数值计算方法期末考试题.docx

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数值计算方法期末考试题

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字

A．4和3

B．3和2

C．3和4

D．4和4

21

21

1fxdx

f1Af

（2）1f

（2）

2.已知求积公式

16

36

，则

A＝（）

1

1

1

2

A．6

B．3

C．2

D．

3

3.通过点

x0,y0,x1,y1的拉格朗日插值基函数

l0x,l1x满足（

）

A．l

0x0＝0，l1x10

B．l0x0＝0，l1

x11

C．l

0x0＝1，l1x11

D．l0x0＝1，

l1x11

4.

D．三

设求方程fx0的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。

A．超线性B．平方C．线性

次

x12x2x30

2x12x23x33

5.

3个

用列主元消元法解线性方程组x13x22作第一次消元后得到的第

3.5

方程（）.

A．x2x32B．2x21.5x3

D．

C．2x2x33

x20.5x31.5

单项选择题答案

1.A2.D3.D4.C5.B

、填空题（每小题3分，共15分）

1.设X（2,3,4）,则||X||1，||X||2

2.一阶均差fx0,x1

C31,C3C33

3.已知n3时，科茨系数C08,C1C28，那么

C3

4.因为方程fxx420在区间1,2上满

足，所以fx0在区间内有根。

yxy2y

x

5.取步长h0.1，用欧拉法解初值问题y11的计算公

式.

填空题答案

1.9和29

2.

fx0fx1

x0x1

3.

4.

5.

yk1yk

y01

0.1

2

10.1k

k0,1,2L

三、计算题（每题15分，共60分）

1

1.已知函数y1x2的一组数据：

段线性插值函数，并计算f1.5的近似值.

计算题1.答案

1.

解x0,1x1x0

10.510.5x

0110

x2x1

x1,2，L%x1x220.52x110.20.3x0.8

所以分段线性插值函数为

10.5xx0,1

L%x

0.80.3xx1,2

L%1.50.80.31.50.35

10x1x22x37.2

x110x22x38.3

2.已知线性方程组x1x25x34.2

（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；

（2）对于初始值X0,0,0，应用雅可比迭代公式、高斯－塞

德尔迭代公式分别计算X1（保留小数点后五位数字）.

计算题2.答案

1.解原方程组同解变形为

x10.1x20.2x30.72

x20.1x10.2x30.83

x30.2x10.2x20.84

雅可比迭代公式为

x1m10.1x2m0.2x3m0.72

x2m10.1x1m0.2x3m0.83

x3m10.2x1m0.2x2m0.84（m0,1...）

高斯－塞德尔迭代法公式

x1m10.1x2m0.2x3m0.72

x2m10.1x1m10.2x3m0.83

x3m10.2x1m10.2x2m10.84（m0,1...）

用雅可比迭代公式得X10.72000,0.83000,0.84000

用高斯－塞德尔迭代公式得X10.72000,0.90200,1.16440

3

3.解fxx3x1

f130，f210

2

2作初始值

fx3x23，fx12x，f2240，故取x

迭代公式为

x02，

233121.8888931x11.88889x2

13221，231.8888921

n1,2,...

1.87945

x2x10.009440.0001

21.8794531x31.87939

31.8794521

x3x20.000060.0001

1x

dx

方程的根x1.87939

4.写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分计算题4.答案

4解梯形公式

ba

2

应用梯形公式得

辛卜生公式为

b

afxdx

ba

[f

ab

a4f（a2b）fb]

应用辛卜生公式得

1

01

1

dx

x

[f04f（

10

2

1111

[4]

610111125

1236

3次代数精确度

四、证明题（本题10分）

确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有

h

fxdxA1fhA0f0A1fh

证明题答案

证明：

求积公式中含有三个待定系数，即A1,A0,A1，将fx1,x,x分别代入求积公式，并令其左右相等，得

A1A0A12hh（A1A1）0

223h2（A1A1）h3

113

A1A11hA04h

得113，03。

所求公式至少有两次代数精确度。

又由于

h3h3h3

xdxhh

h33

h4h4h4

hx4dx3h3h4

hfxdxhfh4f0hfh

故h333具有三次代数精确度。

填空（共20分，每题2分）

1.

