聊城大学实变函数期末试题资料.docx
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聊城大学实变函数期末试题资料
《实变函数》
一、单项选择题
1、下列各式正确的是（CD）
（A）
;（B）
（C）
;（D）
;
2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（D）
（A）
c（B）
（C）
（D）
3、下列说法不正确的是（B）
（A）凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测
（C）开集和闭集都是波雷耳集（D）波雷耳集都可测
4、设
是
上的
有限的可测函数列,则下面不成立的是（A）
（A）若
则
（B）
是可测函数
（C）
是可测函数;（D）若
则
可测
5.下列说法不正确的是（C）
（A）
的任一领域内都有
中无穷多个点，则
是
的聚点
（B）
的任一领域内至少有一个
中异于
的点，则
是
的聚点
（C）存在
中点列
，使
，则
是
的聚点
（D）内点必是聚点
6.设
在
上
可积,则下面不成立的是（C）
（A）
在
上可测（B）
在
上a.e.有限
（C）
在
上有界（D）
在
上
可积
7.设
是一列可测集，
，则有（B）。
（A）
（B）
（C）
;（D）以上都不对
9、设
，则（B）
（A）
（B）
（C）
（D）
10、设
是
上有理点全体，则下列各式不成立的是（D）
（A）
（B）
（C）
=[0，1]（D）
11、下列说法不正确的是（C）
（A）若
，则
（B）有限个或可数个零测度集之和集仍
为零测度集（C）可测集的任何子集都可测（D）凡开集、闭集皆可测
12、设
是一列可测集，
，且
，则有（A）
（A）
（B）
（C）
;（D）以上都不对
13、设f（x）是
上绝对连续函数，则下面不成立的是（B）
（A）
在
上的一致连续函数（B）
在
上处处可导
（C）
在
上L可积（D）
是有界变差函数
14．设
是两集合，则
=（C）
（A）
（B）
（C）
（D）
16.下列断言（B）是正确的。
（A）任意个开集的交是开集；（B）任意个闭集的交是闭集；
（C）任意个闭集的并是闭集；（D）以上都不对；
17.下列断言中（C）是错误的。
（A）零测集是可测集；（B）可数个零测集的并是零测集；
（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；
18.若
，则下列断言（A）是正确的
（A）
在
可积
在
可积；
（B）
（C）
;
（D）
19、设
是闭区间
中的无理点集，则（A）
是不可测集
是闭集
二、填空题
1、
2、设
是
上有理点全体，则
=
=
=
.
3、设
是
中点集，如果对任一点集
都有
，则称
是
可测的.
4、
可测的（充要）条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.
5、设
，则
（0，2）
6、设
若
则
是闭集；若
，则
是开集；若
，则
是完备集.
7、设
是一列可测集，则
8、设集合
，则
9、设
为Cantor集，则
，
0，
=
。
10、果洛夫定理：
设
是
上一列
收敛于一个
有限的函数
的可测函数，则对任意
存在子集
，使
在
上一致收敛且
。
11、
在
上可测，则
在
上可积的充要条件是|
|在
上可积.
12、设
为Cantor集，则
c，
0，
=
。
13、设
是一列可测集，则
14、鲁津定理：
设
是
上
有限的可测函数，则对任意
，存在闭子集
，使得
在
上是连续函数，且
。
15、设
为
上的有限函数，如果对任意
，使对
中互不相交的任意有限个开区间
只要
，就有
则称
为
上的绝对连续函数。
16、
因为存在两个集合之间的一一映射为
.
17、设
是
中函数
的图形上的点所组成的集合，则
，
.
18、设
是闭区间
中的全体无理数集,则
.
19、设
若
则称
是
的聚点.
20设
是
上几乎处处有限的可测函数列,
是
上几乎处处有限的可测函数,若
有
则称
在
上依测度收敛于
.
