沪科版八年级数学下册第19章专题复习试题及答案全套docx.docx
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最新沪科版八年级数学下册第19章专题复习试题及答案全套
专训1•利用特殊四边形的性质巧解折叠问题
名师点金：
四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明.折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等.
文类型卫平行四边形的折叠问题
1.在口ABCD屮，AB=6,AD=8,ZB是锐角，将AACD沿对角线AC所在直线折叠，点
D落在AABC所在平而内的点E处.如果AE恰好经过BC的中点，那么"BCD的而积是
2.
如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE恰
遙理2：
矩形的折叠问题
3.（中考•衢州）如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点Az处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处.再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处.如图②.
⑴求证：
EG=CH；
（2）已知AF=JL求AD和AB的长.
n菱形的折叠问题
4.如图，在菱形ABCD中，ZA=120°,E是AD上的点，沿BE折叠ZXABE,点A恰好落在BD上的F点，连接CF,那么ZBFC的度数是（）
&・60°B.70°C.75°D.80°
5.如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点0处，折痕为EF.若菱形的边长为2,ZA=120°,求EF的长.
（第5题）
*型4正方形的折叠问题
6.如图，正方形纸片ABCD的边长AB=12,E是DC±一点，CE=5,折叠正方形纸片使
点B和点E重合，折痕为FG,则FG的长为・
7.（中考•德州）如图，现有一张边长为4的止方形纸片ABCD,点P为止方形AD边上的一点（不与点A,点D重合）.将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP,BH.
⑴求证：
ZAPB=ZBPH.
（2）当点P在边AD上移动时，APDH的周长是否发生变化？
并证明你的结论.
专训2•利用特殊四边形的性质巧解动点问题
名师点金：
利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特疾点解决问题，再运用从特殊到
••••
丁股旳禺想，将特殊点转化为--般点（动点）来解答.适廉负度E平行四边形中的动点问题
1.如图，在"BCD中，E,F两点在对角线BD上运动（E,F两点不重合），且保持BE=DF,
连接AE,CF•请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并对你的猜想加以证明.
側條负度逅矩形中的动点问题
2・已知，在矩形ABCD屮，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD,BC于点E,F,垂足为0.
（耳如图①，连接AF,CE,试说明四边形AFCE为菱形，并求AF的长；
1⑵如图②，动点P,Q分别从A,C两点同时出发，沿AapB和ACDE各边匀速运动一周.即密P自A-F-B-A停止二点Q自一D~E~C停止•在运动过程中，已知点R的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,当以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形
时，求t的值.
辿廉角•度玉菱形中的动点问题
3.如图，在菱形ABCD中，ZB=60°,动点E在边BC±,动点F在边CD上.
（1）如图①，若E是BC的中点，ZAEF=60°,求证：
BE=DF；
（2）如图②，若ZEAF=60°,求证：
AAEF是等边三角形.
ADAD
BECBEC
①②（第3题）
正方形中的动点问题
4-如图，正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA±的动点,
且AE=BF=CG=DH.
（1）
求证：
四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由.
专训3•特殊平行四边形中的五种常见热门题型
名师点金：
本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点.
越裂上特殊平行四边形中的折叠问题
1.
cm,宽为8
如图，将一张长为10cm,宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（图③屮的虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）
C.
中点，得到四边形AiBiCiDi，再顺次连接四边形AiBiCiDi各边中点，得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的是（）
ab
①四边形A4B4C4D4是菱形;②四边形A3B3C3D3是矩形;③四边形A7B7C7D7的周长为一§一；
ab
④四边形AnBnCnDn的面积为刁?
•
人・①②③B.②③④
C.①③④D.①②③④
7.（中考•广安）如图，已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm,ZABC=60°,则四边形EFGH的面积为.