设x2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=.

x3x2422

则二阶差商fx1,x2,x3

3.设X（2,3,1）,则||X||2，||X||。

4．求方程x2x1.250的近似根，用迭代公式xx1.25，取初始值

x01，那么x1。

y'f（x,y）

5．解初始值问题y（x0）y0近似解的梯形公式是yk1。

11A

6、51，则A的谱半径＝

，则

7、设f（x）3x25,xkkh,k0,1,2,...,

xn,xn1,xn2,xn3

8、若线性代数方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞

德尔迭代都。

9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler）方法的局部截断误差为。

达式改写成

填空题答案

fx1,x2,x3fx2,x3fx1,x22311

123416

9、

h

5、

yk2fxk,ykfxk1,yk1

1

y10

10、x1

1

1

（x1）

3

2

（x1）

、计算题（共75分，每题15分）

3219

f（x）x2,x0,x11,x2

1．设

04124

1,9

1）试求fx在44上的三次Hermite插值多项式x使满足

H（xj）f（xj）,j0,1,2,...H'（x1）f'（x1）

x以升幂形式给出。

（2）写出余项R（x）f（x）H（x）的表达式计算题1.答案

x14x3263x2233x1

1、

（1）22545045025

5

2）Rx41!

1962（x14）（x1）2（x49）,（x）（41,49）

2．已知的满足，试问如何利用构造一个收敛的

简单迭代函数，使0，1⋯收敛？

计算题2.答案

1

2、由x（x），可得x3x（x）3x，x2（（x）3x）（x）

因'（x）1（'（x）3），故'（x）1（'x）-3

22

1

故xk1（xk）（xk）3xk,k=0,1,收敛

2

3．试确定常数A，B，C和a，使得数值积分公式

Gauss型

有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？

它是否为的？

计算题3.答案

3、

AC10,B16,a

99

12

5，该数值

求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss型的y'f（x,y）

4．推导常微分方程的初值问题y（x0）y0的数值解公式：

h'''

yn1yn13（yn14ynyn1）

3

（提示：

利用Simpson求积公式。

）计算题4.答案

4、数值积分方法构造该数值解公式：

对方程yf（x）在区间xn1,xn1

上积分，

xn1

y（xn1）y（xn1）f（x,y（x））dx

得xn1，记步长为h,

xn1

f（x,y（x））dx

对积分xn1用Simpson求积公式得

xn1

f（x,y（x））dx

xn1

2hh'''

26hf（xn1）4f（xn）f（xn1）h3（yn'14yn'yn'1）

所以得数值解公式：

h'''

yn1yn13（yn14ynyn1）

x12x23x3142x15x22x318

5．利用矩阵的LU分解法解方程组3x1x25x320计算题5.答案

5、解：

112

ALU211

351

3

4

24

令Lyb得y（14,10,72）T,Uxy得x（1,2,3）T.