三、判断
1、设
，若E是稠密集，则
是无处稠密集。
F
2、若
，则
一定是可数集.F
3、若
是可测函数，则
必是可测函数。
F
4．设
在可测集
上可积分，若
，则
F
5、A为可数集，B为至多可数集，则A
B是可数集.T
6、若
，则
F
7、若
是可测函数，则
必是可测函数F
8．设
在可测集
上可积分，若
，则
F
9、任意多个开集之交集仍为开集F
10、若
，则
一定是可数集.F
11、
收敛的函数列必依测度收敛。
F
12、由于
，故不存在使
之间
对应的映射。
F
13、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
T
14、若
可测,
且
则
.F
15、设
为点集,
则
是
的外点.F
16、点集
为闭集.F
17、任意多个闭集的并集是闭集.F
四、解答题
1、设
，则
在
上是否
可积，是否
可积，若可积，求出积分值。
解：
在
上不是
可积的，因为
仅在
处连续，即不连续点为正测度集，因为
是有界可测函数，
在
上是
可积的
因为
与
相等，进一步，
考生答题不得超过此线
2、求
解：
设
，则易知当
时，
又因
，（
），所以当
时，
从而使得
但是不等式右边的函数，在
上是
可积的，故有
，
3、求极限
解：
记
则
在[0,1]上连续,因而在[0,1]上（R）可积和（L）可积.
又
且
在
上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得
4、设
，则
在
上是否
可积，是否
可积，若可积，求出积分值。
解：
在
上不是
可积的，因为
仅在
处连续，
即不连续点为正测度集
因为
是有界可测函数，所以
在
上是
可积的
因为
与
相等,进一步，
5、求极限
.
解：
设
，则易知当
时，
又
，但是不等式右边的函数，在
上是
可积的
故有
6、设
求出集列
的上限集和下限集
证明：
设
，则存在N，使
，因此
时，
，即
，所以
属于下标比N大的一切偶指标集，从而
属于无限多
，得
，
又显然
得分
阅卷人
若有
，则存在N，使任意
，有
，因此若
时，
，此不可能，所以
五、证明题
1、证明
上的全体无理数作成的集其势为
.
证明：
设
。
得分
阅卷人
复查人
2.设
使
，则E是可测集。
证明：
对任何正整数
，由条件存在开集
使
令
，则
是可测集
又因
对一切正整数
成立，因而
，
即
是一零测度集，所以也可测.
由
知，
可测。
得分
阅卷人
复查人
3.试用Fatou引理证明Levi定理.
证明：
设
为可测集
上的一列非负可测函数，且在
上有
，令
由
为单调可测函数列知，
可测，且
于是
从而
…（*）
另一方面，因
为可测集
上的一列非负可测函数，由Fatou引理知
…（**）
由（*）、（**）两式即证
得分
阅卷人
复查人
4、试证
证明：
记
中有理数全体
令
显然
所以
考生答题不得超过此线
5、设
是可测集
的非负可积函数，
是
的可测函数，且
，则
也是
上的可积函数。
证明：
，
是可测集
的非负可积函数
是
上的可积函数.
同理，
也是
上的可积函数.
是
上的可积函数。
得分
阅卷人
复查人
7.设
在
上可积，则对任何
，必存在
上的连续函数
，使
.
证明：
设
由于
在
上
有限，故
由积分的绝对连续性，对任何
，使
令
，在
上利用鲁津定理，存在闭集
和在
上的连续函数
使
（1）
（2）
时，
，且
所以
8、设
且
为可测集,
.根据题意,若有
证明
是可测集.
证明：
令
则
且
为可测集,于是对于
都有
故
令
得到
故
可测.从而
可测.
9.证明:
证明：
1、设
是
上的实值连续函数，则对于任意常数
是闭集。
P51
2、设
在
上可积，
，则
.P132
得分
阅卷人
复查人
3、设
是
上
有限的函数，若对任意
，存在闭子集
，使
在
上连续，且
，证明：
是
上的可测函数。
（鲁津定理的逆定理）P94
4.设
为E上可积函数列，
.于E，且
，k为常数，则
在E上可积.P133
5.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
，证明：
收敛于
.P94
得分
阅卷人
复查人
6、设f（x）是
上的实值连续函数，则对任意常数c，
是一开集.P51
7、设
在
上积分确定，且
于
，则
在
上
也积分确定，且
P108
8、设在
上
而
成立,
则有
P95
得分
阅卷人
复查人
升级会员 