塵型企特殊平行四边形中的图形变换问题
8•仲考•枣庄）如图,边长为1的止方形ABCD绕点A逆时针旋转45。
得到止方形ABGDi，边B1C1与CD交于点0,则四边形ABiOD的面积是（）
3迈_1
C.yji-lD・l+y[2
9・如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE丄AG于点E,BF〃DE,交AG于点F.
（1）求证：
AF—BF=EF；
（2）WAABF绕点A逆时针旋转，使得AB与AD重合，记比时点F的对应点为点F,若止方形ABCD的边长为3,求点F与旋转前的图形中点E之间的距离.
c（第9题）
理型》灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明
10.如图，在口ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，连接AF,CE.
⑴求证：
ABEC^ADFA；
⑵连接AC,当CA=CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由.
C（第10题）
11.（中考•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG〃CD,交AE于点G,连後DG.
（1）求证：
四边形DEFG为菱形;
CE
⑵若CD=8,CF=4,求隹的值.
12.如图①，在正方形ABCD屮，E,F分别是边AD,DC±的点，且AF丄BE.
（1）求证：
AF=BE・
（2）
如图②，在正方形ABCD中，M,N,P,Q分别是边AB,BC・CD,DA上的点，且MP丄NQ.MP
与NQ是否相等？
并说明理由.
专训4•全章热门考点整合应用
名师点金：
本章内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题.近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似（以后学到）、函数知识相结合的综合题•其主要考点可概括为：
一个性质，两个定理，四个图形，三个技巧，三种思想.
迭恣一个性质一一直角三角形斜边上的中线性质
1.如图，在AABC中，点D,E,F分别是AB,BC,CA的屮点，AH是边BC上的高.求
证:
⑴四边形ADEF是平行四边形;
（2）ZDHF=ZDEF.
包考点21两个定理
定理1：
三角形的中位线定理
2.如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC>tAC丄BD,点E,F,G,IH,P,Q分别是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中点.
求证:
（1）四边形EFGH是矩形；
（2）四边形EQGP是菱形.
⑵一共走了多少米？
定理2：
多边形的内角和与外角和定理
3.如果一个多边形的内角和等于1260°,那么这个多边形的边数为（）
47B.8C.9D.10
5.如图，一张多边形纸片按图所示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°
）
如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则Zct等于度.
如图所示，小明从A点出发，沿肓线前进8米后左转40。
，再沿肓线前进8米，又左照这样走下去，他第一次冋到出发点A吋：
⑴整个行走路线是什么图形？
.考点3四个图形
图形1：
平行四边形
7.如图，E,F分别是"BCD的AD,BC边上的点，且AE=CF.
⑴求证：
Z\ABE竺ACDF；
（2）若M,N分别是BE,DF的中点，连接MF,EN,试判断四边形MFNE是什么特殊的四
边形，并证明你的结论.
图形2：
矩形
8.如图，在"BCD中，点0是AC与BD的交点，过点0的直线与BA的延长线，DC的延长线分别交于点E,F.
⑴求证：
AAOE竺△COF.
图形3：
菱形
9.如图，在AABC中，D,E分别是AB,AC的中点，过点E作EF/7AB,交BC于点F.
⑴求证：
四边形DBFE是平行四边形.
⑵当AABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？
为什么？
图形4：
正方形
10.（中考咁孜州）已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD±的点，AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的屮点时，有：
①AF=DE；
②AF丄DE成立.试探究下列问题：
⑴如图①，若点E不是边BC的中点，点F不是边CD的中点，且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立？
（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）
（2）如图②，若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF,此时，上述结论①，②是否仍然成立？
若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.
（3）如图③，在
（2）的基础上，连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并说明理由.
11.如图，已知在RfAABC中,ZABC=90°,先把AABC绕点B顺吋针旋转90。
后至ADBE,
再把AABC沿射线AB平移至AFEG,DE,FG相交于点H.
⑴判断线段DE,FG的位置关系，并说明理由;
⑵连接CG,求证：
四边形CBEG是正方形.
