1、聊城大学实变函数期末试题资料实变函数一、单项选择题1、下列各式正确的是( C D )(A); (B)(C); (D);2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是( D )(A)c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是( B )(A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( A )(A)若, 则 (B)是可测函数 (C)是可测函数;(D)若,则可测5. 下列说法不正确的是( C ) (A)的任一领域内都有中无穷多个点,则是的聚点 (B)的任一领域内至少有一个中异于的点
2、,则是的聚点 (C) 存在中点列,使,则是的聚点 (D) 内点必是聚点6.设在上可积,则下面不成立的是( C )(A)在上可测 (B)在上a.e.有限 (C)在上有界 (D)在上可积7. 设是一列可测集,则有(B )。(A) (B) (C);(D)以上都不对9、设,则( B )(A) (B) (C) (D)10、设是上有理点全体,则下列各式不成立的是( D )(A) (B) (C) =0,1 (D) 11、下列说法不正确的是( C )(A) 若,则(B) 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 (D)凡开集、闭集皆可测12、设是一列可测集,且,则有( A )(
3、A) (B) (C);(D)以上都不对13、设f(x)是上绝对连续函数,则下面不成立的是( B )(A)在上的一致连续函数 (B)在上处处可导(C)在上L可积 (D)是有界变差函数14设是两集合,则=( C ) (A) (B) (C) (D) 16. 下列断言( B )是正确的。(A)任意个开集的交是开集;(B) 任意个闭集的交是闭集; (C) 任意个闭集的并是闭集;(D) 以上都不对;17. 下列断言中( C )是错误的。(A)零测集是可测集; (B)可数个零测集的并是零测集;(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集; 18. 若,则下列断言( A )是正确的(A)在可
4、积在可积; (B) (C);(D) 19、设是闭区间中的无理点集,则(A ) 是不可测集 是闭集二、填空题1、2、设是上有理点全体,则=,=,=.3、设是中点集,如果对任一点集都有,则称是可测的.4、可测的(充要)条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 5、设,则(0,2)6、设,若则是闭集;若,则是开集;若,则是完备集.7、设是一列可测集,则8、设集合,则9、设为Cantor集,则, 0, =。10、果洛夫定理:设是上一列收敛于一个有限的函数的可测函数,则对任意存在子集,使在上一致收敛且。11、在上可测,则在上可积的充要条件是|在上可积.12、设为Cantor集,则c, 0, =。13、设
5、是一列可测集,则14、鲁津定理:设是上有限的可测函数,则对任意,存在闭子集,使得在上是连续函数,且。 15、设为上的有限函数,如果对任意,使对中互不相交的任意有限个开区间只要,就有则称为上的绝对连续函数。 16、,因为存在两个集合之间的一一映射为.17、设是中函数的图形上的点所组成的 集合,则,.18、设是闭区间中的全体无理数集, 则.19、设, ,若,则称是的聚点.20设是上几乎处处有限的可测函数列,是上 几乎处处有限的可测函数, 若, 有, 则称在上依测度收敛于.三、判断1、设,若E是稠密集,则是无处稠密集。F2、若,则一定是可数集.F3、若是可测函数,则必是可测函数。F 4设在可测集上可
6、积分,若,则F 5、A为可数集,B为至多可数集,则AB是可数集.T 6、若,则F 7、若是可测函数,则必是可测函数F8设在可测集上可积分,若,则F9、任意多个开集之交集仍为开集 F 10、若,则一定是可数集.F 11、收敛的函数列必依测度收敛。F12、由于,故不存在使之间对应的映射。F13、可数个零测度集之和集仍为零测度集。T14、 若可测,且,则.F15、设为点集, , 则是的外点. F16、点集为闭集.F17、任意多个闭集的并集是闭集.F四、解答题1、设,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。解:在上不是可积的,因为仅在处连续,即不连续点为正测度集,因为是有界可测函数,在上是可积的
7、因为与相等,进一步, 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、求解:设,则易知当时, 又因,(),所以当时,从而使得但是不等式右边的函数,在上是可积的,故有, 3、求极限解:记 则在0,1上连续,因而在0,1上(R)可积和(L)可积. 又 且在上非负可积,故由Lebesgue控制收敛定理得 4、设,则在上是否可积,是否可积,若可积,求出积分值。解:在上不是可积的,因为仅在处连续,即不连续点为正测度集因为是有界可测函数,所以在上是可积的因为与相等, 进一步, 5、求极限.解:设,则易知当时, 又,但是不等式右边的函数,在上是可积的故有6、设求出集列的上限集和下限集证明: 设,则存在N,使,因此
8、时,即,所以属于下标比N大的一切偶指标集,从而属于无限多,得,又显然得 分阅卷人若有,则存在N,使任意,有,因此若时,此不可能,所以五、证明题1、证明上的全体无理数作成的集其势为.证明:设 。 得 分阅卷人复查人2. 设使,则E是可测集。 证明:对任何正整数,由条件存在开集使令,则是可测集 又因对一切正整数成立,因而,即是一零测度集,所以也可测.由知,可测。 得 分阅卷人复查人3.试用Fatou引理证明Levi定理.证明:设为可测集上的一列非负可测函数,且在上有,令 由为单调可测函数列知,可测,且于是从而 (*) 另一方面,因为可测集上的一列非负可测函数,由Fatou引理知 (*) 由(*)、
9、(*)两式即证得 分阅卷人复查人4、试证证明:记中有理数全体,令显然 所以 考 生 答 题 不 得 超 过 此 线5、设是可测集的非负可积函数,是的可测函数,且,则也是上的可积函数。 证明: , 是可测集的非负可积函数 是上的可积函数. 同理,也是上的可积函数. 是上的可积函数。 得 分阅卷人复查人7.设在上可积,则对任何,必存在上的连续函数,使.证明:设由于在上有限,故由积分的绝对连续性,对任何,使令,在上利用鲁津定理,存在闭集和在上的连续函数使(1)(2)时,且所以8、 设,且为可测集,.根据题意, 若有 , 证明是可测集. 证明:令, 则且为可测集, 于是对于, 都有, 故,令, 得到, 故可测. 从而可测.9. 证明: 证明:1、设是上的实值连续函数,则对于任意常数是闭集。P512、设在上可积,则.P132得 分阅卷人复查人3、设是上有限的函数,若对任意,存在闭子集,使在上连续,且,证明:是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理) P944. 设为E上可积函数列,.于E,且,k为常数,则在E上可积. P133 5.设函数列在有界集上“基本上”一致收敛于,证明:收敛于. P94得 分阅卷人复查人6、设f(x)是上的实值连续函数,则对任意常数 c, 是一开集. P51 7、设在上积分确定,且于,则在上也积分确定,且 P1088、设在上,而成立, ,则有 P95 得 分阅卷人复查人
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