三、证明题（5分）

1．设，证明解的Newton迭代公式是线性收敛的

证明题答案

1、

证明：

因f（x）（x3a）2,故f'（x）6x2（x3a）,由Newton迭达公式

f'（xn）,n0,1,...得f'（xn）

xn1xn

（xn3a）2

6xn2（xn3a）

5xn

6

6axn2

因迭达函数（x）5xa2,而（x）5ax,

66x263

又x'3a,则'（3a）5a（3a）35110,

63632

故此迭达公式是线性收敛的。

一、填空题（20分）

（1）.设x*2.40315是真值x2.40194的近似值，则x*

有位有效数字

（2）.对f（x）x3x1,差商f[0,1,2,3]（

）。

（3）.设X（2,3,7）T,则||X||

（4）.牛顿—柯特斯求积公式的系数和

n

Ck（n）

k0

填空题答案

1）3

（2）1（3）7（4）1

二、计算题

1）.（15分）用二次拉格朗日插值多项式L2（x）计算sin0.34的值

插值节点和相应的函数值是（0，0），（0.30，0.2955），（0.40，

0.3894）。

计算题1.答案

1）=0.333336

2）.（15分）用二分法求方程f（x）xx10在[1.0,1.5]区间内的一个根，误差限102。

计算题2.答案

N6x11.25x21.375x31.3125

2）x41.34375x51.328125x61.3203125

4x12x2x311x14x22x318

3）.（15分）用高斯-塞德尔方法解方程组2x1x25x322，取

x（0）（0,0,0）T，迭代三次（要求按五位有效数字计算）.。

计算题3.答案

3）迭代公式

x1（k1）1（112x2（k）x3（k））

4x2（k1）1（18x1（k1）2x3（k））

4

x3（k1）1（222x1（k1）x2（k1））

5

4）.（15分）求系数A1,A2和A3,使求积公式

111

f（x）dxA1f

（1）A2f

（1）A3f

（1）对于次数2的一切多项式都精确成立133

计算题4.答案

试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由

计算题5.答案

5）解：

调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优

10x14x2x35

2x110x24x38

3x12x210x315

故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为

1

x1（k1）1（4x2（k）x3（k）5）

10

x2（k1）1（2x1（k1）4x3（k）8）

x3（k1）1（3x1（k1）2x2（k1）15）

10取x（0）（0,0,0）T,经7步迭代可得：

x*x（7）（0.999991459,0.999950326,1.000010）T.

三、简答题

1）（5分）在你学过的线性方程组的解法中,你最喜欢那一种方法为什么?

2）（5分）先叙述Gauss求积公式,再阐述为什么要引入它。

简答题答案

1）凭你的理解去叙述。

2）参看书本99页。

、填空题（20分）

1.

）位有效数字.

若a=2.42315是2.42247的近似值，则a有（

2.0（x）,l1（x）,,ln（x）是以0,1,,n为插值节点的Lagrange插值基函数，则

n

ili（x）

i0（）.

3.设f（x）可微，则求方程xf（x）的牛顿迭代格式是

（）.

（k1）（k）

4.迭代公式XBXf收敛的充要条件是。

（k1）（k）

5.解线性方程组Ax=b（其中A非奇异，b不为0）的迭代格式x（k1）Bx（k）f9x1x28

中的B称为（）.给定方程组x15x24，解此方程组

）。

的雅可比迭代格式为（

填空题答案

1．3

xnf（xn）

4.（B）1

5.迭代矩阵，

二、判断题（共10分）

1.若f（a）f（b）0，则f（x）0在（a,b）内一定有

根。

（）

2.区间[a,b]上的三次样条函数是一个次数不超过三次

的多项式。

（）

3.若方阵A的谱半径（A）1，则解方程组Ax=b的

Jacobi迭代法收敛。

（）

4.若f（x）与g（x）都是n次多项式，且在n+1个互异点{xi}in0上f（xi）g（xi），则

f（x）g（x）。

（）

1x1x2x

5.用2近似表示ex产生舍入误差。

（）判断题答案

1.×2.×3.×4.√5.×

三、计算题（70分）

1.（10分）已知f（0）＝1，f（3）＝2.4，f（4）＝5.2，求过这三点的

二次插值基函数l1（x）=（

=（

P2（x）=（

（）.

计算题1.答案

），f[0,3,4]

）,插值多项式

）,用三点式求得f（4）

1．

17

3x（x4）,12,1

由插值公式可求得它们分别为：

7x7x（x3）,和203

15126

3

2.（15分）已知一元方程x3x1.20

1）求方程的一个含正根的区间；

2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式（判断收敛性）；

3）给出在有根区间的Newton迭代法公式。

计算题2.答案

2.