魯考点第三个技巧
技巧I解与四边形有关的折叠问题的技巧（轴对称变换法）
12.如图所示，在矩形ABCD中，AB=10,BC=5,点E,F分别在AB,CD上，将矩形
ABCD沿EF折叠，使点A,D分别落在矩形ABCD外部的点A“內处，求阴影部分图形的周
长・
技巧2：
解与四边形有关的旋转问题的技巧（特殊位置法）
13.如图，正方形ABCD的对角线相交于点0,点0也是正方形A8U0的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于1,那么正方形A8UO绕顶点0转动，两个正方形重叠部分的面
积大小有什么规律？
请说明理由.
技巧3:
解与四边形有关的动态问题的技巧（固定位置法）
14.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16,对角线AC,BD相交于点G,点0是直线BD上的动点，OE丄AB于E,OF1AD于F.
⑴求对角线AC的长及菱形ABCD的面积.
（2）如图①，当点O在对角线BD±运动吋，OE+OF的值是否发生变化？
请说明理由.
（3）如图②，当点0在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？
若不变，请说明理由；若变化，请探究OE,OFZ间的数量关系，并说明理由.
:
考点&三种思想
思想I方程思想
15.如图，四边形ABCD是平行四边形，AE1BC于点E,AF1CD交DC的延长线于点F,
AE=4cm,AF=5cm,
四边形ABCD的周长为36cm.求AB,BC的长.
16.如图，在矩形纸片ABCD屮，AC,BD相交于点0,AD：
AB=』：
2,AC=逅将纸片折叠使点B与点D重合，求折叠后纸片重合部分的面积.
思想2：
转化思想
17.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,过点0作直线交AD于点E,交BC
于点F,若口ABCD的面积为30cm2,求阴影部分的面积.
思想3：
分类讨论思想
18・已知四边形ABCD是正方形，AADE是等边三角形，求ZBEC的度数.
/.Z3=ZAFE.
由⑴知，AE=BC,AAEFA^ACEB.
答案
专训1
1.12y/7点拨：
如图，设AE,BC的交点为0,连接BE,已知O是BC的中点・I•在△ABC和ACDA中,AB=CD,BC=DA,AC=CA,・*.AABC^ACDA,贝ijAABC^ACEA,・\ZACB=ZCAE,同时，BC=AE,即在四边形ABEC中，两条对角线相等.I•在△A0C中，ZACB=ZCAE,・・・A0=0C,易得0是AE的中点.二四边形ABEC是矩形，在RfAAEC中，CE=AB=6,AE=AD=8,由勾股定理得AC=^AE2-CE2=^82-62=2・
•••"BCD的面积=AB・AC=6X2羽=12羽.
•・•四边形ABCD为平行四边形，AAD/7BC./.Z1=Z3.
・・•平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处,AZ2=Z3,AZ1=Z2.AFC=FA.
1
TF为BC边的中点，BC=6,・・・AF=CF=BF=，X6=3.
又VAB=3,•••△ABF是等边三角形./.ZB=60°.
3.⑴证明：
由折叠知AE=AD=EG,BC=CH.
•・•四疝形ABCD是矩形，・・・AD=BC,・.EG=CH・
（2）解：
VZADE=45°,ZFGE=ZA=90°,AF=QL・・・DG=pLDF=2,・・AD=2+迈・
如图，由折叠知，Z1=Z2,Z3=Z4,
AZ2+Z4=90°,Zl+Z3=90°.
VZ1+ZAFE=9O°,又・.・ZA=ZB=90°,・・・AF=BE.・・・AB=AE+BE=AD+AF=2+Vi+迈=2+2迈.
D41__C
5.解：
如图，连接BD,AC.
•・•四边形ABCD是菱形，・・・AC丄BD,AC平分ZBAD.
VZBAD=120°,AZBAC=60°.AZABO=90°-60°=30°.
