AC、BF在三角形BFH中

　　方法一：

延长AD到H，使得DH=AD，连结BH，证明△ADC和△HDB全等，得AC=BH。

　　通过证明∠H=∠BFH，得到BF=BH。

∴ △ADC≌△HDB（SAS）

　　∴ AC=BH， ∠H=∠HAC

　　∵ EA=EF

　　∴ ∠HAE=∠AFE

　　又∵ ∠BFH=∠AFE

　　∴BH=BF

　　∴BF=AC

　　方法二：

过B点作BH平行AC，与AD的延长线相交于点H，证明△ADC和△HDB全等即可。

　　小结：

对于含有中点的问题，通过“倍长中线” 可以得到两个全等三角形。

而过一点作已知直线的平行线，可以起到转移角的作用，也起到了构造全等三角形的作用。

　　思路二、以三角形BFD为基础三角形。

转移线段BF，使AC、BF在两个全等三角形中

　　方法三：

延长FD至H，使得DH=FD，连接HC。

证明△CDH和△BDF全等即可。

∴ △BFD≌△CHD（SAS）

∴ ∠H=∠BFH

∵ AE=FE

∴ ∠HAC=∠AFE

又∵ ∠AFE=∠BFH

∴ ∠H=∠HAC

∴ CH=CA

∴ BF=AC

方法四：

过C点作CH平行BF，与AD的延长线相交于点H，证明△CDH和△BDF全