（1）f（0）1.20,f

（2）1.80又f（x）连续故在（0,2）内有一个正根,

（2）

21

x33x1.2,（x）（3x1.2）3,max（x）21,xn133xn1.2收敛

1.23

3

3）

f'（x）3x23,xn1xn

x3n3x1.2

3xn23

1

1f（x）dxAf（0.5）Bf（x1）Cf（0.5）

定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度

计算题3.答案

3.假设公式对f（x）1,x,x2,x3精确成立则有ABC2

0.5ABx10.5C022

0.25ABx120.25C13

3

0.125ABx130.125C0

42

解此方程组得AC4,B2

33求积公式为

11

f（x）dx[4f（0.5）2f（0）4f（0.5）],当f（x）x4时,13

21

左边2右边1左边右边代数精度为3。

56

4.（15分）设初值问题

（1）写出用Euler方法、步长h=0.1解上述初值问题数值解的公式；

（2）

写出用改进的Euler法（梯形法）、步长h=0.2解上述初值问题数

值解的公式，并求解y1,y2，保留两位小数。

计算题4.答案

4.

（1）yn1yn0.1（3xn2yn）0.3xn1.2yn

0.2

（2）yn1yn2（3xn2yn）3（xn0.2）2yn1=yn0.1（6xn2yn2yn10.6）

333yn12yn4xn40

3336333

迭达得y11.575,y22.585

1240224040.240

5.（15分）取节点x00,x10.5,x21，求函数ye在区间[0,1]上的二次插值多项式P2（x），并估计误差。

计算题5.答案

5．

=1+2（e0.51）x2（e12e0.51）x（x0.5）

exp2（x）31!

x（x0.5）（x1），3!

、填空题（每题4分，共20分）

1、数值计算中主要研究的误差有和。

2、设lj（x）（j0,1,2n）是n次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则

lj（xi）（i,j0,1,2n）；

n

lj（x）

3、设lj（x）（j0,1,2n）是区间[a,b]上的一组n次插值基函数。

则插值型求积公式的代数精度为；插值型求积公式中求积系数Aj；且

n

Aj

4、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式

为

。

5、f（x）x2

填空题答案

1,则f[1,2,3],

f[1,2,3,4]

。

1.相对误差

绝对误差

1,ij,

2.0,ij

1

b

3.至少是n

alk（x）dx

a

b-a

baba4（4）

ba（ba）4f（4）（）,（a,b）

4.3

1802

5.1

0

、计算题

1、已知函数yf（x）的相关数据

2、（10分）利用尤拉公式求解初值问题，其中步长h0.1，

yyx1,y（0）1.

x（0,0.6）

。

计算题2.答案

f（x,y）yx1,y01,h0.1,

yn1yn0.1（xn1yn）,（n0,1,2,3,）y01,

yk1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;解：

1.056100;1.090490;1.131441.

3、（15分）确定求积公式

h

hf（x）dxA0f（h）A1f（0）A2f（h）。

。

中待定参数Ai的值（i0,1,2），使求积公式的代数精度尽量高；并指出此时求积公式的代数精度。

计算题3.答案

14

2A0A2h,A1h

解：

分别将f（x）1,x,x，代入求积公式，可得02313。

令f（x）x时求积公式成立，而f（x）x时公式不成立，从而精度为3。

4、（15分）已知一组试验数据如下：

求它的拟合曲线（直线）

计算题4.答案

5a15b31

：

设yabx则可得15a55b105.5

于是a2.45,b1.25，即y2.451.25x

3

5、（15分）用二分法求方程f（x）xx1在区间[1,1.5]内的根时，若要求精确到小数点后二位，

（1）需要二分几次；

（2）给出满足要求的近似根。

计算题5.答案

解：

6次；x*1.32。

2x13x24x36,

3x15x22x35,

6、（15分）用列主元消去法解线性方程组4x13x230x332计算题6.答案

2

3

4

6

4

3

30

32

4

3

30

32

3

5

2

5

3

5

2

5

3

5

2

5

4

3

30

32

2

3

4

6

2

3

4

6

43

30

32

4

3

30

32

0

11/4

41/2

19

0

11/4

41/2

19

0

3/2

11

10

0

0

2/11

4/11

433032

118238

解：

01

x113,

x28,

x32.

、填空题（25分）

1）.设x*=1.234是真值x=1.23445的近似值，则x

有位有效数字

2）.

设f（x）x3x1,则差商（均差）f[0,1,2,3]

，f[0,1,2,3,4]。

，。

3）