11
VZAOB=90°,AAO=2AB=2X2=：
1-由勾股定理，得BO=DO=V3・
•・•点A沿EF折叠与点0重合，・・・EF丄AC,EF平分AO.VAC1BD,・・・EF〃BD,易得EF为Z^ABD的中位线，
：
.EF=-BD=-X（y[3+y{3）=y{3.
tBE交FG于点N,
・△FMG竺ABCE,
6.13点拨：
如图，过点F作FM丄BC,垂足为M,连接BE,FE,¥由折叠的性质知FG丄BE,
AZC=ZBNG=90°,AZBGN=ZBEC.易知FM=BC,ZFMG=ZC,・・・・MG=CE=5,由勾股定理得FG=
7.⑴证明：
・.・PE=BE,Z.ZEBP=ZEPB.
又・.・ZEPH=ZEBC=90°,AZEPH—ZEPB=ZEBC-ZEBP,即ZBPH=ZPBC.
又・.・AD〃BC,AZAPB=ZPBC,AZAPB=ZBPH.
（2）解：
ZXPDH的周长不变且为定值8.
证明如下：
过B作BQ丄PH,垂足为Q.如图.由⑴知ZAPB=ZBPH,
又・.・ZA=ZBQP=90。
，BP=BP,AAABP^AQBP.
・・.AP=QP,AB=BQ.又・.・AB=BC,ABC=BQ.
又VZC=ZBQH=90°,BH=BH,
・••肮Z\BCH今肮△BQH,・・・CH=QH.
AAPDH的周长为：
pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8・
专训2
1.解：
AE=CF,AE//CF.证明如下：
•・•四边形ABCD是平行四边形，・・・AB=CD,AB〃CD・AZABE=ZCDF.
在AABE和ACDF中，VAB=CD,ZABE=ZCDF,BE=DF,.•.△ABE竺△CDF,・・AE=CF,ZAEB=ZCFD・
JZAEB+ZAED=ZCFD+ZCFB=180°,
AZAED=ZCFB.Z.AE//CF.
2.解:
（1）V四边形ABCD是矩形，・・・AD〃BC.
・•・ZCAD=ZACB,ZAEF=ZCFE・
TEF垂直平分AC,垂足为O,・・・OA=OC.
•••△AOE竺△COF.・・・OE=OF..・・四边形AFCE为平行四边形.又TEF丄AC,・・・四边形AFCE为菱形.
设AF=CF=xcm,则BF=（8_x）cm,
（第2题）
在RtAABF中，AB=4cm,由勾股定理得42+（8—x）2=x2,解得x=5・
・IAF=5cm.
⑵显然当P点在AF±,Q点在CD±吋，A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形.因此只有当P点在BF上，Q点在ED±时，才能构成平行四边形，如图，连接AP,CQ,则以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC=QA・T点P的速度为5cm/s,点Q的速度为4cm/s,运动时间为ts,
4
PC=5tcm,QA=（12—4t）cm./.5t=12—4t,解得t=§.
4
・・・以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=3-
3・证明：
⑴连接AC.T在菱形ABCD中，ZB=60°,・・.AB=BC=CD,ZBCD=180°-ZB=120°.AAABC是等边三角形.又：
飞是BC的中点，AAE±BC.VZAEF=60°,AZFEC=90°一ZAEF=30°,・・ZCFE=180°-ZFEC-ZBCD=180°一30°-120°=30°.AZFEC=
ZCFE.・・・EC=CF.・・・BE=DF.
（2）连接AC.由⑴知AABC是等边三角形,・・・AB=AC,ZACB=ZBAC=60°.
又VZEAF=60°,AZBAE=ZCAF.
VZBCD=120°,ZACB=60°,
・・・ZACF=60°=ZB.
AAABE^AACF.
AE=AF..♦.△AEF是等边二角形.
4.⑴证明：
如图，•・•四边形ABCD为正方形，
・•・ZA=ZABC=ZC=ZADC=90°,AB=BC=CD=AD.
・.・AE=BF=CG=DH,・IAH=BE=CF=DG・
AAAEH^ABFE^ACGF^ADHG・
.\Z1=Z2,EH=EF=FG=GH.・・・四边形EFGH为菱形.
VZ1+Z3=9O°,Z1=Z2,AZ2+Z3=90°.ZHEF=90°.
・・・四边形EFGH为正方形.
（2）解：
直线EG经过一个定点.理由如下：
如图，连接BD,DE,BG,EG.设EG与BD交J■0点.
TBE統DG,・•・四边形BGDE为平行四边形.
・・・BD,EG互相平分.・・・BO=OD.・・・点0为正方形的中心.
・•・直线EG必过正方形的中心.
专训3
1・A2.B3.C
4・B点拨：
在ZSDFC中，ZDFC=90°,ZC=30°,DC=4tcm,所以DF=2tcm.又因为AE=2tcm,所以AE=DF・因为AE〃DF,所以可推出四边形AEFD为平行四边形.令AE=AD,则60—4t=2t.解得t=10.所以当t=10时，四边形AEFD为菱形.
5.C点拨：
连接BD交AC于点O,由图可知，DQ+PQ的最小值即为DO的长，由正方形的边长为4可知，DO的长为2迈，所以DQ+PQ的最小值为2迈・
6.&
A
B《占
（第7题）
7.9羽cm2点拨：
连接AC,BD,设AC,BD相交于点O,如图，
易知，四边形EFGH是矩形.
由四边形ABCD是菱形，ZABC=60。
，
可得ZABO=30°,
「1
又・.・ZAOB=90°,・・・AO=3AB=3cm・
/•AC=6cm.
在肮AAOB中，OB=^/aB2-OA2=3羽（cm）,
.•.BD=6\[3cm.
・•・矩形EFGH的面积=EF-EH=3X3羽=9y[3（cm2）.
8.C
9.
（1）证明：
•••四边形ABCD是正方形,
（第9题）
・・・AB=AD,ZBAD=ZBAG+ZEAD=90°.
VDE1AG,・・・ZAED=ZDEG=90°.
・・・ZEAD+ZADE=90°.Z.ZADE=ZBAF.
又・.・BF〃DE,・・.ZAFB=ZDEG=90°・
在AAED和ABFA屮，
rZAED=ZAFB,
VSZADE=ZBAF,
、AD=AB,
•••△AED竺△BFA（AAS）.
ABF=AE.VAF-AE=EF,AAF-BF=EF.
（2）解：
如图，由题意知将AABF绕A点旋转得到AADF,B与D重合，连接FE,由⑴易得DE=AF.
根据题意知：
ZFAF=90。
，DE=AF=AFZ,
.•・ZF'AE=ZAED=90°・
即ZF,AE+ZAED=180°.
・・.AF‘〃ED・
・・・四边形AEDF为平行四边形.
又ZAED=90°,A四边形AEDF'是矩形.
VAD=3,・・.EF'=AD=3・
10.⑴证明：
I•四边形ABCD为平行四边形，
・・・AB=CD,ZB=ZD,BC=AD.TE,F分别是AB,CD的中点,・・・BE=DF..I△BEC今△DFA（SAS）・
（2）解:
四边形AECF是矩形，理由:
11
VAE=2AB»CFpCD,AB=CD,・\AE=CF.
•・・AE〃CF,・•・四边形AECF是平行四边形.当CA=CB时，CE1AB,・・・ZAEC=90。
.
・•・四边形AECF是矩形.
（第11题）
□・⑴证明：
如图，由折叠的性质可知：
DG=FG,ED=EF,Z1=Z2,
・.・FG〃CD,.・・Z3=Z1.AZ2=Z3.AFG=FE.ADG=GF=EF=DE.
・・・四边形DEFG为菱形.
⑵解：
设DE=x,则EF
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